Глава II. §3. п.7 Свойства чётности и нечётности функций — с. 37
107. Известно, что функция y = f(x), заданная на отрезке, симметричном относительно начала координат, является нечётной. На рисунке 15, а, б изображена только часть её графика. Достройте график этой функции, перечертив рисунок в тетрадь. [рисунок 15, а: ломаная (−6; −3) — (−5; 4) — (−1; −3) — (0; 0), штриховая линия от точки (−5; 4) до отметки 4 на оси y; рисунок 15, б: отрезок от (−7; −4) до (−4; 3) и плавная кривая от (0; 0) вниз до (4; −3)]
График нечётной функции симметричен относительно начала координат: каждой точке (x; y) графика соответствует точка (−x; −y). Достроим график, отразив имеющуюся часть относительно начала координат.
а) Имеющаяся часть — звенья ломаной (−6; −3) — (−5; 4) — (−1; −3) — (0; 0). Точкам соответствуют симметричные: (6; 3), (5; −4), (1; 3), (0; 0). Достроенная часть — ломаная (0; 0) — (1; 3) — (5; −4) — (6; 3). Функция задана на [−6; 6].
б) Имеющиеся части — отрезок (−7; −4) — (−4; 3) и кривая на [0; 4] от (0; 0) до (4; −3). Отражаем кривую относительно начала координат — получаем её продолжение на [−4; 0] от (−4; 3) до (0; 0); отражаем отрезок — получаем отрезок (4; −3) — (7; 4). Функция задана на [−7; 7].
На рисунке чёрным показана исходная часть, красным — достроенная.
Оговорка: кривая на рисунке 15, б приближена функцией y = −1,5√x; метка «−5» на оси y рисунка 15, а к графику отношения не имеет.
а) Имеющаяся часть — звенья ломаной (−6; −3) — (−5; 4) — (−1; −3) — (0; 0). Точкам соответствуют симметричные: (6; 3), (5; −4), (1; 3), (0; 0). Достроенная часть — ломаная (0; 0) — (1; 3) — (5; −4) — (6; 3). Функция задана на [−6; 6].
б) Имеющиеся части — отрезок (−7; −4) — (−4; 3) и кривая на [0; 4] от (0; 0) до (4; −3). Отражаем кривую относительно начала координат — получаем её продолжение на [−4; 0] от (−4; 3) до (0; 0); отражаем отрезок — получаем отрезок (4; −3) — (7; 4). Функция задана на [−7; 7].
На рисунке чёрным показана исходная часть, красным — достроенная.
Оговорка: кривая на рисунке 15, б приближена функцией y = −1,5√x; метка «−5» на оси y рисунка 15, а к графику отношения не имеет.
108. Задайте формулой: а) чётную функцию; б) нечётную функцию; в) функцию, которая не является ни чётной, ни нечётной. Ответ обоснуйте.
а) y = x². Область определения симметрична, f(−x) = (−x)² = x² = f(x) — функция чётная.
б) y = x³. Область определения симметрична, f(−x) = (−x)³ = −x³ = −f(x) — функция нечётная.
в) y = x + 1 (или y = x² + x). Для f(x) = x + 1: f(1) = 2, f(−1) = 0; значения f(−1) = 0 не равно ни f(1) = 2, ни −f(1) = −2, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: например, а) y = x²; б) y = x³; в) y = x + 1.
б) y = x³. Область определения симметрична, f(−x) = (−x)³ = −x³ = −f(x) — функция нечётная.
в) y = x + 1 (или y = x² + x). Для f(x) = x + 1: f(1) = 2, f(−1) = 0; значения f(−1) = 0 не равно ни f(1) = 2, ни −f(1) = −2, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: например, а) y = x²; б) y = x³; в) y = x + 1.
109. Найдите координаты точек пересечения графиков функций, не выполняя построений: а) y = 0,4x + 3 и y = 5 − 0,6x; б) y = 1/3 x + 11 и y = −2/9 x + 4.
В точке пересечения значения функций равны, поэтому приравняем правые части.
а) 0,4x + 3 = 5 − 0,6x; x = 2; y = 0,4·2 + 3 = 3,8. Проверка: 5 − 0,6·2 = 3,8.
б) x/3 + 11 = −2x/9 + 4. Умножим на 9: 3x + 99 = −2x + 36; 5x = −63; x = −12,6. y = −12,6/3 + 11 = −4,2 + 11 = 6,8. Проверка: −2/9·(−12,6) + 4 = 2,8 + 4 = 6,8.
Ответ: а) (2; 3,8); б) (−12,6; 6,8).
а) 0,4x + 3 = 5 − 0,6x; x = 2; y = 0,4·2 + 3 = 3,8. Проверка: 5 − 0,6·2 = 3,8.
б) x/3 + 11 = −2x/9 + 4. Умножим на 9: 3x + 99 = −2x + 36; 5x = −63; x = −12,6. y = −12,6/3 + 11 = −4,2 + 11 = 6,8. Проверка: −2/9·(−12,6) + 4 = 2,8 + 4 = 6,8.
Ответ: а) (2; 3,8); б) (−12,6; 6,8).
110. Решите уравнение: а) x² + 2x − 15 = 0; б) 2x² − x − 3 = 0; в) 3x² − 22x + 7 = 0; г) 3x² + 6x + 10 = 0.
а) D = 4 + 60 = 64; x = (−2 ± 8)/2; x = 3 или x = −5.
б) D = 1 + 24 = 25; x = (1 ± 5)/4; x = 1,5 или x = −1.
в) D = 484 − 84 = 400; x = (22 ± 20)/6; x = 7 или x = 1/3.
г) D = 36 − 120 = −84 < 0, корней нет.
Ответ: а) −5; 3; б) −1; 1,5; в) 1/3; 7; г) корней нет.
б) D = 1 + 24 = 25; x = (1 ± 5)/4; x = 1,5 или x = −1.
в) D = 484 − 84 = 400; x = (22 ± 20)/6; x = 7 или x = 1/3.
г) D = 36 − 120 = −84 < 0, корней нет.
Ответ: а) −5; 3; б) −1; 1,5; в) 1/3; 7; г) корней нет.