Глава II. Дополнительные упражнения к главе II — с. 70
198. Постройте график функции: а) f(x) = |x² − 2x|; б) f(x) = x² − 2|x|.
а) Строим график y = x² − 2x: парабола с вершиной (1; −1), нулями x = 0 и x = 2 (x² − 2x = x(x − 2)), точками (−1; 3), (3; 3). Функция f(x) = |x² − 2x| совпадает с x² − 2x там, где x² − 2x ≥ 0 (при x ≤ 0 и x ≥ 2), и равна −(x² − 2x) там, где x² − 2x < 0 (при 0 < x < 2). Поэтому часть параболы, лежащую ниже оси x (между нулями), симметрично отражаем относительно оси x: вершина переходит в точку (1; 1); остальные части остаются без изменений (на рисунке исходная часть показана серым штрихом).
б) f(x) = x² − 2|x|. При x ≥ 0: f(x) = x² − 2x — правая половина параболы с вершиной (1; −1); при x < 0: f(x) = x² + 2x — левая половина параболы с вершиной (−1; −1). Функция чётная (f(−x) = f(x)), график симметричен относительно оси y. Нули: x = 0, x = ±2. Для построения достаточно построить график при x ≥ 0 и отразить его относительно оси y.
Ответ: см. рисунок.
б) f(x) = x² − 2|x|. При x ≥ 0: f(x) = x² − 2x — правая половина параболы с вершиной (1; −1); при x < 0: f(x) = x² + 2x — левая половина параболы с вершиной (−1; −1). Функция чётная (f(−x) = f(x)), график симметричен относительно оси y. Нули: x = 0, x = ±2. Для построения достаточно построить график при x ≥ 0 и отразить его относительно оси y.
Ответ: см. рисунок.
199. Постройте график функции: а) y = x|x|; б) y = −x³/|x|.
а) Раскроем модуль. При x ≥ 0: |x| = x, y = x·x = x². При x < 0: |x| = −x, y = x·(−x) = −x². Значит, график состоит из правой ветви параболы y = x² (при x ≥ 0) и левой ветви параболы y = −x² (при x < 0). Точки: (0; 0), (1; 1), (2; 4), (−1; −1), (−2; −4). Функция нечётная, возрастает на всей числовой прямой.
б) Область определения: x ≠ 0. При x > 0: |x| = x, y = −x³/x = −x². При x < 0: |x| = −x, y = −x³/(−x) = x². Значит, график состоит из правой ветви параболы y = −x² (при x > 0) и левой ветви параболы y = x² (при x < 0); точка (0; 0) выколота (при x = 0 функция не определена). Точки: (1; −1), (2; −4), (−1; 1), (−2; 4).
Ответ: см. рисунок.
б) Область определения: x ≠ 0. При x > 0: |x| = x, y = −x³/x = −x². При x < 0: |x| = −x, y = −x³/(−x) = x². Значит, график состоит из правой ветви параболы y = −x² (при x > 0) и левой ветви параболы y = x² (при x < 0); точка (0; 0) выколота (при x = 0 функция не определена). Точки: (1; −1), (2; −4), (−1; 1), (−2; 4).
Ответ: см. рисунок.
200. При каких значениях c график функции y = x² − 6x + c расположен выше прямой: а) y = 4; б) y = −1?
Ветви параболы y = x² − 6x + c направлены вверх, её вершина — в точке с абсциссой x₀ = 6/2 = 3, ордината вершины y₀ = 9 − 18 + c = c − 9 — наименьшее значение функции. График расположен выше горизонтальной прямой y = m при всех x тогда и только тогда, когда наименьшее значение больше m: c − 9 > m.
а) m = 4: c − 9 > 4, c > 13.
б) m = −1: c − 9 > −1, c > 8.
Тот же результат даёт условие: уравнение x² − 6x + c = m не имеет корней, то есть дискриминант 36 − 4(c − m) < 0.
Ответ: а) при c > 13; б) при c > 8.
а) m = 4: c − 9 > 4, c > 13.
б) m = −1: c − 9 > −1, c > 8.
Тот же результат даёт условие: уравнение x² − 6x + c = m не имеет корней, то есть дискриминант 36 − 4(c − m) < 0.
Ответ: а) при c > 13; б) при c > 8.
201. При каких значениях b и c вершиной параболы y = x² + bx + c является точка (6; −12)?
Абсцисса вершины параболы y = x² + bx + c равна −b/2. По условию −b/2 = 6, откуда b = −12.
Вершина лежит на параболе: подставим x = 6, y = −12 в y = x² − 12x + c: −12 = 36 − 72 + c, −12 = −36 + c, c = 24.
Проверка: y = x² − 12x + 24 = (x − 6)² − 12, вершина (6; −12).
Ответ: b = −12, c = 24.
Вершина лежит на параболе: подставим x = 6, y = −12 в y = x² − 12x + c: −12 = 36 − 72 + c, −12 = −36 + c, c = 24.
Проверка: y = x² − 12x + 24 = (x − 6)² − 12, вершина (6; −12).
Ответ: b = −12, c = 24.
202. Найдите значение a, при котором осью симметрии параболы y = ax² − 16x + 1 является прямая x = 4.
Осью симметрии параболы y = ax² + bx + c служит прямая x = −b/(2a). Здесь b = −16, поэтому −b/(2a) = 16/(2a) = 8/a.
По условию 8/a = 4, откуда a = 2.
Проверка: y = 2x² − 16x + 1, x₀ = 16/(2·2) = 4.
Ответ: a = 2.
По условию 8/a = 4, откуда a = 2.
Проверка: y = 2x² − 16x + 1, x₀ = 16/(2·2) = 4.
Ответ: a = 2.
203. При каких значениях a и c квадратичная функция y = ax² + c имеет нули?
Квадратичная функция: a ≠ 0. Нули функции — решения уравнения ax² + c = 0, то есть x² = −c/a. Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда −c/a ≥ 0 (при −c/a = 0 один корень x = 0, при −c/a > 0 два корня ±√(−c/a)).
Условие −c/a ≥ 0 выполняется в двух случаях: если a > 0, то −c ≥ 0, то есть c ≤ 0; если a < 0, то −c ≤ 0, то есть c ≥ 0.
Ответ: при a > 0 и c ≤ 0; при a < 0 и c ≥ 0.
Условие −c/a ≥ 0 выполняется в двух случаях: если a > 0, то −c ≥ 0, то есть c ≤ 0; если a < 0, то −c ≤ 0, то есть c ≥ 0.
Ответ: при a > 0 и c ≤ 0; при a < 0 и c ≥ 0.
204. Найдите значения a и b, при которых график функции y = ax² + bx − 18 проходит через точки M(1; 2) и N(2; 10).
Подставим координаты точек в формулу.
M(1; 2): a·1 + b·1 − 18 = 2, a + b = 20.
N(2; 10): 4a + 2b − 18 = 10, 4a + 2b = 28, 2a + b = 14.
Вычтем из второго уравнения первое: (2a + b) − (a + b) = 14 − 20, a = −6. Тогда b = 20 − a = 26.
Проверка: y = −6x² + 26x − 18; y(1) = −6 + 26 − 18 = 2; y(2) = −24 + 52 − 18 = 10.
Ответ: a = −6, b = 26.
M(1; 2): a·1 + b·1 − 18 = 2, a + b = 20.
N(2; 10): 4a + 2b − 18 = 10, 4a + 2b = 28, 2a + b = 14.
Вычтем из второго уравнения первое: (2a + b) − (a + b) = 14 − 20, a = −6. Тогда b = 20 − a = 26.
Проверка: y = −6x² + 26x − 18; y(1) = −6 + 26 − 18 = 2; y(2) = −24 + 52 − 18 = 10.
Ответ: a = −6, b = 26.
205. Постройте график функции и опишите её свойства: а) y = x² + 2x − 15; б) y = 0,5x² − 3x + 4; в) y = 4 − 0,5x²; г) y = 6x − 2x²; д) y = (2x − 7)(x + 1); е) y = (2 − x)(x + 6).
Графиком каждой функции является парабола. Находим вершину x₀ = −b/(2a), y₀ = y(x₀), нули (корни уравнения y = 0), точку пересечения с осью y и по ним строим график.
а) y = x² + 2x − 15. a = 1 > 0, ветви вверх. Вершина: x₀ = −1, y₀ = 1 − 2 − 15 = −16. Нули: x² + 2x − 15 = 0, x = −5 и x = 3. С осью y: (0; −15). Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = [−16; +∞); y = 0 при x = −5 и x = 3; y > 0 при x < −5 и x > 3; y < 0 при −5 < x < 3; убывает на (−∞; −1], возрастает на [−1; +∞); наименьшее значение −16 при x = −1, наибольшего нет.
б) y = 0,5x² − 3x + 4. a = 0,5 > 0, ветви вверх. Вершина: x₀ = 3/(2·0,5) = 3, y₀ = 4,5 − 9 + 4 = −0,5. Нули: x² − 6x + 8 = 0, x = 2 и x = 4. С осью y: (0; 4). Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = [−0,5; +∞); y > 0 при x < 2 и x > 4; y < 0 при 2 < x < 4; убывает на (−∞; 3], возрастает на [3; +∞); наименьшее значение −0,5 при x = 3, наибольшего нет.
в) y = 4 − 0,5x² = −0,5x² + 4. a = −0,5 < 0, ветви вниз. Вершина (0; 4). Нули: x² = 8, x = ±2√2 (≈ ±2,83). Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; 4]; функция чётная; y > 0 при −2√2 < x < 2√2; y < 0 при x < −2√2 и x > 2√2; возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); наибольшее значение 4 при x = 0, наименьшего нет.
г) y = 6x − 2x² = −2x² + 6x. a = −2 < 0, ветви вниз. Вершина: x₀ = −6/(2·(−2)) = 1,5, y₀ = 9 − 4,5 = 4,5. Нули: 2x(3 − x) = 0, x = 0 и x = 3. Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; 4,5]; y > 0 при 0 < x < 3; y < 0 при x < 0 и x > 3; возрастает на (−∞; 1,5], убывает на [1,5; +∞); наибольшее значение 4,5 при x = 1,5, наименьшего нет.
д) y = (2x − 7)(x + 1) = 2x² − 5x − 7. a = 2 > 0, ветви вверх. Нули: x = 3,5 и x = −1. Вершина: x₀ = 5/4 = 1,25, y₀ = 2·1,5625 − 6,25 − 7 = −10,125. С осью y: (0; −7). Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = [−10,125; +∞); y > 0 при x < −1 и x > 3,5; y < 0 при −1 < x < 3,5; убывает на (−∞; 1,25], возрастает на [1,25; +∞); наименьшее значение −10,125 при x = 1,25, наибольшего нет.
е) y = (2 − x)(x + 6) = −x² − 4x + 12. a = −1 < 0, ветви вниз. Нули: x = 2 и x = −6. Вершина: x₀ = −4/2 = −2 (середина между нулями), y₀ = 4·4 = 16. С осью y: (0; 12). Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; 16]; y > 0 при −6 < x < 2; y < 0 при x < −6 и x > 2; возрастает на (−∞; −2], убывает на [−2; +∞); наибольшее значение 16 при x = −2, наименьшего нет.
Ответ: см. рисунок и свойства выше.
а) y = x² + 2x − 15. a = 1 > 0, ветви вверх. Вершина: x₀ = −1, y₀ = 1 − 2 − 15 = −16. Нули: x² + 2x − 15 = 0, x = −5 и x = 3. С осью y: (0; −15). Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = [−16; +∞); y = 0 при x = −5 и x = 3; y > 0 при x < −5 и x > 3; y < 0 при −5 < x < 3; убывает на (−∞; −1], возрастает на [−1; +∞); наименьшее значение −16 при x = −1, наибольшего нет.
б) y = 0,5x² − 3x + 4. a = 0,5 > 0, ветви вверх. Вершина: x₀ = 3/(2·0,5) = 3, y₀ = 4,5 − 9 + 4 = −0,5. Нули: x² − 6x + 8 = 0, x = 2 и x = 4. С осью y: (0; 4). Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = [−0,5; +∞); y > 0 при x < 2 и x > 4; y < 0 при 2 < x < 4; убывает на (−∞; 3], возрастает на [3; +∞); наименьшее значение −0,5 при x = 3, наибольшего нет.
в) y = 4 − 0,5x² = −0,5x² + 4. a = −0,5 < 0, ветви вниз. Вершина (0; 4). Нули: x² = 8, x = ±2√2 (≈ ±2,83). Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; 4]; функция чётная; y > 0 при −2√2 < x < 2√2; y < 0 при x < −2√2 и x > 2√2; возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); наибольшее значение 4 при x = 0, наименьшего нет.
г) y = 6x − 2x² = −2x² + 6x. a = −2 < 0, ветви вниз. Вершина: x₀ = −6/(2·(−2)) = 1,5, y₀ = 9 − 4,5 = 4,5. Нули: 2x(3 − x) = 0, x = 0 и x = 3. Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; 4,5]; y > 0 при 0 < x < 3; y < 0 при x < 0 и x > 3; возрастает на (−∞; 1,5], убывает на [1,5; +∞); наибольшее значение 4,5 при x = 1,5, наименьшего нет.
д) y = (2x − 7)(x + 1) = 2x² − 5x − 7. a = 2 > 0, ветви вверх. Нули: x = 3,5 и x = −1. Вершина: x₀ = 5/4 = 1,25, y₀ = 2·1,5625 − 6,25 − 7 = −10,125. С осью y: (0; −7). Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = [−10,125; +∞); y > 0 при x < −1 и x > 3,5; y < 0 при −1 < x < 3,5; убывает на (−∞; 1,25], возрастает на [1,25; +∞); наименьшее значение −10,125 при x = 1,25, наибольшего нет.
е) y = (2 − x)(x + 6) = −x² − 4x + 12. a = −1 < 0, ветви вниз. Нули: x = 2 и x = −6. Вершина: x₀ = −4/2 = −2 (середина между нулями), y₀ = 4·4 = 16. С осью y: (0; 12). Свойства: D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; 16]; y > 0 при −6 < x < 2; y < 0 при x < −6 и x > 2; возрастает на (−∞; −2], убывает на [−2; +∞); наибольшее значение 16 при x = −2, наименьшего нет.
Ответ: см. рисунок и свойства выше.
206. Используя график, найдите множество значений функции: а) y = 3x² − 0,5x + 1/16; б) y = 2x² + 1,2x + 2; в) y = −1/2 x² + 4x − 5,5; г) y = −3x² − 2x − 4 2/3.
Графики — параболы; множество значений определяется ординатой вершины: если ветви вверх (a > 0), то E = [y₀; +∞); если ветви вниз (a < 0), то E = (−∞; y₀]. Вершина: x₀ = −b/(2a), y₀ = y(x₀).
а) a = 3 > 0. x₀ = 0,5/6 = 1/12. y₀ = 3·(1/144) − 0,5·(1/12) + 1/16 = 1/48 − 1/24 + 1/16 = (1 − 2 + 3)/48 = 2/48 = 1/24. E(y) = [1/24; +∞).
б) a = 2 > 0. x₀ = −1,2/4 = −0,3. y₀ = 2·0,09 + 1,2·(−0,3) + 2 = 0,18 − 0,36 + 2 = 1,82. E(y) = [1,82; +∞).
в) a = −1/2 < 0. x₀ = −4/(2·(−1/2)) = 4. y₀ = −8 + 16 − 5,5 = 2,5. E(y) = (−∞; 2,5].
г) a = −3 < 0. x₀ = 2/(2·(−3)) = −1/3. y₀ = −3·(1/9) + 2/3 − 14/3 = −1/3 + 2/3 − 14/3 = −13/3 = −4 1/3. E(y) = (−∞; −4 1/3].
Ответ: а) [1/24; +∞); б) [1,82; +∞); в) (−∞; 2,5]; г) (−∞; −4 1/3].
а) a = 3 > 0. x₀ = 0,5/6 = 1/12. y₀ = 3·(1/144) − 0,5·(1/12) + 1/16 = 1/48 − 1/24 + 1/16 = (1 − 2 + 3)/48 = 2/48 = 1/24. E(y) = [1/24; +∞).
б) a = 2 > 0. x₀ = −1,2/4 = −0,3. y₀ = 2·0,09 + 1,2·(−0,3) + 2 = 0,18 − 0,36 + 2 = 1,82. E(y) = [1,82; +∞).
в) a = −1/2 < 0. x₀ = −4/(2·(−1/2)) = 4. y₀ = −8 + 16 − 5,5 = 2,5. E(y) = (−∞; 2,5].
г) a = −3 < 0. x₀ = 2/(2·(−3)) = −1/3. y₀ = −3·(1/9) + 2/3 − 14/3 = −1/3 + 2/3 − 14/3 = −13/3 = −4 1/3. E(y) = (−∞; −4 1/3].
Ответ: а) [1/24; +∞); б) [1,82; +∞); в) (−∞; 2,5]; г) (−∞; −4 1/3].
207. Пусть h (м) — высота, на которой находится брошенный с земли вверх мяч, t (с) — время полёта мяча. Зависимость h от t выражается формулой h = 24t − 4,9t². Какой наибольшей высоты достиг мяч?
В какой промежуток времени он поднимался и в какой опускался?
Через сколько секунд после броска он упал на землю?
Зависимость h = −4,9t² + 24t — квадратичная функция, график — парабола ветвями вниз; наибольшее значение достигается в вершине.
Абсцисса вершины: t₀ = −24/(2·(−4,9)) = 24/9,8 = 120/49 ≈ 2,45 (с).
Наибольшая высота: h(t₀) = 24·(120/49) − 4,9·(120/49)² = 2880/49 − 1440/49 = 1440/49 ≈ 29,4 (м). (Тот же результат даёт формула y₀ = −b²/(4a) = 24²/(4·4,9) = 576/19,6 = 1440/49.)
До момента t₀ функция возрастает (мяч поднимается), после — убывает (мяч опускается): поднимался в промежутке 0 ≤ t ≤ 120/49 (приблизительно от 0 до 2,45 с), опускался в промежутке 120/49 ≤ t ≤ 240/49 (от 2,45 до 4,9 с).
Мяч упал на землю, когда h = 0: 24t − 4,9t² = 0, t(24 − 4,9t) = 0; t = 0 (момент броска) или t = 24/4,9 = 240/49 ≈ 4,9 (с). Это вдвое больше t₀, что соответствует симметрии параболы.
Ответ: наибольшая высота ≈ 29,4 м; поднимался примерно в течение первых 2,45 с, опускался примерно с 2,45 с до 4,9 с; упал через ≈ 4,9 с.
Абсцисса вершины: t₀ = −24/(2·(−4,9)) = 24/9,8 = 120/49 ≈ 2,45 (с).
Наибольшая высота: h(t₀) = 24·(120/49) − 4,9·(120/49)² = 2880/49 − 1440/49 = 1440/49 ≈ 29,4 (м). (Тот же результат даёт формула y₀ = −b²/(4a) = 24²/(4·4,9) = 576/19,6 = 1440/49.)
До момента t₀ функция возрастает (мяч поднимается), после — убывает (мяч опускается): поднимался в промежутке 0 ≤ t ≤ 120/49 (приблизительно от 0 до 2,45 с), опускался в промежутке 120/49 ≤ t ≤ 240/49 (от 2,45 до 4,9 с).
Мяч упал на землю, когда h = 0: 24t − 4,9t² = 0, t(24 − 4,9t) = 0; t = 0 (момент броска) или t = 24/4,9 = 240/49 ≈ 4,9 (с). Это вдвое больше t₀, что соответствует симметрии параболы.
Ответ: наибольшая высота ≈ 29,4 м; поднимался примерно в течение первых 2,45 с, опускался примерно с 2,45 с до 4,9 с; упал через ≈ 4,9 с.
208. Задайте формулой какую-либо квадратичную функцию, которая: а) в промежутке (−∞; −3] убывает, а в промежутке [−3; +∞) возрастает; б) в промежутке (−∞; 6] возрастает, а в промежутке [6; +∞) убывает.
У квадратичной функции y = a(x − m)² + n промежутки монотонности разделяет абсцисса вершины x = m; при a > 0 функция сначала убывает, потом возрастает, при a < 0 — наоборот.
а) Функция убывает до −3 и возрастает после −3: вершина имеет абсциссу −3, ветви вверх (a > 0). Например, y = (x + 3)² = x² + 6x + 9.
б) Функция возрастает до 6 и убывает после 6: вершина имеет абсциссу 6, ветви вниз (a < 0). Например, y = −(x − 6)² = −x² + 12x − 36.
Проверка по абсциссе вершины: а) −6/(2·1) = −3; б) −12/(2·(−1)) = 6.
Ответ: например, а) y = x² + 6x + 9; б) y = −x² + 12x − 36 (подойдёт любая функция вида y = a(x + 3)² + n при a > 0 и y = a(x − 6)² + n при a < 0).
а) Функция убывает до −3 и возрастает после −3: вершина имеет абсциссу −3, ветви вверх (a > 0). Например, y = (x + 3)² = x² + 6x + 9.
б) Функция возрастает до 6 и убывает после 6: вершина имеет абсциссу 6, ветви вниз (a < 0). Например, y = −(x − 6)² = −x² + 12x − 36.
Проверка по абсциссе вершины: а) −6/(2·1) = −3; б) −12/(2·(−1)) = 6.
Ответ: например, а) y = x² + 6x + 9; б) y = −x² + 12x − 36 (подойдёт любая функция вида y = a(x + 3)² + n при a > 0 и y = a(x − 6)² + n при a < 0).
209. Функция задана формулой y = x² + px + q. Найдите значения p и q, если известно, что: а) нули функции — числа 3 и 4; б) график функции пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0); в) наименьшее значение, равное 24, функция принимает при x = 6.
а) Нули 3 и 4 — корни уравнения x² + px + q = 0. По теореме Виета x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q: 3 + 4 = −p, p = −7; q = 3·4 = 12. Проверка: x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4).
б) График проходит через точку (0; 6) на оси y: y(0) = q = 6. Проходит через (2; 0): 2² + 2p + 6 = 0, 2p = −10, p = −5. Проверка: y = x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3); точка (2; 0) лежит на графике (кроме неё график пересекает ось x ещё в точке (3; 0)).
в) Ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение — в вершине: вершина (6; 24). Абсцисса вершины −p/2 = 6, p = −12. Подставим x = 6: 36 − 72 + q = 24, q = 60. Проверка: y = x² − 12x + 60 = (x − 6)² + 24.
Ответ: а) p = −7, q = 12; б) p = −5, q = 6; в) p = −12, q = 60.
б) График проходит через точку (0; 6) на оси y: y(0) = q = 6. Проходит через (2; 0): 2² + 2p + 6 = 0, 2p = −10, p = −5. Проверка: y = x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3); точка (2; 0) лежит на графике (кроме неё график пересекает ось x ещё в точке (3; 0)).
в) Ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение — в вершине: вершина (6; 24). Абсцисса вершины −p/2 = 6, p = −12. Подставим x = 6: 36 − 72 + q = 24, q = 60. Проверка: y = x² − 12x + 60 = (x − 6)² + 24.
Ответ: а) p = −7, q = 12; б) p = −5, q = 6; в) p = −12, q = 60.