Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 5 — с. 107
337. При каких значениях a сумма чисел a и 1/a в 3 1/4 раза меньше суммы их кубов?
Условие: a³ + 1/a³ = 3 1/4 · (a + 1/a), a ≠ 0. Пусть y = a + 1/a. Тогда a³ + 1/a³ = (a + 1/a)(a² − 1 + 1/a²) = y(y² − 3). Уравнение: y(y² − 3) = (13/4)y.
Число y = a + 1/a по модулю не меньше 2, поэтому y ≠ 0 и можно разделить на y: y² − 3 = 13/4, y² = 25/4, y = ±5/2.
a + 1/a = 5/2: 2a² − 5a + 2 = 0, a = 2 или a = 1/2.
a + 1/a = −5/2: 2a² + 5a + 2 = 0, a = −2 или a = −1/2.
Проверка a = 2: 2 + 1/2 = 5/2, 8 + 1/8 = 65/8, (65/8) : (5/2) = 13/4. Для a = −2 обе суммы меняют знак, отношение то же.
Ответ: 2; 1/2; −2; −1/2.
Оговорка: в ответах учебника указаны только 2 и 1/2; отрицательные значения также удовлетворяют условию (проверено подстановкой).
Число y = a + 1/a по модулю не меньше 2, поэтому y ≠ 0 и можно разделить на y: y² − 3 = 13/4, y² = 25/4, y = ±5/2.
a + 1/a = 5/2: 2a² − 5a + 2 = 0, a = 2 или a = 1/2.
a + 1/a = −5/2: 2a² + 5a + 2 = 0, a = −2 или a = −1/2.
Проверка a = 2: 2 + 1/2 = 5/2, 8 + 1/8 = 65/8, (65/8) : (5/2) = 13/4. Для a = −2 обе суммы меняют знак, отношение то же.
Ответ: 2; 1/2; −2; −1/2.
Оговорка: в ответах учебника указаны только 2 и 1/2; отрицательные значения также удовлетворяют условию (проверено подстановкой).
338. Решите уравнение: а) x³ + 1/x³ = 22(x + 1/x); б) x³ − 1/x³ = 19(x − 1/x).
а) Пусть y = x + 1/x. Тогда x³ + 1/x³ = y(y² − 3), и уравнение имеет вид y(y² − 3) = 22y, y(y² − 25) = 0. Значение y = 0 невозможно (|x + 1/x| ≥ 2), поэтому y² = 25, y = ±5.
x + 1/x = 5: x² − 5x + 1 = 0, x = (5 ± √21)/2. x + 1/x = −5: x² + 5x + 1 = 0, x = (−5 ± √21)/2.
б) Пусть z = x − 1/x. Тогда x² + 1/x² = z² + 2, x³ − 1/x³ = (x − 1/x)(x² + 1 + 1/x²) = z(z² + 3). Уравнение: z(z² + 3) = 19z, z(z² − 16) = 0, z = 0 или z = ±4.
x − 1/x = 0: x² = 1, x = ±1. x − 1/x = 4: x² − 4x − 1 = 0, x = 2 ± √5. x − 1/x = −4: x² + 4x − 1 = 0, x = −2 ± √5.
Ответ: а) (−5 − √21)/2; (−5 + √21)/2; (5 − √21)/2; (5 + √21)/2; б) −2 − √5; −2 + √5; 2 − √5; 2 + √5; −1; 1.
x + 1/x = 5: x² − 5x + 1 = 0, x = (5 ± √21)/2. x + 1/x = −5: x² + 5x + 1 = 0, x = (−5 ± √21)/2.
б) Пусть z = x − 1/x. Тогда x² + 1/x² = z² + 2, x³ − 1/x³ = (x − 1/x)(x² + 1 + 1/x²) = z(z² + 3). Уравнение: z(z² + 3) = 19z, z(z² − 16) = 0, z = 0 или z = ±4.
x − 1/x = 0: x² = 1, x = ±1. x − 1/x = 4: x² − 4x − 1 = 0, x = 2 ± √5. x − 1/x = −4: x² + 4x − 1 = 0, x = −2 ± √5.
Ответ: а) (−5 − √21)/2; (−5 + √21)/2; (5 − √21)/2; (5 + √21)/2; б) −2 − √5; −2 + √5; 2 − √5; 2 + √5; −1; 1.
339. Решите неравенство: а) x² − 5x − 50 < 0; б) −m² − 8m + 9 ≥ 0; в) 3y² + 4y − 4 > 0; г) 8p² + 2p ≥ 21; д) 12x − 9 ≤ 4x²; е) −9x² < 1 − 6x.
а) Корни x² − 5x − 50 = 0: x = 10 и x = −5. Парабола направлена вверх, отрицательна между корнями: (−5; 10).
б) m² + 8m − 9 ≤ 0, корни −9 и 1: [−9; 1].
в) Корни 3y² + 4y − 4 = 0: D = 16 + 48 = 64, y = (−4 ± 8)/6, y = −2 и y = 2/3. Положительна вне корней: (−∞; −2) ∪ (2/3; +∞).
г) 8p² + 2p − 21 ≥ 0, D = 4 + 672 = 676 = 26², p = (−2 ± 26)/16, p = −1,75 и p = 1,5: (−∞; −1,75] ∪ [1,5; +∞).
д) 4x² − 12x + 9 ≥ 0, то есть (2x − 3)² ≥ 0 — верно при любом x.
е) 9x² − 6x + 1 > 0, то есть (3x − 1)² > 0 — верно при x ≠ 1/3.
Ответ: а) (−5; 10); б) [−9; 1]; в) (−∞; −2) ∪ (2/3; +∞); г) (−∞; −1,75] ∪ [1,5; +∞); д) x — любое число; е) x ≠ 1/3.
б) m² + 8m − 9 ≤ 0, корни −9 и 1: [−9; 1].
в) Корни 3y² + 4y − 4 = 0: D = 16 + 48 = 64, y = (−4 ± 8)/6, y = −2 и y = 2/3. Положительна вне корней: (−∞; −2) ∪ (2/3; +∞).
г) 8p² + 2p − 21 ≥ 0, D = 4 + 672 = 676 = 26², p = (−2 ± 26)/16, p = −1,75 и p = 1,5: (−∞; −1,75] ∪ [1,5; +∞).
д) 4x² − 12x + 9 ≥ 0, то есть (2x − 3)² ≥ 0 — верно при любом x.
е) 9x² − 6x + 1 > 0, то есть (3x − 1)² > 0 — верно при x ≠ 1/3.
Ответ: а) (−5; 10); б) [−9; 1]; в) (−∞; −2) ∪ (2/3; +∞); г) (−∞; −1,75] ∪ [1,5; +∞); д) x — любое число; е) x ≠ 1/3.
340. Докажите, что при любом значении x верно неравенство: а) 2(x + 1)(x − 3) > (x + 5)(x − 7); б) 1/4 (x + 5)(x − 7) ≤ (x + 2)(x − 4).
а) Найдём разность левой и правой частей: 2(x² − 2x − 3) − (x² − 2x − 35) = 2x² − 4x − 6 − x² + 2x + 35 = x² − 2x + 29 = (x − 1)² + 28 > 0 при любом x. Значит, неравенство верно.
б) Найдём разность правой и левой частей: (x² − 2x − 8) − (x² − 2x − 35)/4 = (4x² − 8x − 32 − x² + 2x + 35)/4 = (3x² − 6x + 3)/4 = 3(x − 1)²/4 ≥ 0 при любом x. Значит, неравенство верно.
б) Найдём разность правой и левой частей: (x² − 2x − 8) − (x² − 2x − 35)/4 = (4x² − 8x − 32 − x² + 2x + 35)/4 = (3x² − 6x + 3)/4 = 3(x − 1)²/4 ≥ 0 при любом x. Значит, неравенство верно.
341. Найдите область определения функции: а) y = 1/√(144 − 9x²); б) y = √(16 − 24x + 9x²)/(x + 2).
а) Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: 144 − 9x² > 0, x² < 16, −4 < x < 4.
б) Под корнем 16 − 24x + 9x² = (3x − 4)² ≥ 0 при любом x. Знаменатель не равен нулю: x ≠ −2.
Ответ: а) (−4; 4); б) x ≠ −2.
б) Под корнем 16 − 24x + 9x² = (3x − 4)² ≥ 0 при любом x. Знаменатель не равен нулю: x ≠ −2.
Ответ: а) (−4; 4); б) x ≠ −2.
342. При каких значениях a уравнение (a + 2)x² + 8x + a − 4 = 0 имеет два корня?
Уравнение имеет два корня, если оно квадратное (a + 2 ≠ 0) и D > 0. D/4 = 16 − (a + 2)(a − 4) = 16 − a² + 2a + 8 = −a² + 2a + 24. Условие −a² + 2a + 24 > 0 равносильно a² − 2a − 24 < 0, то есть (a − 6)(a + 4) < 0, −4 < a < 6. Исключаем a = −2.
Ответ: −4 < a < −2 и −2 < a < 6.
Ответ: −4 < a < −2 и −2 < a < 6.
343. При каких значениях b уравнение (b − 1)x² + 6x + b − 3 = 0 не имеет корней?
Если b = 1, уравнение становится линейным 6x − 2 = 0 и имеет корень x = 1/3. Значит, b ≠ 1, уравнение квадратное и не имеет корней при D < 0. D/4 = 9 − (b − 1)(b − 3) = 9 − b² + 4b − 3 = −b² + 4b + 6. Условие −b² + 4b + 6 < 0 равносильно b² − 4b − 6 > 0. Корни b = 2 ± √10. Решение: b < 2 − √10 или b > 2 + √10. Условие b ≠ 1 выполнено автоматически (2 − √10 ≈ −1,16; 2 + √10 ≈ 5,16).
Ответ: при b < 2 − √10 и при b > 2 + √10.
Ответ: при b < 2 − √10 и при b > 2 + √10.
344. При каких значениях c не имеет корней уравнение: а) x^4 − 12x² + c = 0; б) x^4 + cx² + 100 = 0?
Пусть t = x² ≥ 0.
а) t² − 12t + c = 0. Если D = 144 − 4c ≥ 0 (c ≤ 36), то корни t₁ + t₂ = 12 > 0. При c > 0 оба корня положительны, при c ≤ 0 есть неотрицательный корень; в любом случае найдётся t ≥ 0 и уравнение имеет корни. Если D < 0, то есть c > 36, корней нет.
б) t² + ct + 100 = 0. При c ≥ 0 левая часть x^4 + cx² + 100 ≥ 100 > 0, корней нет. При c < 0 корни существуют при D = c² − 400 ≥ 0, то есть c ≤ −20, и по теореме Виета t₁t₂ = 100 > 0, t₁ + t₂ = −c > 0, оба корня положительны, а значит, есть корни x. При −20 < c < 0 дискриминант отрицателен, корней нет.
Ответ: а) c > 36; б) c > −20.
Оговорка: в ответах учебника указано −20 < c < 20; но при c ≥ 20 уравнение x^4 + cx² + 100 = 0 тоже не имеет корней, так как его левая часть положительна (проверено дважды).
а) t² − 12t + c = 0. Если D = 144 − 4c ≥ 0 (c ≤ 36), то корни t₁ + t₂ = 12 > 0. При c > 0 оба корня положительны, при c ≤ 0 есть неотрицательный корень; в любом случае найдётся t ≥ 0 и уравнение имеет корни. Если D < 0, то есть c > 36, корней нет.
б) t² + ct + 100 = 0. При c ≥ 0 левая часть x^4 + cx² + 100 ≥ 100 > 0, корней нет. При c < 0 корни существуют при D = c² − 400 ≥ 0, то есть c ≤ −20, и по теореме Виета t₁t₂ = 100 > 0, t₁ + t₂ = −c > 0, оба корня положительны, а значит, есть корни x. При −20 < c < 0 дискриминант отрицателен, корней нет.
Ответ: а) c > 36; б) c > −20.
Оговорка: в ответах учебника указано −20 < c < 20; но при c ≥ 20 уравнение x^4 + cx² + 100 = 0 тоже не имеет корней, так как его левая часть положительна (проверено дважды).
345. (Задача-исследование.) При каких значениях k биквадратное уравнение x^4 − 13x² + k = 0: а) имеет четыре корня; б) имеет два корня; в) не имеет корней?
1. Обозначьте x² через y. Выясните, при каких значениях k полученное квадратное уравнение имеет два корня; имеет один корень; не имеет корней.
2. Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной y, если корни существуют.
3. Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от значения k.
1) Пусть y = x². Получаем y² − 13y + k = 0, D = 169 − 4k. Два корня при D > 0, то есть k < 42,25; один корень при k = 42,25 (y = 6,5); корней нет при k > 42,25.
2) По теореме Виета y₁ + y₂ = 13 > 0, y₁y₂ = k.
При 0 < k < 42,25 оба корня положительны.
При k = 0 корни y = 0 и y = 13.
При k < 0 корни разных знаков: один положительный, один отрицательный.
При k = 42,25 единственный корень y = 6,5 > 0.
3) Каждый положительный корень y даёт два корня x = ±√y, корень y = 0 даёт один корень x = 0, отрицательный y корней x не даёт.
При 0 < k < 42,25 — четыре корня.
При k = 42,25 — два корня (x = ±√6,5); при k < 0 — два корня (из одного положительного y).
При k = 0 — три корня (0 и ±√13).
При k > 42,25 — корней нет.
Ответ: а) 0 < k < 42,25; б) k = 42,25 и k < 0; в) k > 42,25.
2) По теореме Виета y₁ + y₂ = 13 > 0, y₁y₂ = k.
При 0 < k < 42,25 оба корня положительны.
При k = 0 корни y = 0 и y = 13.
При k < 0 корни разных знаков: один положительный, один отрицательный.
При k = 42,25 единственный корень y = 6,5 > 0.
3) Каждый положительный корень y даёт два корня x = ±√y, корень y = 0 даёт один корень x = 0, отрицательный y корней x не даёт.
При 0 < k < 42,25 — четыре корня.
При k = 42,25 — два корня (x = ±√6,5); при k < 0 — два корня (из одного положительного y).
При k = 0 — три корня (0 и ±√13).
При k > 42,25 — корней нет.
Ответ: а) 0 < k < 42,25; б) k = 42,25 и k < 0; в) k > 42,25.