Глава II. §4. п.12 Дробно-линейная функция и её график — с. 66
168. Укажите асимптоты гиперболы: а) y = 10/(x − 3) − 2; б) y = 8/(x + 2) − 3.
График функции y = k/(x − m) + n получается из гиперболы y = k/x сдвигом на m единиц вдоль оси x и на n единиц вдоль оси y. Асимптоты гиперболы y = k/x — оси координат, поэтому асимптоты сдвинутой гиперболы — прямые x = m и y = n.
а) y = 10/(x − 3) − 2: m = 3, n = −2. Асимптоты: x = 3 и y = −2.
б) y = 8/(x + 2) − 3 = 8/(x − (−2)) − 3: m = −2, n = −3. Асимптоты: x = −2 и y = −3.
Ответ: а) x = 3, y = −2; б) x = −2, y = −3.
а) y = 10/(x − 3) − 2: m = 3, n = −2. Асимптоты: x = 3 и y = −2.
б) y = 8/(x + 2) − 3 = 8/(x − (−2)) − 3: m = −2, n = −3. Асимптоты: x = −2 и y = −3.
Ответ: а) x = 3, y = −2; б) x = −2, y = −3.
169. Постройте график функции: а) y = 4/(x − 3); б) y = 4/x + 2; в) y = 4/(x + 3); г) y = 4/x − 2.
Все графики — гиперболы, полученные из гиперболы y = 4/x (ветви в I и III четвертях) параллельными переносами.
а) y = 4/(x − 3): сдвиг y = 4/x на 3 единицы вправо. Асимптоты x = 3 и y = 0. Точки: (4; 4), (5; 2), (7; 1), (2; −4), (1; −2), (−1; −1).
б) y = 4/x + 2: сдвиг на 2 единицы вверх. Асимптоты x = 0 и y = 2. Точки: (1; 6), (2; 4), (4; 3), (−1; −2), (−2; 0), (−4; 1).
в) y = 4/(x + 3): сдвиг на 3 единицы влево. Асимптоты x = −3 и y = 0. Точки: (−2; 4), (−1; 2), (1; 1), (−4; −4), (−5; −2), (−7; −1).
г) y = 4/x − 2: сдвиг на 2 единицы вниз. Асимптоты x = 0 и y = −2. Точки: (1; 2), (2; 0), (4; −1), (−1; −6), (−2; −4), (−4; −3).
Сначала проводят пунктиром асимптоты, затем строят точки по обе стороны от вертикальной асимптоты и соединяют их плавными линиями (асимптоты — штриховые синие линии на рисунке).
Ответ: графики — гиперболы с асимптотами: а) x = 3, y = 0; б) x = 0, y = 2; в) x = −3, y = 0; г) x = 0, y = −2.
а) y = 4/(x − 3): сдвиг y = 4/x на 3 единицы вправо. Асимптоты x = 3 и y = 0. Точки: (4; 4), (5; 2), (7; 1), (2; −4), (1; −2), (−1; −1).
б) y = 4/x + 2: сдвиг на 2 единицы вверх. Асимптоты x = 0 и y = 2. Точки: (1; 6), (2; 4), (4; 3), (−1; −2), (−2; 0), (−4; 1).
в) y = 4/(x + 3): сдвиг на 3 единицы влево. Асимптоты x = −3 и y = 0. Точки: (−2; 4), (−1; 2), (1; 1), (−4; −4), (−5; −2), (−7; −1).
г) y = 4/x − 2: сдвиг на 2 единицы вниз. Асимптоты x = 0 и y = −2. Точки: (1; 2), (2; 0), (4; −1), (−1; −6), (−2; −4), (−4; −3).
Сначала проводят пунктиром асимптоты, затем строят точки по обе стороны от вертикальной асимптоты и соединяют их плавными линиями (асимптоты — штриховые синие линии на рисунке).
Ответ: графики — гиперболы с асимптотами: а) x = 3, y = 0; б) x = 0, y = 2; в) x = −3, y = 0; г) x = 0, y = −2.
170. Найдите асимптоты гиперболы: а) y = (x + 8)/(x − 2); б) y = −(x − 8)/(x + 3).
Выделим целую часть дроби, чтобы привести функцию к виду y = k/(x − m) + n.
а) (x + 8)/(x − 2) = ((x − 2) + 10)/(x − 2) = 1 + 10/(x − 2). Здесь m = 2, n = 1. Асимптоты: x = 2 и y = 1.
б) −(x − 8)/(x + 3) = −((x + 3) − 11)/(x + 3) = −1 + 11/(x + 3) = 11/(x − (−3)) − 1. Здесь m = −3, n = −1. Асимптоты: x = −3 и y = −1.
Ответ: а) x = 2, y = 1; б) x = −3, y = −1.
а) (x + 8)/(x − 2) = ((x − 2) + 10)/(x − 2) = 1 + 10/(x − 2). Здесь m = 2, n = 1. Асимптоты: x = 2 и y = 1.
б) −(x − 8)/(x + 3) = −((x + 3) − 11)/(x + 3) = −1 + 11/(x + 3) = 11/(x − (−3)) − 1. Здесь m = −3, n = −1. Асимптоты: x = −3 и y = −1.
Ответ: а) x = 2, y = 1; б) x = −3, y = −1.
171. Покажите схематически, как расположен график функции y = k/(x − m) + n, где k < 0, если: а) m > 0, n < 0; б) m < 0, n > 0.
Гипербола y = k/(x − m) + n получается из гиперболы y = k/x сдвигом на m вдоль оси x и на n вдоль оси y. Центр симметрии гиперболы — точка (m; n), асимптоты — прямые x = m и y = n. При k < 0 ветви гиперболы y = k/x лежат во II и IV четвертях, поэтому у сдвинутой гиперболы одна ветвь расположена левее вертикальной асимптоты и выше горизонтальной, другая — правее вертикальной асимптоты и ниже горизонтальной.
а) m > 0, n < 0: центр (m; n) лежит правее оси y и ниже оси x. Асимптота x = m — вертикальная прямая справа от оси y, асимптота y = n — горизонтальная прямая под осью x. Одна ветвь в левом верхнем «углу» (относительно центра), другая — в правом нижнем.
б) m < 0, n > 0: центр (m; n) лежит левее оси y и выше оси x; вертикальная асимптота слева от оси y, горизонтальная — над осью x. Ветви расположены так же относительно центра: верхняя левая и нижняя правая.
На рисунке — схематичное расположение (масштаб не соблюдён).
Ответ: см. рисунок.
а) m > 0, n < 0: центр (m; n) лежит правее оси y и ниже оси x. Асимптота x = m — вертикальная прямая справа от оси y, асимптота y = n — горизонтальная прямая под осью x. Одна ветвь в левом верхнем «углу» (относительно центра), другая — в правом нижнем.
б) m < 0, n > 0: центр (m; n) лежит левее оси y и выше оси x; вертикальная асимптота слева от оси y, горизонтальная — над осью x. Ветви расположены так же относительно центра: верхняя левая и нижняя правая.
На рисунке — схематичное расположение (масштаб не соблюдён).
Ответ: см. рисунок.