Глава III. §6. п.18 Некоторые приёмы решения целых уравнений — с. 103
301. Из данных чисел 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 7, −7 выберите те, которые являются корнями уравнения x^4 − x³ − 51x² + 49x + 98 = 0. Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?
Уравнение целое с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1, поэтому его целые корни являются делителями свободного члена 98. Делители числа 98: ±1, ±2, ±7, ±14, ±49, ±98.
Числа 3, −3, 4, −4 не делят 98, поэтому их можно исключить сразу.
Проверяем остальные.
x = 1: 1 − 1 − 51 + 49 + 98 = 96 ≠ 0.
x = −1: 1 + 1 − 51 − 49 + 98 = 0, корень.
x = 2: 16 − 8 − 204 + 98 + 98 = 0, корень.
x = −2: 16 + 8 − 204 − 98 + 98 = −180 ≠ 0.
x = 7: 2401 − 343 − 2499 + 343 + 98 = 0, корень.
x = −7: 2401 + 343 − 2499 − 343 + 98 = 0, корень.
Ответ: корни −1, 2, 7, −7; числа 3, −3, 4, −4 исключаются сразу, так как не являются делителями числа 98.
Числа 3, −3, 4, −4 не делят 98, поэтому их можно исключить сразу.
Проверяем остальные.
x = 1: 1 − 1 − 51 + 49 + 98 = 96 ≠ 0.
x = −1: 1 + 1 − 51 − 49 + 98 = 0, корень.
x = 2: 16 − 8 − 204 + 98 + 98 = 0, корень.
x = −2: 16 + 8 − 204 − 98 + 98 = −180 ≠ 0.
x = 7: 2401 − 343 − 2499 + 343 + 98 = 0, корень.
x = −7: 2401 + 343 − 2499 − 343 + 98 = 0, корень.
Ответ: корни −1, 2, 7, −7; числа 3, −3, 4, −4 исключаются сразу, так как не являются делителями числа 98.
302. Решите уравнение: а) x³ − 4x² + 3x + 2 = 0; б) x^4 + 2x³ − 7x² − 8x + 12 = 0.
а) Целые корни — делители числа 2. Проверка: x = 2: 8 − 16 + 6 + 2 = 0, значит x = 2 — корень. Делим многочлен на x − 2: x³ − 4x² + 3x + 2 = (x − 2)(x² − 2x − 1). Из x² − 2x − 1 = 0: x = 1 ± √2.
б) Целые корни — делители числа 12. Проверка: x = 1: 1 + 2 − 7 − 8 + 12 = 0; x = 2: 16 + 16 − 28 − 16 + 12 = 0; x = −2: 16 − 16 − 28 + 16 + 12 = 0; x = −3: 81 − 54 − 63 + 24 + 12 = 0. Многочлен четвёртой степени имеет не более четырёх корней, все они найдены.
Ответ: а) 2; 1 − √2; 1 + √2; б) −3; −2; 1; 2.
б) Целые корни — делители числа 12. Проверка: x = 1: 1 + 2 − 7 − 8 + 12 = 0; x = 2: 16 + 16 − 28 − 16 + 12 = 0; x = −2: 16 − 16 − 28 + 16 + 12 = 0; x = −3: 81 − 54 − 63 + 24 + 12 = 0. Многочлен четвёртой степени имеет не более четырёх корней, все они найдены.
Ответ: а) 2; 1 − √2; 1 + √2; б) −3; −2; 1; 2.
303. При каких значениях p равны значения двучленов: а) p³ − p² и 8p − 12; б) p³ − 3p и p² + 1?
а) p³ − p² = 8p − 12, откуда p³ − p² − 8p + 12 = 0. Проверка делителей числа 12: p = 2: 8 − 4 − 16 + 12 = 0. Делим на p − 2: p³ − p² − 8p + 12 = (p − 2)(p² + p − 6) = (p − 2)(p − 2)(p + 3). Корни: p = 2 и p = −3.
б) p³ − 3p = p² + 1, откуда p³ − p² − 3p − 1 = 0. Проверка: p = −1: −1 − 1 + 3 − 1 = 0. Делим на p + 1: p³ − p² − 3p − 1 = (p + 1)(p² − 2p − 1). Из p² − 2p − 1 = 0: p = 1 ± √2.
Ответ: а) −3; 2; б) −1; 1 − √2; 1 + √2.
б) p³ − 3p = p² + 1, откуда p³ − p² − 3p − 1 = 0. Проверка: p = −1: −1 − 1 + 3 − 1 = 0. Делим на p + 1: p³ − p² − 3p − 1 = (p + 1)(p² − 2p − 1). Из p² − 2p − 1 = 0: p = 1 ± √2.
Ответ: а) −3; 2; б) −1; 1 − √2; 1 + √2.
304. Найдите координаты точек пересечения графика функции y = x³ + 4x² + x − 6 с осями координат.
С осью y: x = 0, y = −6, точка (0; −6).
С осью x: y = 0, то есть x³ + 4x² + x − 6 = 0. Подбираем среди делителей числа 6: x = 1: 1 + 4 + 1 − 6 = 0. Делим на x − 1: x³ + 4x² + x − 6 = (x − 1)(x² + 5x + 6) = (x − 1)(x + 2)(x + 3). Корни: 1, −2, −3.
Ответ: (0; −6), (1; 0), (−2; 0), (−3; 0).
С осью x: y = 0, то есть x³ + 4x² + x − 6 = 0. Подбираем среди делителей числа 6: x = 1: 1 + 4 + 1 − 6 = 0. Делим на x − 1: x³ + 4x² + x − 6 = (x − 1)(x² + 5x + 6) = (x − 1)(x + 2)(x + 3). Корни: 1, −2, −3.
Ответ: (0; −6), (1; 0), (−2; 0), (−3; 0).
305. Известно, что график функции y = x^4 − ax³ − 10x² + 80x − 96 пересекает ось x в точке (4; 0). Найдите a и координаты других точек пересечения графика функции с осью x.
Подставляем x = 4, y = 0: 256 − 64a − 160 + 320 − 96 = 0, то есть 320 − 64a = 0, a = 5.
Уравнение x^4 − 5x³ − 10x² + 80x − 96 = 0. Делим многочлен на x − 4: x^4 − 5x³ − 10x² + 80x − 96 = (x − 4)(x³ − x² − 14x + 24).
Для x³ − x² − 14x + 24 подбираем корень среди делителей числа 24: x = 2: 8 − 4 − 28 + 24 = 0. Делим на x − 2: x³ − x² − 14x + 24 = (x − 2)(x² + x − 12) = (x − 2)(x + 4)(x − 3).
Корни исходного уравнения: 4, 2, −4, 3.
Ответ: a = 5; другие точки (−4; 0), (2; 0), (3; 0).
Уравнение x^4 − 5x³ − 10x² + 80x − 96 = 0. Делим многочлен на x − 4: x^4 − 5x³ − 10x² + 80x − 96 = (x − 4)(x³ − x² − 14x + 24).
Для x³ − x² − 14x + 24 подбираем корень среди делителей числа 24: x = 2: 8 − 4 − 28 + 24 = 0. Делим на x − 2: x³ − x² − 14x + 24 = (x − 2)(x² + x − 12) = (x − 2)(x + 4)(x − 3).
Корни исходного уравнения: 4, 2, −4, 3.
Ответ: a = 5; другие точки (−4; 0), (2; 0), (3; 0).
306. Решите уравнение: а) 718x^4 − 717x² − 1 = 0; б) 206x^4 − 205x² − 1 = 0.
Биквадратные уравнения; пусть t = x², t ≥ 0.
а) 718t² − 717t − 1 = 0. Сумма коэффициентов 718 − 717 − 1 = 0, значит t₁ = 1, а по теореме Виета t₂ = −1/718 < 0 не подходит. Из x² = 1: x = ±1.
б) 206t² − 205t − 1 = 0. Сумма коэффициентов 206 − 205 − 1 = 0, значит t₁ = 1, t₂ = −1/206 < 0 не подходит. Из x² = 1: x = ±1.
Ответ: а) −1; 1; б) −1; 1.
а) 718t² − 717t − 1 = 0. Сумма коэффициентов 718 − 717 − 1 = 0, значит t₁ = 1, а по теореме Виета t₂ = −1/718 < 0 не подходит. Из x² = 1: x = ±1.
б) 206t² − 205t − 1 = 0. Сумма коэффициентов 206 − 205 − 1 = 0, значит t₁ = 1, t₂ = −1/206 < 0 не подходит. Из x² = 1: x = ±1.
Ответ: а) −1; 1; б) −1; 1.
307. Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) (x² + 8x)² − 4(x + 4)² = 256; б) 2(x² − 6x)² − 120(x − 3)² = 8.
а) Выделим полный квадрат: x² + 8x = (x + 4)² − 16. Пусть y = (x + 4)², y ≥ 0. Тогда (y − 16)² − 4y = 256, y² − 32y + 256 − 4y − 256 = 0, y² − 36y = 0, y = 0 или y = 36.
(x + 4)² = 0 даёт x = −4; (x + 4)² = 36 даёт x + 4 = ±6, x = 2 или x = −10.
б) x² − 6x = (x − 3)² − 9. Пусть y = (x − 3)², y ≥ 0. Тогда 2(y − 9)² − 120y = 8, 2y² − 36y + 162 − 120y − 8 = 0, 2y² − 156y + 154 = 0, y² − 78y + 77 = 0, y = 1 или y = 77.
(x − 3)² = 1 даёт x = 4 или x = 2; (x − 3)² = 77 даёт x = 3 ± √77.
Ответ: а) −10; −4; 2; б) 2; 4; 3 − √77; 3 + √77.
(x + 4)² = 0 даёт x = −4; (x + 4)² = 36 даёт x + 4 = ±6, x = 2 или x = −10.
б) x² − 6x = (x − 3)² − 9. Пусть y = (x − 3)², y ≥ 0. Тогда 2(y − 9)² − 120y = 8, 2y² − 36y + 162 − 120y − 8 = 0, 2y² − 156y + 154 = 0, y² − 78y + 77 = 0, y = 1 или y = 77.
(x − 3)² = 1 даёт x = 4 или x = 2; (x − 3)² = 77 даёт x = 3 ± √77.
Ответ: а) −10; −4; 2; б) 2; 4; 3 − √77; 3 + √77.