Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 5 — с. 105
319. Решите уравнение x³ = x двумя способами: графическим и аналитическим.
Графический способ. В одной системе координат строим графики функций y = x³ (кубическая парабола) и y = x (прямая). Абсциссы точек пересечения графиков — корни уравнения. Графики пересекаются в трёх точках: (−1; −1), (0; 0) и (1; 1). Значит, корни: −1, 0, 1.
Аналитический способ. x³ − x = 0, x(x² − 1) = 0, x(x − 1)(x + 1) = 0, откуда x = 0, x = 1, x = −1.
Ответ: −1; 0; 1.
Аналитический способ. x³ − x = 0, x(x² − 1) = 0, x(x − 1)(x + 1) = 0, откуда x = 0, x = 1, x = −1.
Ответ: −1; 0; 1.
320. С помощью графиков выясните, сколько решений может иметь уравнение x³ + ax + b = 0 при различных значениях a и b.
Запишем уравнение в виде x³ = −ax − b. Его решения — абсциссы точек пересечения кубической параболы y = x³ и прямой y = −ax − b (это любая невертикальная прямая, так как a и b — произвольные числа).
Прямая может пересекать кубическую параболу:
в трёх точках — например, a = −1, b = 0: прямая y = x, уравнение x³ − x = 0 имеет корни −1, 0, 1;
в двух точках — когда прямая касается параболы и пересекает её ещё в одной точке, например a = −0,75, b = 0,25: прямая y = 0,75x − 0,25 касается параболы в точке (0,5; 0,125), уравнение x³ − 0,75x + 0,25 = (x − 0,5)²(x + 1) = 0 имеет корни 0,5 и −1;
в одной точке — например, a = 1, b = −1: прямая y = −x + 1, уравнение x³ + x − 1 = 0 имеет один корень, около 0,68; также один корень при a = 0, b = 0 (x³ = 0).
Больше трёх точек пересечения быть не может, нулевого числа решений тоже: кубическая парабола уходит вниз и вверх неограниченно, поэтому любая невертикальная прямая её пересекает.
Ответ: уравнение может иметь одно, два или три решения; решений не иметь не может.
Прямая может пересекать кубическую параболу:
в трёх точках — например, a = −1, b = 0: прямая y = x, уравнение x³ − x = 0 имеет корни −1, 0, 1;
в двух точках — когда прямая касается параболы и пересекает её ещё в одной точке, например a = −0,75, b = 0,25: прямая y = 0,75x − 0,25 касается параболы в точке (0,5; 0,125), уравнение x³ − 0,75x + 0,25 = (x − 0,5)²(x + 1) = 0 имеет корни 0,5 и −1;
в одной точке — например, a = 1, b = −1: прямая y = −x + 1, уравнение x³ + x − 1 = 0 имеет один корень, около 0,68; также один корень при a = 0, b = 0 (x³ = 0).
Больше трёх точек пересечения быть не может, нулевого числа решений тоже: кубическая парабола уходит вниз и вверх неограниченно, поэтому любая невертикальная прямая её пересекает.
Ответ: уравнение может иметь одно, два или три решения; решений не иметь не может.
321. Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) (x² + 6x)² − 5(x² + 6x) = 24; б) (x² − 2x − 5)² − 2(x² − 2x − 5) = 3; в) (x² + 3x − 25)² − 2(x² + 3x − 25) = −7; г) (y + 2)^4 − (y + 2)² = 12; д) (x² + 2x)(x² + 2x + 2) = 3; е) (x² − x − 16)(x² − x + 2) = 88; ж) (2x² + 7x − 8)(2x² + 7x − 3) − 6 = 0.
а) Пусть t = x² + 6x: t² − 5t − 24 = 0, t = 8 или t = −3. x² + 6x − 8 = 0 даёт x = −3 ± √17; x² + 6x + 3 = 0 даёт x = −3 ± √6.
б) Пусть t = x² − 2x − 5: t² − 2t − 3 = 0, t = 3 или t = −1. x² − 2x − 8 = 0 даёт x = 4 или x = −2; x² − 2x − 4 = 0 даёт x = 1 ± √5.
в) Пусть t = x² + 3x − 25: t² − 2t + 7 = 0, D = 4 − 28 < 0, корней нет.
г) Пусть t = (y + 2)², t ≥ 0: t² − t − 12 = 0, t = 4 или t = −3 (не подходит). (y + 2)² = 4, y + 2 = ±2, y = 0 или y = −4.
д) Пусть t = x² + 2x: t(t + 2) = 3, t² + 2t − 3 = 0, t = 1 или t = −3. x² + 2x − 1 = 0 даёт x = −1 ± √2; x² + 2x + 3 = 0 корней не имеет (D = 4 − 12 < 0).
е) Пусть t = x² − x: (t − 16)(t + 2) = 88, t² − 14t − 32 − 88 = 0, t² − 14t − 120 = 0, t = 20 или t = −6. x² − x − 20 = 0 даёт x = 5 или x = −4; x² − x + 6 = 0 корней не имеет (D = 1 − 24 < 0).
ж) Пусть t = 2x² + 7x: (t − 8)(t − 3) − 6 = 0, t² − 11t + 18 = 0, t = 9 или t = 2. 2x² + 7x − 9 = 0 даёт x = 1 или x = −4,5; 2x² + 7x − 2 = 0, D = 49 + 16 = 65, x = (−7 ± √65)/4.
Ответ: а) −3 − √17; −3 + √17; −3 − √6; −3 + √6; б) −2; 4; 1 − √5; 1 + √5; в) корней нет; г) −4; 0; д) −1 − √2; −1 + √2; е) −4; 5; ж) −4,5; 1; (−7 − √65)/4; (−7 + √65)/4.
б) Пусть t = x² − 2x − 5: t² − 2t − 3 = 0, t = 3 или t = −1. x² − 2x − 8 = 0 даёт x = 4 или x = −2; x² − 2x − 4 = 0 даёт x = 1 ± √5.
в) Пусть t = x² + 3x − 25: t² − 2t + 7 = 0, D = 4 − 28 < 0, корней нет.
г) Пусть t = (y + 2)², t ≥ 0: t² − t − 12 = 0, t = 4 или t = −3 (не подходит). (y + 2)² = 4, y + 2 = ±2, y = 0 или y = −4.
д) Пусть t = x² + 2x: t(t + 2) = 3, t² + 2t − 3 = 0, t = 1 или t = −3. x² + 2x − 1 = 0 даёт x = −1 ± √2; x² + 2x + 3 = 0 корней не имеет (D = 4 − 12 < 0).
е) Пусть t = x² − x: (t − 16)(t + 2) = 88, t² − 14t − 32 − 88 = 0, t² − 14t − 120 = 0, t = 20 или t = −6. x² − x − 20 = 0 даёт x = 5 или x = −4; x² − x + 6 = 0 корней не имеет (D = 1 − 24 < 0).
ж) Пусть t = 2x² + 7x: (t − 8)(t − 3) − 6 = 0, t² − 11t + 18 = 0, t = 9 или t = 2. 2x² + 7x − 9 = 0 даёт x = 1 или x = −4,5; 2x² + 7x − 2 = 0, D = 49 + 16 = 65, x = (−7 ± √65)/4.
Ответ: а) −3 − √17; −3 + √17; −3 − √6; −3 + √6; б) −2; 4; 1 − √5; 1 + √5; в) корней нет; г) −4; 0; д) −1 − √2; −1 + √2; е) −4; 5; ж) −4,5; 1; (−7 − √65)/4; (−7 + √65)/4.
322. Решите уравнение: а) y^7 − y^6 + y = 1; б) y^7 + y^6 − 27y = 27.
а) y^7 − y^6 + y − 1 = 0. Группируем: y^6(y − 1) + (y − 1) = (y − 1)(y^6 + 1) = 0. Так как y^6 + 1 > 0, остаётся y = 1.
б) y^7 + y^6 − 27y − 27 = 0. Группируем: y^6(y + 1) − 27(y + 1) = (y + 1)(y^6 − 27) = 0. Из y + 1 = 0: y = −1. Из y^6 = 27: y² = 3, y = ±√3.
Ответ: а) 1; б) −√3; −1; √3.
б) y^7 + y^6 − 27y − 27 = 0. Группируем: y^6(y + 1) − 27(y + 1) = (y + 1)(y^6 − 27) = 0. Из y + 1 = 0: y = −1. Из y^6 = 27: y² = 3, y = ±√3.
Ответ: а) 1; б) −√3; −1; √3.
323. Решите уравнение: а) 2x^7 + x^6 + 2x^4 + x³ + 2x + 1 = 0; б) x^7 − 2x^6 + 2x^4 − 4x³ + x − 2 = 0.
а) Группируем по два слагаемых: x^6(2x + 1) + x³(2x + 1) + (2x + 1) = (2x + 1)(x^6 + x³ + 1) = 0. Для x^6 + x³ + 1 при t = x³: t² + t + 1 = 0, D = 1 − 4 < 0, корней нет. Остаётся 2x + 1 = 0, x = −1/2.
б) x^6(x − 2) + 2x³(x − 2) + (x − 2) = (x − 2)(x^6 + 2x³ + 1) = (x − 2)(x³ + 1)² = 0. Отсюда x = 2 или x³ = −1, x = −1.
Ответ: а) −1/2; б) −1; 2.
б) x^6(x − 2) + 2x³(x − 2) + (x − 2) = (x − 2)(x^6 + 2x³ + 1) = (x − 2)(x³ + 1)² = 0. Отсюда x = 2 или x³ = −1, x = −1.
Ответ: а) −1/2; б) −1; 2.
324. Найдите сумму корней биквадратного уравнения: а) x^4 − 9x² + 18 = 0; б) x^4 + 3x² − 10 = 0; в) 4x^4 − 12x² + 1 = 0; г) 12y^4 − y² − 1 = 0.
Пусть t = x² (для г) t = y²). Каждому положительному значению t соответствуют два противоположных корня ±√t, поэтому сумма всех корней биквадратного уравнения всегда равна нулю (если корни есть). Проверим, что корни существуют.
а) t² − 9t + 18 = 0, t = 3 или t = 6; корни ±√3, ±√6; сумма 0.
б) t² + 3t − 10 = 0, t = 2 или t = −5 (не подходит); корни ±√2; сумма 0.
в) 4t² − 12t + 1 = 0, D = 144 − 16 = 128, t = (3 ± 2√2)/2; оба значения положительны (так как 3 > 2√2), корни ±√((3 + 2√2)/2), ±√((3 − 2√2)/2); сумма 0.
г) 12t² − t − 1 = 0, D = 1 + 48 = 49, t = 1/3 или t = −1/4 (не подходит); корни ±1/√3; сумма 0.
Ответ: во всех случаях 0.
а) t² − 9t + 18 = 0, t = 3 или t = 6; корни ±√3, ±√6; сумма 0.
б) t² + 3t − 10 = 0, t = 2 или t = −5 (не подходит); корни ±√2; сумма 0.
в) 4t² − 12t + 1 = 0, D = 144 − 16 = 128, t = (3 ± 2√2)/2; оба значения положительны (так как 3 > 2√2), корни ±√((3 + 2√2)/2), ±√((3 − 2√2)/2); сумма 0.
г) 12t² − t − 1 = 0, D = 1 + 48 = 49, t = 1/3 или t = −1/4 (не подходит); корни ±1/√3; сумма 0.
Ответ: во всех случаях 0.
325. Является ли число: а) √(3 + √5) корнем биквадратного уравнения x^4 − 6x² + 3 = 0; б) √(5 − √2) корнем биквадратного уравнения x^4 − 10x² + 23 = 0?
а) Подставим x² = 3 + √5: (3 + √5)² − 6(3 + √5) + 3 = 9 + 6√5 + 5 − 18 − 6√5 + 3 = −1 ≠ 0. Не является.
б) Подставим x² = 5 − √2: (5 − √2)² − 10(5 − √2) + 23 = 25 − 10√2 + 2 − 50 + 10√2 + 23 = 0. Является.
Ответ: а) нет; б) да.
б) Подставим x² = 5 − √2: (5 − √2)² − 10(5 − √2) + 23 = 25 − 10√2 + 2 − 50 + 10√2 + 23 = 0. Является.
Ответ: а) нет; б) да.
326. Разложите на множители трёхчлен: а) x^4 − 20x² + 64; б) x^4 − 17x² + 16; в) x^4 − 5x² − 36; г) x^4 − 3x² − 4; д) 9x^4 − 10x² + 1; е) 4x^4 − 17x² + 4.
Находим корни относительно t = x², раскладываем по формуле at² + bt + c = a(t − t₁)(t − t₂), затем разность квадратов.
а) t² − 20t + 64 = 0, t = 4 и t = 16: (x² − 4)(x² − 16) = (x − 2)(x + 2)(x − 4)(x + 4).
б) t = 1 и t = 16: (x² − 1)(x² − 16) = (x − 1)(x + 1)(x − 4)(x + 4).
в) t² − 5t − 36 = 0, t = 9 и t = −4: (x² − 9)(x² + 4) = (x − 3)(x + 3)(x² + 4).
г) t² − 3t − 4 = 0, t = 4 и t = −1: (x² − 4)(x² + 1) = (x − 2)(x + 2)(x² + 1).
д) 9t² − 10t + 1 = 0, t = 1 и t = 1/9: 9(x² − 1)(x² − 1/9) = (x² − 1)(9x² − 1) = (x − 1)(x + 1)(3x − 1)(3x + 1).
е) 4t² − 17t + 4 = 0, D = 289 − 64 = 225, t = 4 и t = 1/4: 4(x² − 4)(x² − 1/4) = (x² − 4)(4x² − 1) = (x − 2)(x + 2)(2x − 1)(2x + 1).
а) t² − 20t + 64 = 0, t = 4 и t = 16: (x² − 4)(x² − 16) = (x − 2)(x + 2)(x − 4)(x + 4).
б) t = 1 и t = 16: (x² − 1)(x² − 16) = (x − 1)(x + 1)(x − 4)(x + 4).
в) t² − 5t − 36 = 0, t = 9 и t = −4: (x² − 9)(x² + 4) = (x − 3)(x + 3)(x² + 4).
г) t² − 3t − 4 = 0, t = 4 и t = −1: (x² − 4)(x² + 1) = (x − 2)(x + 2)(x² + 1).
д) 9t² − 10t + 1 = 0, t = 1 и t = 1/9: 9(x² − 1)(x² − 1/9) = (x² − 1)(9x² − 1) = (x − 1)(x + 1)(3x − 1)(3x + 1).
е) 4t² − 17t + 4 = 0, D = 289 − 64 = 225, t = 4 и t = 1/4: 4(x² − 4)(x² − 1/4) = (x² − 4)(4x² − 1) = (x − 2)(x + 2)(2x − 1)(2x + 1).
327. Решите уравнение: а) (3y³ + 12y² − 27y − 108)/(y² − 16) = 0; б) (y³ + 6y² − y − 6)/(y³ − 36y) = 0.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
а) Числитель: 3(y³ + 4y² − 9y − 36) = 3(y²(y + 4) − 9(y + 4)) = 3(y + 4)(y − 3)(y + 3). Знаменатель: (y − 4)(y + 4) ≠ 0, то есть y ≠ ±4. Числитель равен нулю при y = −4, 3, −3; значение −4 не входит в область допустимых значений. Остаются y = 3 и y = −3.
б) Числитель: y²(y + 6) − (y + 6) = (y + 6)(y − 1)(y + 1). Знаменатель: y(y − 6)(y + 6) ≠ 0, то есть y ≠ 0, ±6. Числитель равен нулю при y = −6, 1, −1; значение −6 не подходит. Остаются y = 1 и y = −1.
Ответ: а) −3; 3; б) −1; 1.
а) Числитель: 3(y³ + 4y² − 9y − 36) = 3(y²(y + 4) − 9(y + 4)) = 3(y + 4)(y − 3)(y + 3). Знаменатель: (y − 4)(y + 4) ≠ 0, то есть y ≠ ±4. Числитель равен нулю при y = −4, 3, −3; значение −4 не входит в область допустимых значений. Остаются y = 3 и y = −3.
б) Числитель: y²(y + 6) − (y + 6) = (y + 6)(y − 1)(y + 1). Знаменатель: y(y − 6)(y + 6) ≠ 0, то есть y ≠ 0, ±6. Числитель равен нулю при y = −6, 1, −1; значение −6 не подходит. Остаются y = 1 и y = −1.
Ответ: а) −3; 3; б) −1; 1.
328. При каких значениях x разность дробей 1/(x + 2) и 1/(x + 4) равна разности дробей 1/(x + 8) и 1/(x + 20)?
Составим уравнение 1/(x + 2) − 1/(x + 4) = 1/(x + 8) − 1/(x + 20), x ≠ −2, −4, −8, −20.
Левая часть: ((x + 4) − (x + 2))/((x + 2)(x + 4)) = 2/((x + 2)(x + 4)). Правая часть: ((x + 20) − (x + 8))/((x + 8)(x + 20)) = 12/((x + 8)(x + 20)).
Получаем 2(x + 8)(x + 20) = 12(x + 2)(x + 4), (x + 8)(x + 20) = 6(x + 2)(x + 4), x² + 28x + 160 = 6x² + 36x + 48, 5x² + 8x − 112 = 0. D = 64 + 2240 = 2304 = 48², x = (−8 ± 48)/10, x = 4 или x = −5,6. Оба значения допустимы.
Ответ: −5,6; 4.
Левая часть: ((x + 4) − (x + 2))/((x + 2)(x + 4)) = 2/((x + 2)(x + 4)). Правая часть: ((x + 20) − (x + 8))/((x + 8)(x + 20)) = 12/((x + 8)(x + 20)).
Получаем 2(x + 8)(x + 20) = 12(x + 2)(x + 4), (x + 8)(x + 20) = 6(x + 2)(x + 4), x² + 28x + 160 = 6x² + 36x + 48, 5x² + 8x − 112 = 0. D = 64 + 2240 = 2304 = 48², x = (−8 ± 48)/10, x = 4 или x = −5,6. Оба значения допустимы.
Ответ: −5,6; 4.