Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 — с. 109
355. Равносильны ли неравенства: а) (x − 3)/(x + 1) ≥ 0 и (x − 3)(x + 1) ≥ 0; б) (x + 5)/(x − 8) ≤ 0 и (x + 5)(x − 8) ≤ 0?
а) Первое неравенство: x < −1 или x ≥ 3 (число −1 не входит, так как знаменатель не равен нулю). Второе: x ≤ −1 или x ≥ 3 (число −1 входит). Множества решений различаются числом −1, значит, неравенства не равносильны.
б) Первое неравенство: −5 ≤ x < 8. Второе: −5 ≤ x ≤ 8. Различаются числом 8, значит, неравенства не равносильны.
Ответ: а) нет; б) нет.
б) Первое неравенство: −5 ≤ x < 8. Второе: −5 ≤ x ≤ 8. Различаются числом 8, значит, неравенства не равносильны.
Ответ: а) нет; б) нет.
356. Решите неравенство: а) (x − 8)/(x + 4) > 0; б) (x + 16)/(x − 11) < 0; в) (x + 1)/(3 − x) ≥ 0; г) (6 − x)/(x − 4) ≤ 0; д) (2x − 4)/(3x + 3) ≤ 0; е) (5x − 1)/(2x + 3) ≥ 0.
Применяем метод интервалов: знаки частного те же, что у произведения, но нули знаменателя исключаются.
а) Корни числителя и знаменателя 8 и −4: x < −4 или x > 8.
б) −16 < x < 11.
в) Умножим на −1 и сменим знак: (x + 1)/(x − 3) ≤ 0, −1 ≤ x < 3.
г) (x − 6)/(x − 4) ≥ 0: x < 4 или x ≥ 6.
д) (x − 2)/(x + 1) ≤ 0 (разделили на 2 и 3): −1 < x ≤ 2.
е) Корни 1/5 и −3/2: x < −1,5 или x ≥ 0,2.
Ответ: а) (−∞; −4) ∪ (8; +∞); б) (−16; 11); в) [−1; 3); г) (−∞; 4) ∪ [6; +∞); д) (−1; 2]; е) (−∞; −1,5) ∪ [0,2; +∞).
а) Корни числителя и знаменателя 8 и −4: x < −4 или x > 8.
б) −16 < x < 11.
в) Умножим на −1 и сменим знак: (x + 1)/(x − 3) ≤ 0, −1 ≤ x < 3.
г) (x − 6)/(x − 4) ≥ 0: x < 4 или x ≥ 6.
д) (x − 2)/(x + 1) ≤ 0 (разделили на 2 и 3): −1 < x ≤ 2.
е) Корни 1/5 и −3/2: x < −1,5 или x ≥ 0,2.
Ответ: а) (−∞; −4) ∪ (8; +∞); б) (−16; 11); в) [−1; 3); г) (−∞; 4) ∪ [6; +∞); д) (−1; 2]; е) (−∞; −1,5) ∪ [0,2; +∞).
357. Решите неравенство: а) (6x + 2)/(x + 4) < 5; б) (5x + 8)/x > 1; в) (3 − 2x)/(3x + 2) ≤ 1; г) (5x − 4)/(x + 8) ≥ 15.
Переносим всё в левую часть и приводим к общему знаменателю.
а) (6x + 2 − 5x − 20)/(x + 4) < 0, (x − 18)/(x + 4) < 0, −4 < x < 18.
б) (5x + 8 − x)/x > 0, (4x + 8)/x > 0, (x + 2)/x > 0, x < −2 или x > 0.
в) (3 − 2x − 3x − 2)/(3x + 2) ≤ 0, (1 − 5x)/(3x + 2) ≤ 0, (5x − 1)/(3x + 2) ≥ 0, x < −2/3 или x ≥ 1/5.
г) (5x − 4 − 15x − 120)/(x + 8) ≥ 0, (−10x − 124)/(x + 8) ≥ 0, (10x + 124)/(x + 8) ≤ 0, (x + 12,4)/(x + 8) ≤ 0, −12,4 ≤ x < −8.
Ответ: а) (−4; 18); б) (−∞; −2) ∪ (0; +∞); в) (−∞; −2/3) ∪ [1/5; +∞); г) [−12,4; −8).
а) (6x + 2 − 5x − 20)/(x + 4) < 0, (x − 18)/(x + 4) < 0, −4 < x < 18.
б) (5x + 8 − x)/x > 0, (4x + 8)/x > 0, (x + 2)/x > 0, x < −2 или x > 0.
в) (3 − 2x − 3x − 2)/(3x + 2) ≤ 0, (1 − 5x)/(3x + 2) ≤ 0, (5x − 1)/(3x + 2) ≥ 0, x < −2/3 или x ≥ 1/5.
г) (5x − 4 − 15x − 120)/(x + 8) ≥ 0, (−10x − 124)/(x + 8) ≥ 0, (10x + 124)/(x + 8) ≤ 0, (x + 12,4)/(x + 8) ≤ 0, −12,4 ≤ x < −8.
Ответ: а) (−4; 18); б) (−∞; −2) ∪ (0; +∞); в) (−∞; −2/3) ∪ [1/5; +∞); г) [−12,4; −8).