Глава II. Дополнительные упражнения к главе II — с. 68
179. Постройте в одной и той же системе координат графики функций: а) y = x + 5; y = −0,5x + 5; y = 5; б) y = 0,5x + 3; y = 0,5x; y = 0,5x − 2.
Графиком линейной функции является прямая; для построения достаточно двух точек.
а) y = x + 5: точки (0; 5) и (−5; 0). y = −0,5x + 5: точки (0; 5) и (2; 4. (или (10; 0)). y = 5: прямая, параллельная оси x и проходящая через (0; 5). Все три прямые проходят через точку (0; 5), так как у всех трёх функций значение при x = 0 равно 5.
б) y = 0,5x + 3: точки (0; 3) и (2; 4). y = 0,5x: точки (0; 0) и (2; 1). y = 0,5x − 2: точки (0; −2) и (4; 0). Угловой коэффициент у всех трёх функций один и тот же (0,5), поэтому прямые параллельны: они получаются из прямой y = 0,5x сдвигом на 3 единицы вверх и на 2 единицы вниз.
Ответ: см. рисунок.
а) y = x + 5: точки (0; 5) и (−5; 0). y = −0,5x + 5: точки (0; 5) и (2; 4. (или (10; 0)). y = 5: прямая, параллельная оси x и проходящая через (0; 5). Все три прямые проходят через точку (0; 5), так как у всех трёх функций значение при x = 0 равно 5.
б) y = 0,5x + 3: точки (0; 3) и (2; 4). y = 0,5x: точки (0; 0) и (2; 1). y = 0,5x − 2: точки (0; −2) и (4; 0). Угловой коэффициент у всех трёх функций один и тот же (0,5), поэтому прямые параллельны: они получаются из прямой y = 0,5x сдвигом на 3 единицы вверх и на 2 единицы вниз.
Ответ: см. рисунок.
180. Изобразите схематически график функции f(x) = kx + b и перечислите её свойства, если: а) k > 0, b > 0; б) k < 0, b < 0; в) k > 0, b < 0.
Графиком функции f(x) = kx + b является прямая; она пересекает ось y в точке (0; b), а ось x — в точке (−b/k; 0), где f(x) = 0. Область определения и область значений — все числа.
а) k > 0, b > 0. Прямая идёт слева направо вверх, пересекает ось y выше начала координат, а ось x — левее начала координат, так как −b/k < 0. Свойства: D(f) = (−∞; +∞), E(f) = (−∞; +∞); нуль функции x = −b/k < 0; f(x) > 0 при x > −b/k, f(x) < 0 при x < −b/k; функция возрастает на всей числовой прямой; не является ни чётной, ни нечётной; наибольшего и наименьшего значений нет.
б) k < 0, b < 0. Прямая идёт слева направо вниз, пересекает ось y ниже начала координат; −b/k < 0 (числа b и k отрицательны, их частное положительно), поэтому с осью x прямая пересекается левее начала координат. Свойства: D(f) = E(f) = (−∞; +∞); нуль x = −b/k < 0; f(x) > 0 при x < −b/k, f(x) < 0 при x > −b/k; функция убывает на всей числовой прямой; ни чётная, ни нечётная; наибольшего и наименьшего значений нет.
в) k > 0, b < 0. Прямая идёт вверх, пересекает ось y ниже начала координат, а ось x — правее начала координат (−b/k > 0). Свойства: D(f) = E(f) = (−∞; +∞); нуль x = −b/k > 0; f(x) < 0 при x < −b/k, f(x) > 0 при x > −b/k; функция возрастает на всей числовой прямой; ни чётная, ни нечётная; наибольшего и наименьшего значений нет.
Ответ: см. рисунок и свойства выше.
а) k > 0, b > 0. Прямая идёт слева направо вверх, пересекает ось y выше начала координат, а ось x — левее начала координат, так как −b/k < 0. Свойства: D(f) = (−∞; +∞), E(f) = (−∞; +∞); нуль функции x = −b/k < 0; f(x) > 0 при x > −b/k, f(x) < 0 при x < −b/k; функция возрастает на всей числовой прямой; не является ни чётной, ни нечётной; наибольшего и наименьшего значений нет.
б) k < 0, b < 0. Прямая идёт слева направо вниз, пересекает ось y ниже начала координат; −b/k < 0 (числа b и k отрицательны, их частное положительно), поэтому с осью x прямая пересекается левее начала координат. Свойства: D(f) = E(f) = (−∞; +∞); нуль x = −b/k < 0; f(x) > 0 при x < −b/k, f(x) < 0 при x > −b/k; функция убывает на всей числовой прямой; ни чётная, ни нечётная; наибольшего и наименьшего значений нет.
в) k > 0, b < 0. Прямая идёт вверх, пересекает ось y ниже начала координат, а ось x — правее начала координат (−b/k > 0). Свойства: D(f) = E(f) = (−∞; +∞); нуль x = −b/k > 0; f(x) < 0 при x < −b/k, f(x) > 0 при x > −b/k; функция возрастает на всей числовой прямой; ни чётная, ни нечётная; наибольшего и наименьшего значений нет.
Ответ: см. рисунок и свойства выше.
181. Постройте график функции: а) y = −12/x; б) y = 10/x.
Графики — гиперболы (обратная пропорциональность): ветви расположены в тех четвертях, знак которых совпадает со знаком k.
а) y = −12/x: k = −12 < 0, ветви лежат во II и IV четвертях. Таблица: x = 1; 2; 3; 4; 6; 12 — y = −12; −6; −4; −3; −2; −1. Функция нечётная, поэтому для x = −1; −2; −3; −4; −6; −12 получаем y = 12; 6; 4; 3; 2; 1. Через построенные точки проводим две плавные ветви, которые приближаются к осям, но не пересекают их.
б) y = 10/x: k = 10 > 0, ветви лежат в I и III четвертях. Таблица: x = 1; 2; 5; 10 — y = 10; 5; 2; 1; для x = −1; −2; −5; −10: y = −10; −5; −2; −1. Строим точки и соединяем плавными линиями каждую ветвь.
Ответ: см. рисунок.
а) y = −12/x: k = −12 < 0, ветви лежат во II и IV четвертях. Таблица: x = 1; 2; 3; 4; 6; 12 — y = −12; −6; −4; −3; −2; −1. Функция нечётная, поэтому для x = −1; −2; −3; −4; −6; −12 получаем y = 12; 6; 4; 3; 2; 1. Через построенные точки проводим две плавные ветви, которые приближаются к осям, но не пересекают их.
б) y = 10/x: k = 10 > 0, ветви лежат в I и III четвертях. Таблица: x = 1; 2; 5; 10 — y = 10; 5; 2; 1; для x = −1; −2; −5; −10: y = −10; −5; −2; −1. Строим точки и соединяем плавными линиями каждую ветвь.
Ответ: см. рисунок.
182. Постройте график функции y = √(kx) при k, равном: а) 2; б) 0,5. Как меняется характер графика в зависимости от коэффициента k?
Функция y = √(kx) при k > 0 определена при x ≥ 0 и принимает неотрицательные значения; её график — ветвь параболы, начинающаяся в начале координат.
а) k = 2, y = √(2x). Подбираем значения x, при которых 2x — точный квадрат: x = 0; 0,5; 2; 4,5; 8 — y = 0; 1; 2; 3; 4.
б) k = 0,5, y = √(0,5x). Берём x = 0; 2; 8; 18 — y = 0; 1; 2; 3 (при x = 18: √9 = 3).
Соединяем точки плавными линиями.
Характер графика: y = √(kx) = √k·√x, то есть график получается из графика y = √x растяжением от оси x в √k раз (при k > 1) или сжатием к оси x (при 0 < k < 1). Чем больше k, тем быстрее растёт функция, тем круче ветвь и тем ближе она прижимается к оси y; при k = 2 график лежит выше, чем при k = 0,5, при всех x > 0. При k = 1 получаем график y = √x.
Ответ: см. рисунок; с ростом k график «поднимается» круче.
а) k = 2, y = √(2x). Подбираем значения x, при которых 2x — точный квадрат: x = 0; 0,5; 2; 4,5; 8 — y = 0; 1; 2; 3; 4.
б) k = 0,5, y = √(0,5x). Берём x = 0; 2; 8; 18 — y = 0; 1; 2; 3 (при x = 18: √9 = 3).
Соединяем точки плавными линиями.
Характер графика: y = √(kx) = √k·√x, то есть график получается из графика y = √x растяжением от оси x в √k раз (при k > 1) или сжатием к оси x (при 0 < k < 1). Чем больше k, тем быстрее растёт функция, тем круче ветвь и тем ближе она прижимается к оси y; при k = 2 график лежит выше, чем при k = 0,5, при всех x > 0. При k = 1 получаем график y = √x.
Ответ: см. рисунок; с ростом k график «поднимается» круче.
183. Постройте в одной системе координат графики функций y = 1/3 x² и y = −1/3 x². Найдите промежутки возрастания и убывания для каждой функции.
Оба графика — параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии x = 0. Они симметричны друг другу относительно оси x.
Таблица для y = x²/3: x = 0; ±1; ±2; ±3; ±4 — y = 0; 1/3; 4/3; 3; 16/3. Для y = −x²/3 значения противоположны: 0; −1/3; −4/3; −3; −16/3.
У первой параболы (a = 1/3 > 0) ветви направлены вверх, у второй (a = −1/3 < 0) — вниз.
Промежутки монотонности: y = x²/3 убывает на промежутке (−∞; 0] и возрастает на промежутке [0; +∞); y = −x²/3 возрастает на промежутке (−∞; 0] и убывает на промежутке [0; +∞).
Ответ: y = x²/3 — убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); y = −x²/3 — возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞).
Таблица для y = x²/3: x = 0; ±1; ±2; ±3; ±4 — y = 0; 1/3; 4/3; 3; 16/3. Для y = −x²/3 значения противоположны: 0; −1/3; −4/3; −3; −16/3.
У первой параболы (a = 1/3 > 0) ветви направлены вверх, у второй (a = −1/3 < 0) — вниз.
Промежутки монотонности: y = x²/3 убывает на промежутке (−∞; 0] и возрастает на промежутке [0; +∞); y = −x²/3 возрастает на промежутке (−∞; 0] и убывает на промежутке [0; +∞).
Ответ: y = x²/3 — убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); y = −x²/3 — возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞).
184. Изобразите схематически в одной системе координат графики функций y = ax² для случая: a < 0; a > 0. Перечислите свойства функции для каждого случая.
Графиком функции y = ax² (a ≠ 0) является парабола с вершиной в начале координат и осью симметрии — осью y. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Графики для a и −a симметричны относительно оси x.
Случай a > 0. D(y) = (−∞; +∞); E(y) = [0; +∞); функция чётная; единственный нуль x = 0; y > 0 при x ≠ 0; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0 достигается при x = 0, наибольшего значения нет.
Случай a < 0. D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; 0]; функция чётная; единственный нуль x = 0; y < 0 при x ≠ 0; возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); наибольшее значение 0 достигается при x = 0, наименьшего значения нет.
Ответ: см. рисунок и свойства выше.
Случай a > 0. D(y) = (−∞; +∞); E(y) = [0; +∞); функция чётная; единственный нуль x = 0; y > 0 при x ≠ 0; убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0 достигается при x = 0, наибольшего значения нет.
Случай a < 0. D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; 0]; функция чётная; единственный нуль x = 0; y < 0 при x ≠ 0; возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); наибольшее значение 0 достигается при x = 0, наименьшего значения нет.
Ответ: см. рисунок и свойства выше.
185. Постройте в одной системе координат графики функций y = 1/9 x³ и y = −1/9 x³. Найдите промежутки возрастания и убывания для каждой функции.
Графики — кубические параболы, симметричные друг другу относительно оси x; обе функции нечётные, поэтому графики симметричны относительно начала координат.
Таблица для y = x³/9: x = 0; ±1; ±2; ±3; ±4 — y = 0; ±1/9; ±8/9; ±3; ±64/9 (≈ ±7,1). Для y = −x³/9 значения противоположны.
По графикам видно: функция y = x³/9 при увеличении x всё время возрастает, функция y = −x³/9 всё время убывает.
Ответ: y = x³/9 возрастает на всей числовой прямой, (−∞; +∞), и не убывает ни на каком промежутке; y = −x³/9 убывает на всей числовой прямой.
Таблица для y = x³/9: x = 0; ±1; ±2; ±3; ±4 — y = 0; ±1/9; ±8/9; ±3; ±64/9 (≈ ±7,1). Для y = −x³/9 значения противоположны.
По графикам видно: функция y = x³/9 при увеличении x всё время возрастает, функция y = −x³/9 всё время убывает.
Ответ: y = x³/9 возрастает на всей числовой прямой, (−∞; +∞), и не убывает ни на каком промежутке; y = −x³/9 убывает на всей числовой прямой.
186. Докажите, что: а) сумма двух чётных функций есть функция чётная; б) сумма двух нечётных функций — функция нечётная.
Пусть f и g — функции, определённые на множестве, симметричном относительно нуля (общая область определения h = f + g — пересечение двух таких множеств — тоже симметрична относительно нуля). Обозначим h(x) = f(x) + g(x).
а) Пусть f и g чётные: f(−x) = f(x), g(−x) = g(x). Тогда h(−x) = f(−x) + g(−x) = f(x) + g(x) = h(x). Следовательно, h — чётная функция.
б) Пусть f и g нечётные: f(−x) = −f(x), g(−x) = −g(x). Тогда h(−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x) − g(x) = −(f(x) + g(x)) = −h(x). Следовательно, h — нечётная функция.
Что и требовалось доказать.
а) Пусть f и g чётные: f(−x) = f(x), g(−x) = g(x). Тогда h(−x) = f(−x) + g(−x) = f(x) + g(x) = h(x). Следовательно, h — чётная функция.
б) Пусть f и g нечётные: f(−x) = −f(x), g(−x) = −g(x). Тогда h(−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x) − g(x) = −(f(x) + g(x)) = −h(x). Следовательно, h — нечётная функция.
Что и требовалось доказать.
187. Докажите, что: а) произведение двух чётных функций является чётной функцией; б) произведение двух нечётных функций есть функция чётная; в) произведение чётной и нечётной функций есть функция нечётная.
Пусть f и g определены на множестве, симметричном относительно нуля (область определения произведения p = f·g — пересечение таких множеств — тоже симметрична). Обозначим p(x) = f(x)·g(x).
а) f и g чётные: p(−x) = f(−x)·g(−x) = f(x)·g(x) = p(x). Значит, p — чётная функция.
б) f и g нечётные: p(−x) = f(−x)·g(−x) = (−f(x))·(−g(x)) = f(x)·g(x) = p(x). Значит, p — чётная функция.
в) f чётная, g нечётная: p(−x) = f(−x)·g(−x) = f(x)·(−g(x)) = −f(x)·g(x) = −p(x). Значит, p — нечётная функция.
Что и требовалось доказать.
а) f и g чётные: p(−x) = f(−x)·g(−x) = f(x)·g(x) = p(x). Значит, p — чётная функция.
б) f и g нечётные: p(−x) = f(−x)·g(−x) = (−f(x))·(−g(x)) = f(x)·g(x) = p(x). Значит, p — чётная функция.
в) f чётная, g нечётная: p(−x) = f(−x)·g(−x) = f(x)·(−g(x)) = −f(x)·g(x) = −p(x). Значит, p — нечётная функция.
Что и требовалось доказать.
188. Задайте уравнением функцию y = f(x), график которой представлен на рисунке 40, и опишите её свойства. [рисунок 40: три графика на координатной сетке: а) ломаная в форме «галочки» с вершиной на оси x в точке (−3; 0), проходящая через точки (−7; 4), (0; 3), (4; 7); б) гипербола с ветвями в I и III четвертях, проходящая через точки (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1); в) кривая, выходящая из начала координат вправо и вверх, всё более полого]
а) График состоит из двух лучей, выходящих из вершины (−3; 0) под углом 45° к оси x: правый проходит через точки (0; 3), (4; 7), левый — через (−7; 4). Это график модуля, сдвинутый на 3 единицы влево: f(x) = |x + 3|. Проверка: |0 + 3| = 3, |4 + 3| = 7, |−7 + 3| = 4.
Свойства: D(f) = (−∞; +∞); E(f) = [0; +∞); нуль x = −3; f(x) > 0 при x ≠ −3; убывает на (−∞; −3], возрастает на [−3; +∞); наименьшее значение 0 при x = −3, наибольшего нет; ни чётная, ни нечётная.
б) График — гипербола, асимптоты которой — оси координат, ветви в I и III четвертях. Тогда f(x) = k/x, k > 0. Точка (1; 2) принадлежит графику, значит, k = 1·2 = 2; проверка: (2; 1), (−1; −2), (−2; −1) подходят. Получаем f(x) = 2/x.
Свойства: D(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); E(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); нулей нет; f(x) > 0 при x > 0, f(x) < 0 при x < 0; убывает на промежутках (−∞; 0) и (0; +∞); нечётная; наибольшего и наименьшего значений нет.
в) График начинается в начале координат и идёт вправо и вверх, всё полого поднимаясь, — ветвь параболы, лежащей «на боку», то есть график функции вида y = √(kx). Через точку, близкую к (3; 3), график проходит при k = 3, поэтому f(x) = √(3x).
Свойства: D(f) = [0; +∞); E(f) = [0; +∞); нуль x = 0; f(x) > 0 при x > 0; возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет; ни чётная, ни нечётная.
Ответ: а) f(x) = |x + 3|; б) f(x) = 2/x; в) f(x) = √(3x).
Оговорка: на рисунке в) коэффициент определяется лишь приближённо (график проходит примерно через точки (3; 2,8), (4; 3,3), (9; 4,9)); принят k = 3. Ответа в учебнике нет.
Свойства: D(f) = (−∞; +∞); E(f) = [0; +∞); нуль x = −3; f(x) > 0 при x ≠ −3; убывает на (−∞; −3], возрастает на [−3; +∞); наименьшее значение 0 при x = −3, наибольшего нет; ни чётная, ни нечётная.
б) График — гипербола, асимптоты которой — оси координат, ветви в I и III четвертях. Тогда f(x) = k/x, k > 0. Точка (1; 2) принадлежит графику, значит, k = 1·2 = 2; проверка: (2; 1), (−1; −2), (−2; −1) подходят. Получаем f(x) = 2/x.
Свойства: D(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); E(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); нулей нет; f(x) > 0 при x > 0, f(x) < 0 при x < 0; убывает на промежутках (−∞; 0) и (0; +∞); нечётная; наибольшего и наименьшего значений нет.
в) График начинается в начале координат и идёт вправо и вверх, всё полого поднимаясь, — ветвь параболы, лежащей «на боку», то есть график функции вида y = √(kx). Через точку, близкую к (3; 3), график проходит при k = 3, поэтому f(x) = √(3x).
Свойства: D(f) = [0; +∞); E(f) = [0; +∞); нуль x = 0; f(x) > 0 при x > 0; возрастает на [0; +∞); наименьшее значение 0 при x = 0, наибольшего нет; ни чётная, ни нечётная.
Ответ: а) f(x) = |x + 3|; б) f(x) = 2/x; в) f(x) = √(3x).
Оговорка: на рисунке в) коэффициент определяется лишь приближённо (график проходит примерно через точки (3; 2,8), (4; 3,3), (9; 4,9)); принят k = 3. Ответа в учебнике нет.