Глава III. §6. п.17 Решение неравенств методом интервалов — с. 96
285. Решите неравенство, используя метод интервалов: а) (x + 8)(x − 5) > 0; б) (x − 14)(x + 10) < 0; в) (x − 3,5)(x + 8,5) ≥ 0; г) (x + 1/3)(x + 1/8) ≤ 0.
Отмечаем нули множителей на числовой прямой; правее всех нулей произведение положительно, при переходе через каждый нуль знак меняется.
а) Нули −8 и 5. Знаки слева направо: «+», «−», «+». Нужен «+»: (−∞; −8) ∪ (5; +∞).
б) Нули −10 и 14. Знаки: «+», «−», «+». Нужен «−»: (−10; 14).
в) Нули −8,5 и 3,5. Нужен «+» или нуль: (−∞; −8,5] ∪ [3,5; +∞).
г) Нули −1/3 и −1/8. Нужен «−» или нуль: [−1/3; −1/8].
Ответ: а) (−∞; −8) ∪ (5; +∞); б) (−10; 14); в) (−∞; −8,5] ∪ [3,5; +∞); г) [−1/3; −1/8].
а) Нули −8 и 5. Знаки слева направо: «+», «−», «+». Нужен «+»: (−∞; −8) ∪ (5; +∞).
б) Нули −10 и 14. Знаки: «+», «−», «+». Нужен «−»: (−10; 14).
в) Нули −8,5 и 3,5. Нужен «+» или нуль: (−∞; −8,5] ∪ [3,5; +∞).
г) Нули −1/3 и −1/8. Нужен «−» или нуль: [−1/3; −1/8].
Ответ: а) (−∞; −8) ∪ (5; +∞); б) (−10; 14); в) (−∞; −8,5] ∪ [3,5; +∞); г) [−1/3; −1/8].
286. Решите неравенство: а) (x + 25)(x − 30) < 0; б) (x + 6)(x − 6) > 0; в) (x − 1/3)(x − 1/5) ≤ 0; г) (x + 0,1)(x + 6,3) ≥ 0.
а) Нули −25 и 30; произведение отрицательно между ними: (−25; 30).
б) Нули −6 и 6; произведение положительно вне них: (−∞; −6) ∪ (6; +∞).
в) Нули 1/5 и 1/3; произведение неположительно между нулями, включая их: [1/5; 1/3].
г) Нули −6,3 и −0,1; произведение неотрицательно вне интервала между нулями, включая нули: (−∞; −6,3] ∪ [−0,1; +∞).
Ответ: а) (−25; 30); б) (−∞; −6) ∪ (6; +∞); в) [1/5; 1/3]; г) (−∞; −6,3] ∪ [−0,1; +∞).
б) Нули −6 и 6; произведение положительно вне них: (−∞; −6) ∪ (6; +∞).
в) Нули 1/5 и 1/3; произведение неположительно между нулями, включая их: [1/5; 1/3].
г) Нули −6,3 и −0,1; произведение неотрицательно вне интервала между нулями, включая нули: (−∞; −6,3] ∪ [−0,1; +∞).
Ответ: а) (−25; 30); б) (−∞; −6) ∪ (6; +∞); в) [1/5; 1/3]; г) (−∞; −6,3] ∪ [−0,1; +∞).