Глава III. §5. п.13 Целое уравнение и его корни — с. 77
211. Решите уравнение: а) (8x − 1)(2x − 3) − (4x − 1)² = 38; б) (15x − 1)(1 + 15x)/3 = 2 2/3; в) 0,5y³ − 0,5y(y + 1)(y − 3) = 7; г) x⁴ − x² = (1 + 2x²)(2x² − 1)/4.
а) Раскрываем скобки: 16x² − 24x − 2x + 3 − (16x² − 8x + 1) = 38; 16x² − 26x + 3 − 16x² + 8x − 1 = 38; −18x + 2 = 38; −18x = 36; x = −2.
б) 2 2/3 = 8/3. Умножим обе части на 3: (15x − 1)(15x + 1) = 8; 225x² − 1 = 8; 225x² = 9; x² = 1/25; x = ±0,2.
в) 0,5y³ − 0,5y(y² − 2y − 3) = 7; 0,5y³ − 0,5y³ + y² + 1,5y = 7; y² + 1,5y − 7 = 0; 2y² + 3y − 14 = 0; D = 9 + 112 = 121; y = (−3 ± 11)/4; y = 2 или y = −3,5.
г) Умножим обе части на 4: 4(x⁴ − x²) = (1 + 2x²)(2x² − 1) = 4x⁴ − 1; 4x⁴ − 4x² = 4x⁴ − 1; −4x² = −1; x² = 1/4; x = ±0,5.
Ответ: а) −2; б) −0,2; 0,2; в) −3,5; 2; г) −0,5; 0,5.
б) 2 2/3 = 8/3. Умножим обе части на 3: (15x − 1)(15x + 1) = 8; 225x² − 1 = 8; 225x² = 9; x² = 1/25; x = ±0,2.
в) 0,5y³ − 0,5y(y² − 2y − 3) = 7; 0,5y³ − 0,5y³ + y² + 1,5y = 7; y² + 1,5y − 7 = 0; 2y² + 3y − 14 = 0; D = 9 + 112 = 121; y = (−3 ± 11)/4; y = 2 или y = −3,5.
г) Умножим обе части на 4: 4(x⁴ − x²) = (1 + 2x²)(2x² − 1) = 4x⁴ − 1; 4x⁴ − 4x² = 4x⁴ − 1; −4x² = −1; x² = 1/4; x = ±0,5.
Ответ: а) −2; б) −0,2; 0,2; в) −3,5; 2; г) −0,5; 0,5.
212. Решите уравнение: а) (6 − x)(x + 6) − (x − 11)x = 36; б) 9x² − (12x − 11)(3x + 8)/4 = 1; в) (1 − 3y)/11 − (3 − y)/5 = 0; г) (y + 1)²/12 − (1 − y²)/24 = 4.
а) 36 − x² − x² + 11x = 36; −2x² + 11x = 0; x(−2x + 11) = 0; x = 0 или x = 5,5.
б) Умножим на 4: 36x² − (12x − 11)(3x + 8) = 4; (12x − 11)(3x + 8) = 36x² + 96x − 33x − 88 = 36x² + 63x − 88. Тогда 36x² − 36x² − 63x + 88 = 4; −63x = −84; x = 4/3 = 1 1/3.
в) Это равенство дробей: (1 − 3y)/11 = (3 − y)/5. Умножим на 55: 5(1 − 3y) = 11(3 − y); 5 − 15y = 33 − 11y; −4y = 28; y = −7.
г) Умножим на 24: 2(y + 1)² − (1 − y²) = 96; 2y² + 4y + 2 − 1 + y² = 96; 3y² + 4y − 95 = 0; D = 16 + 1140 = 1156 = 34²; y = (−4 ± 34)/6; y = 5 или y = −19/3 = −6 1/3.
Ответ: а) 0; 5,5; б) 1 1/3; в) −7; г) −6 1/3; 5.
б) Умножим на 4: 36x² − (12x − 11)(3x + 8) = 4; (12x − 11)(3x + 8) = 36x² + 96x − 33x − 88 = 36x² + 63x − 88. Тогда 36x² − 36x² − 63x + 88 = 4; −63x = −84; x = 4/3 = 1 1/3.
в) Это равенство дробей: (1 − 3y)/11 = (3 − y)/5. Умножим на 55: 5(1 − 3y) = 11(3 − y); 5 − 15y = 33 − 11y; −4y = 28; y = −7.
г) Умножим на 24: 2(y + 1)² − (1 − y²) = 96; 2y² + 4y + 2 − 1 + y² = 96; 3y² + 4y − 95 = 0; D = 16 + 1140 = 1156 = 34²; y = (−4 ± 34)/6; y = 5 или y = −19/3 = −6 1/3.
Ответ: а) 0; 5,5; б) 1 1/3; в) −7; г) −6 1/3; 5.
213. Докажите, что уравнение 5x⁶ + 6x⁴ + x² + 4 = 0 не имеет корней.
Слагаемые 5x⁶, 6x⁴ и x² при любом x неотрицательны (x⁶ = (x³)², x⁴ = (x²)², x² — квадрат), поэтому 5x⁶ + 6x⁴ + x² ≥ 0. Тогда 5x⁶ + 6x⁴ + x² + 4 ≥ 4 > 0 при любом x. Левая часть никогда не равна нулю, значит, уравнение корней не имеет. Что и требовалось доказать.
214. Может ли отрицательное число быть корнем уравнения 12x⁵ + 7x³ + 11x − 3 = 121?
Перепишем уравнение: 12x⁵ + 7x³ + 11x = 124. Если x < 0, то x⁵ < 0, x³ < 0, поэтому 12x⁵ + 7x³ + 11x < 0, а 124 > 0. Равенство невозможно. Значит, отрицательное число корнем быть не может.
Ответ: нет, не может.
Ответ: нет, не может.
215. Если ребро куба увеличить на 3 см, то его объём увеличится на 513 см³. Чему равно ребро куба?
Пусть ребро куба равно x см, тогда объём x³ см³. После увеличения ребро x + 3 см, объём (x + 3)³ см³. По условию (x + 3)³ − x³ = 513.
x³ + 9x² + 27x + 27 − x³ = 513; 9x² + 27x − 486 = 0; x² + 3x − 54 = 0; D = 9 + 216 = 225; x = (−3 ± 15)/2; x = 6 или x = −9. Длина ребра положительна, поэтому x = 6.
Ответ: 6 см.
x³ + 9x² + 27x + 27 − x³ = 513; 9x² + 27x − 486 = 0; x² + 3x − 54 = 0; D = 9 + 216 = 225; x = (−3 ± 15)/2; x = 6 или x = −9. Длина ребра положительна, поэтому x = 6.
Ответ: 6 см.
216. Первое число на 5 больше второго, а его куб на 3185 больше куба второго. Найдите эти числа.
Пусть второе число x, тогда первое x + 5. По условию (x + 5)³ − x³ = 3185.
x³ + 15x² + 75x + 125 − x³ = 3185; 15x² + 75x − 3060 = 0; x² + 5x − 204 = 0; D = 25 + 816 = 841 = 29²; x = (−5 ± 29)/2; x = 12 или x = −17.
Если x = 12, то первое число 17. Если x = −17, то первое число −12. Проверка: 17³ − 12³ = 4913 − 1728 = 3185; (−12)³ − (−17)³ = −1728 + 4913 = 3185.
Ответ: 17 и 12 или −12 и −17.
x³ + 15x² + 75x + 125 − x³ = 3185; 15x² + 75x − 3060 = 0; x² + 5x − 204 = 0; D = 25 + 816 = 841 = 29²; x = (−5 ± 29)/2; x = 12 или x = −17.
Если x = 12, то первое число 17. Если x = −17, то первое число −12. Проверка: 17³ − 12³ = 4913 − 1728 = 3185; (−12)³ − (−17)³ = −1728 + 4913 = 3185.
Ответ: 17 и 12 или −12 и −17.
217. Решите уравнение: а) y³ − 6y = 0; б) 6x⁴ + 3,6x² = 0; в) x³ + 3x = 3,5x²; г) x³ − 0,1x = 0,3x²; д) 9x³ − 18x² − x + 2 = 0; е) y⁴ − y³ − 16y² + 16y = 0; ж) p³ − p² = p − 1; з) x⁴ − x² = 3x³ − 3x.
Во всех случаях переносим слагаемые в левую часть и раскладываем на множители.
а) y(y² − 6) = 0; y = 0 или y² = 6, y = ±√6.
б) x²(6x² + 3,6) = 0; 6x² + 3,6 > 0, поэтому x² = 0, x = 0.
в) x³ − 3,5x² + 3x = 0; x(x² − 3,5x + 3) = 0; x = 0 или x² − 3,5x + 3 = 0; D = 12,25 − 12 = 0,25; x = (3,5 ± 0,5)/2; x = 2 или x = 1,5.
г) x³ − 0,3x² − 0,1x = 0; x(x² − 0,3x − 0,1) = 0; D = 0,09 + 0,4 = 0,49; x = (0,3 ± 0,7)/2; x = 0,5 или x = −0,2; а также x = 0.
д) 9x²(x − 2) − (x − 2) = 0; (x − 2)(9x² − 1) = 0; x = 2 или x = ±1/3.
е) y(y³ − y² − 16y + 16) = 0; y(y²(y − 1) − 16(y − 1)) = 0; y(y − 1)(y² − 16) = 0; y = 0; 1; 4; −4.
ж) p³ − p² − p + 1 = 0; p²(p − 1) − (p − 1) = 0; (p − 1)(p² − 1) = 0; (p − 1)²(p + 1) = 0; p = 1 или p = −1.
з) x⁴ − 3x³ − x² + 3x = 0; x(x³ − 3x² − x + 3) = 0; x(x²(x − 3) − (x − 3)) = 0; x(x − 3)(x² − 1) = 0; x = 0; 3; 1; −1.
Ответ: а) −√6; 0; √6; б) 0; в) 0; 1,5; 2; г) −0,2; 0; 0,5; д) −1/3; 1/3; 2; е) −4; 0; 1; 4; ж) −1; 1; з) −1; 0; 1; 3.
а) y(y² − 6) = 0; y = 0 или y² = 6, y = ±√6.
б) x²(6x² + 3,6) = 0; 6x² + 3,6 > 0, поэтому x² = 0, x = 0.
в) x³ − 3,5x² + 3x = 0; x(x² − 3,5x + 3) = 0; x = 0 или x² − 3,5x + 3 = 0; D = 12,25 − 12 = 0,25; x = (3,5 ± 0,5)/2; x = 2 или x = 1,5.
г) x³ − 0,3x² − 0,1x = 0; x(x² − 0,3x − 0,1) = 0; D = 0,09 + 0,4 = 0,49; x = (0,3 ± 0,7)/2; x = 0,5 или x = −0,2; а также x = 0.
д) 9x²(x − 2) − (x − 2) = 0; (x − 2)(9x² − 1) = 0; x = 2 или x = ±1/3.
е) y(y³ − y² − 16y + 16) = 0; y(y²(y − 1) − 16(y − 1)) = 0; y(y − 1)(y² − 16) = 0; y = 0; 1; 4; −4.
ж) p³ − p² − p + 1 = 0; p²(p − 1) − (p − 1) = 0; (p − 1)(p² − 1) = 0; (p − 1)²(p + 1) = 0; p = 1 или p = −1.
з) x⁴ − 3x³ − x² + 3x = 0; x(x³ − 3x² − x + 3) = 0; x(x²(x − 3) − (x − 3)) = 0; x(x − 3)(x² − 1) = 0; x = 0; 3; 1; −1.
Ответ: а) −√6; 0; √6; б) 0; в) 0; 1,5; 2; г) −0,2; 0; 0,5; д) −1/3; 1/3; 2; е) −4; 0; 1; 4; ж) −1; 1; з) −1; 0; 1; 3.
218. Решите уравнение: а) 3x³ − x² + 18x − 6 = 0; б) 2x⁴ − 18x² = 5x³ − 45x.
а) Группируем: x²(3x − 1) + 6(3x − 1) = 0; (3x − 1)(x² + 6) = 0. Так как x² + 6 > 0, то 3x − 1 = 0, x = 1/3.
б) 2x⁴ − 5x³ − 18x² + 45x = 0; x(2x³ − 5x² − 18x + 45) = 0; x(x²(2x − 5) − 9(2x − 5)) = 0; x(2x − 5)(x² − 9) = 0; x = 0; x = 2,5; x = ±3.
Ответ: а) 1/3; б) −3; 0; 2,5; 3.
б) 2x⁴ − 5x³ − 18x² + 45x = 0; x(2x³ − 5x² − 18x + 45) = 0; x(x²(2x − 5) − 9(2x − 5)) = 0; x(2x − 5)(x² − 9) = 0; x = 0; x = 2,5; x = ±3.
Ответ: а) 1/3; б) −3; 0; 2,5; 3.
219. Решите уравнение: а) x³ + 7x² − 6 = 0; б) x³ + 4x² − 5 = 0.
а) Подбором находим корень x = −1: −1 + 7 − 6 = 0. Представим 7x² = x² + 6x² и сгруппируем: x³ + x² + 6x² − 6 = x²(x + 1) + 6(x − 1)(x + 1) = (x + 1)(x² + 6x − 6) = 0. Значит, x = −1 или x² + 6x − 6 = 0; D/4 = 9 + 6 = 15; x = −3 ± √15.
б) Корень x = 1: 1 + 4 − 5 = 0. Представим 4x² = −x² + 5x²: x³ − x² + 5x² − 5 = x²(x − 1) + 5(x − 1)(x + 1) = (x − 1)(x² + 5x + 5) = 0. Значит, x = 1 или x² + 5x + 5 = 0; D = 25 − 20 = 5; x = (−5 ± √5)/2.
Ответ: а) −3 − √15; −1; −3 + √15; б) (−5 − √5)/2; (−5 + √5)/2; 1.
б) Корень x = 1: 1 + 4 − 5 = 0. Представим 4x² = −x² + 5x²: x³ − x² + 5x² − 5 = x²(x − 1) + 5(x − 1)(x + 1) = (x − 1)(x² + 5x + 5) = 0. Значит, x = 1 или x² + 5x + 5 = 0; D = 25 − 20 = 5; x = (−5 ± √5)/2.
Ответ: а) −3 − √15; −1; −3 + √15; б) (−5 − √5)/2; (−5 + √5)/2; 1.
220. Найдите координаты точек пересечения графика функции y = x³ − 6x² + 11x − 6 с осями координат.
С осью y: x = 0, y = −6, точка (0; −6).
С осью x: y = 0, то есть x³ − 6x² + 11x − 6 = 0. Подбором x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0. Представим −6x² = −x² − 5x² и 11x = 5x + 6x: x³ − x² − 5x² + 5x + 6x − 6 = x²(x − 1) − 5x(x − 1) + 6(x − 1) = (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0. Корни 1; 2; 3.
Ответ: (1; 0), (2; 0), (3; 0) и (0; −6).
С осью x: y = 0, то есть x³ − 6x² + 11x − 6 = 0. Подбором x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0. Представим −6x² = −x² − 5x² и 11x = 5x + 6x: x³ − x² − 5x² + 5x + 6x − 6 = x²(x − 1) − 5x(x − 1) + 6(x − 1) = (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0. Корни 1; 2; 3.
Ответ: (1; 0), (2; 0), (3; 0) и (0; −6).
221. Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) (2x² + 3)² − 12(2x² + 3) + 11 = 0; б) (t² − 2t)² − 3 = 2(t² − 2t); в) (x² + x − 1)(x² + x + 2) = 40; г) (2x² + x − 1)(2x² + x − 4) + 2 = 0.
а) Пусть z = 2x² + 3, тогда z² − 12z + 11 = 0, z = 1 или z = 11. 2x² + 3 = 1 — корней нет (2x² = −2). 2x² + 3 = 11; x² = 4; x = ±2.
б) Пусть z = t² − 2t: z² − 2z − 3 = 0, z = 3 или z = −1. t² − 2t = 3: t² − 2t − 3 = 0, t = 3 или t = −1. t² − 2t = −1: (t − 1)² = 0, t = 1.
в) Пусть z = x² + x: (z − 1)(z + 2) = 40; z² + z − 42 = 0; z = 6 или z = −7. x² + x = 6: x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3. x² + x = −7: x² + x + 7 = 0, D = 1 − 28 < 0, корней нет.
г) Пусть z = 2x² + x: (z − 1)(z − 4) + 2 = 0; z² − 5z + 6 = 0; z = 2 или z = 3. 2x² + x − 2 = 0: D = 1 + 16 = 17; x = (−1 ± √17)/4. 2x² + x − 3 = 0: D = 1 + 24 = 25; x = (−1 ± 5)/4; x = 1 или x = −1,5.
Ответ: а) −2; 2; б) −1; 1; 3; в) −3; 2; г) −1,5; 1; (−1 − √17)/4; (−1 + √17)/4.
б) Пусть z = t² − 2t: z² − 2z − 3 = 0, z = 3 или z = −1. t² − 2t = 3: t² − 2t − 3 = 0, t = 3 или t = −1. t² − 2t = −1: (t − 1)² = 0, t = 1.
в) Пусть z = x² + x: (z − 1)(z + 2) = 40; z² + z − 42 = 0; z = 6 или z = −7. x² + x = 6: x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3. x² + x = −7: x² + x + 7 = 0, D = 1 − 28 < 0, корней нет.
г) Пусть z = 2x² + x: (z − 1)(z − 4) + 2 = 0; z² − 5z + 6 = 0; z = 2 или z = 3. 2x² + x − 2 = 0: D = 1 + 16 = 17; x = (−1 ± √17)/4. 2x² + x − 3 = 0: D = 1 + 24 = 25; x = (−1 ± 5)/4; x = 1 или x = −1,5.
Ответ: а) −2; 2; б) −1; 1; 3; в) −3; 2; г) −1,5; 1; (−1 − √17)/4; (−1 + √17)/4.