Глава IV. § 7. п. 19 Уравнение с двумя переменными и его график — с. 114
358. Среди данных уравнений найдите уравнения прямых, уравнения гипербол, уравнения парабол, уравнения окружностей. Есть ли среди заданных уравнений те, которые не относятся ни к одному из перечисленных видов? а) (x + y)/3 = 1; б) x² + 0,5y = 4; в) 8 + 3xy = 4; г) x² + y² − 16 = 0; д) x² − 2x − y = 0; е) xy = 6; ж) x² − y² = 0; з) x² + y² = 4; и) 2x = 3y; к) 8x + 3y = 0.
Приводим каждое уравнение к известному виду.
а) (x + y)/3 = 1 ⇒ x + y = 3 ⇒ y = −x + 3: прямая.
б) x² + 0,5y = 4 ⇒ y = 8 − 2x²: парабола.
в) 8 + 3xy = 4 ⇒ 3xy = −4 ⇒ y = −4/(3x): гипербола.
г) x² + y² − 16 = 0 ⇒ x² + y² = 16: окружность с центром в начале координат и радиусом 4.
д) x² − 2x − y = 0 ⇒ y = x² − 2x: парабола.
е) xy = 6 ⇒ y = 6/x: гипербола.
ж) x² − y² = 0 ⇒ (x − y)(x + y) = 0 ⇒ y = x или y = −x: пара пересекающихся прямых. Это не прямая, не гипербола, не парабола и не окружность.
з) x² + y² = 4: окружность радиуса 2 с центром в начале координат.
и) 2x = 3y ⇒ y = (2/3)x: прямая.
к) 8x + 3y = 0 ⇒ y = −(8/3)x: прямая.
Ответ: прямые — а), и), к); гиперболы — в), е); параболы — б), д); окружности — г), з); ни к одному из этих видов не относится уравнение ж) (его график — пара прямых y = x и y = −x).
а) (x + y)/3 = 1 ⇒ x + y = 3 ⇒ y = −x + 3: прямая.
б) x² + 0,5y = 4 ⇒ y = 8 − 2x²: парабола.
в) 8 + 3xy = 4 ⇒ 3xy = −4 ⇒ y = −4/(3x): гипербола.
г) x² + y² − 16 = 0 ⇒ x² + y² = 16: окружность с центром в начале координат и радиусом 4.
д) x² − 2x − y = 0 ⇒ y = x² − 2x: парабола.
е) xy = 6 ⇒ y = 6/x: гипербола.
ж) x² − y² = 0 ⇒ (x − y)(x + y) = 0 ⇒ y = x или y = −x: пара пересекающихся прямых. Это не прямая, не гипербола, не парабола и не окружность.
з) x² + y² = 4: окружность радиуса 2 с центром в начале координат.
и) 2x = 3y ⇒ y = (2/3)x: прямая.
к) 8x + 3y = 0 ⇒ y = −(8/3)x: прямая.
Ответ: прямые — а), и), к); гиперболы — в), е); параболы — б), д); окружности — г), з); ни к одному из этих видов не относится уравнение ж) (его график — пара прямых y = x и y = −x).
359. Найдите координаты точек пересечения графика данного уравнения с осью x и с осью y. Постройте этот график. а) x − 2y = 3; б) y + 5x = −10; в) 4x − 0,5y = 2; г) 2 − 2x = y.
С осью x график пересекается там, где y = 0; с осью y — где x = 0. Каждое уравнение линейное, его график — прямая, достаточно двух точек.
а) y = 0: x = 3, точка (3; 0). x = 0: −2y = 3, y = −1,5, точка (0; −1,5).
б) y = 0: 5x = −10, x = −2, точка (−2; 0). x = 0: y = −10, точка (0; −10).
в) y = 0: 4x = 2, x = 0,5, точка (0,5; 0). x = 0: −0,5y = 2, y = −4, точка (0; −4).
г) y = 0: 2 − 2x = 0, x = 1, точка (1; 0). x = 0: y = 2, точка (0; 2).
Прямые проводим через найденные пары точек (рисунок).
Ответ: а) (3; 0), (0; −1,5); б) (−2; 0), (0; −10); в) (0,5; 0), (0; −4); г) (1; 0), (0; 2).
Оговорка: в ответах учебника для пункта г) указаны точки (0; 2) и (−1; 0), что соответствует уравнению y = 2 + 2x; решено уравнение так, как оно напечатано (2 − 2x = y).
а) y = 0: x = 3, точка (3; 0). x = 0: −2y = 3, y = −1,5, точка (0; −1,5).
б) y = 0: 5x = −10, x = −2, точка (−2; 0). x = 0: y = −10, точка (0; −10).
в) y = 0: 4x = 2, x = 0,5, точка (0,5; 0). x = 0: −0,5y = 2, y = −4, точка (0; −4).
г) y = 0: 2 − 2x = 0, x = 1, точка (1; 0). x = 0: y = 2, точка (0; 2).
Прямые проводим через найденные пары точек (рисунок).
Ответ: а) (3; 0), (0; −1,5); б) (−2; 0), (0; −10); в) (0,5; 0), (0; −4); г) (1; 0), (0; 2).
Оговорка: в ответах учебника для пункта г) указаны точки (0; 2) и (−1; 0), что соответствует уравнению y = 2 + 2x; решено уравнение так, как оно напечатано (2 − 2x = y).
360. Покажите схематически, в каких координатных четвертях располагается график линейного уравнения: а) 5x − 8y = −2; б) 5x + 8y = 2; в) 3x + 4y = 25; г) 3x + 12y = −20; д) 15x − 18 = 0; е) 10y + 5 = 0.
Выражаем y (или x) и смотрим на угловой коэффициент k и точки пересечения с осями.
а) y = (5/8)x + 1/4: k > 0, прямая пересекает ось y в точке (0; 0,25) и ось x в точке (−0,4; 0). Возрастает, проходит через III, II и I четверти.
б) y = −(5/8)x + 1/4: k < 0, пересекает ось y в точке (0; 0,25) выше начала координат, ось x в точке (0,4; 0). Проходит через II, I и IV четверти.
в) y = −(3/4)x + 25/4: k < 0, пересекает ось y в точке (0; 6,25), ось x в точке (25/3; 0). Проходит через II, I и IV четверти.
г) y = −(1/4)x − 5/3: k < 0, пересекает ось y в точке (0; −5/3) ниже начала координат, ось x в точке (−20/3; 0). Проходит через II, III и IV четверти.
д) x = 1,2: вертикальная прямая правее оси y. Проходит через I и IV четверти.
е) y = −0,5: горизонтальная прямая ниже оси x. Проходит через III и IV четверти.
Схематические рисунки показаны на рисунке.
Ответ: а) I, II, III; б) I, II, IV; в) I, II, IV; г) II, III, IV; д) I, IV; е) III, IV.
а) y = (5/8)x + 1/4: k > 0, прямая пересекает ось y в точке (0; 0,25) и ось x в точке (−0,4; 0). Возрастает, проходит через III, II и I четверти.
б) y = −(5/8)x + 1/4: k < 0, пересекает ось y в точке (0; 0,25) выше начала координат, ось x в точке (0,4; 0). Проходит через II, I и IV четверти.
в) y = −(3/4)x + 25/4: k < 0, пересекает ось y в точке (0; 6,25), ось x в точке (25/3; 0). Проходит через II, I и IV четверти.
г) y = −(1/4)x − 5/3: k < 0, пересекает ось y в точке (0; −5/3) ниже начала координат, ось x в точке (−20/3; 0). Проходит через II, III и IV четверти.
д) x = 1,2: вертикальная прямая правее оси y. Проходит через I и IV четверти.
е) y = −0,5: горизонтальная прямая ниже оси x. Проходит через III и IV четверти.
Схематические рисунки показаны на рисунке.
Ответ: а) I, II, III; б) I, II, IV; в) I, II, IV; г) II, III, IV; д) I, IV; е) III, IV.