Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 — с. 108
346. Найдите общие решения неравенств x² + 6x − 7 ≤ 0 и x² − 2x − 15 ≤ 0.
x² + 6x − 7 ≤ 0: (x + 7)(x − 1) ≤ 0, x ∈ [−7; 1].
x² − 2x − 15 ≤ 0: (x − 5)(x + 3) ≤ 0, x ∈ [−3; 5].
Общие решения — пересечение промежутков: [−3; 1].
Ответ: [−3; 1].
x² − 2x − 15 ≤ 0: (x − 5)(x + 3) ≤ 0, x ∈ [−3; 5].
Общие решения — пересечение промежутков: [−3; 1].
Ответ: [−3; 1].
347. Решите систему неравенств: а) 4x² − 27x − 7 > 0, x > 0; б) −3x² + 17x + 6 < 0, x < 0; в) x + 1 < 0, 2x² − 18 > 0; г) x − 4 > 0, 3x² − 15x < 0.
а) 4x² − 27x − 7 = 0: D = 729 + 112 = 841 = 29², x = (27 ± 29)/8, x = 7 и x = −1/4. Неравенство > 0 при x < −1/4 или x > 7. С условием x > 0: x > 7.
б) 3x² − 17x − 6 > 0: D = 289 + 72 = 361 = 19², корни (17 ± 19)/6, то есть 6 и −1/3. Решение x < −1/3 или x > 6. С условием x < 0: x < −1/3.
в) x < −1. 2x² > 18, x² > 9, x < −3 или x > 3. Общее: x < −3.
г) x > 4. 3x(x − 5) < 0, 0 < x < 5. Общее: 4 < x < 5.
Ответ: а) (7; +∞); б) (−∞; −1/3); в) (−∞; −3); г) (4; 5).
б) 3x² − 17x − 6 > 0: D = 289 + 72 = 361 = 19², корни (17 ± 19)/6, то есть 6 и −1/3. Решение x < −1/3 или x > 6. С условием x < 0: x < −1/3.
в) x < −1. 2x² > 18, x² > 9, x < −3 или x > 3. Общее: x < −3.
г) x > 4. 3x(x − 5) < 0, 0 < x < 5. Общее: 4 < x < 5.
Ответ: а) (7; +∞); б) (−∞; −1/3); в) (−∞; −3); г) (4; 5).
348. Решите систему неравенств: а) x² + x − 6 < 0, −x² + 2x + 3 > 0; б) x² + 4x − 5 > 0, x² − 2x − 8 < 0.
а) x² + x − 6 < 0: (x + 3)(x − 2) < 0, x ∈ (−3; 2). −x² + 2x + 3 > 0: x² − 2x − 3 < 0, (x − 3)(x + 1) < 0, x ∈ (−1; 3). Пересечение: (−1; 2).
б) x² + 4x − 5 > 0: (x + 5)(x − 1) > 0, x < −5 или x > 1. x² − 2x − 8 < 0: (x − 4)(x + 2) < 0, x ∈ (−2; 4). Пересечение: (1; 4).
Ответ: а) (−1; 2); б) (1; 4).
б) x² + 4x − 5 > 0: (x + 5)(x − 1) > 0, x < −5 или x > 1. x² − 2x − 8 < 0: (x − 4)(x + 2) < 0, x ∈ (−2; 4). Пересечение: (1; 4).
Ответ: а) (−1; 2); б) (1; 4).
349. Решите неравенство: а) (x + 1,2)(6 − x)(x − 4) > 0; б) (1/3 − x)(1/2 − x)(1/7 − x) < 0; в) (x + 0,6)(1,6 + x)(1,2 − x) > 0; г) (1,7 − x)(1,8 + x)(1,9 − x) < 0.
Приводим каждый множитель к виду x − a и применяем метод интервалов.
а) Умножим на −1: (x + 1,2)(x − 6)(x − 4) < 0. Корни −1,2; 4; 6. На правом промежутке знак «+», далее знаки чередуются: «−» на (4; 6), «+» на (−1,2; 4), «−» на (−∞; −1,2). Решение: (−∞; −1,2) ∪ (4; 6).
б) Умножим на −1: (x − 1/3)(x − 1/2)(x − 1/7) > 0. Корни 1/7, 1/3, 1/2. Знак «+» при x > 1/2, «−» на (1/3; 1/2), «+» на (1/7; 1/3). Решение: (1/7; 1/3) ∪ (1/2; +∞).
в) Умножим на −1: (x + 0,6)(x + 1,6)(x − 1,2) < 0. Корни −1,6; −0,6; 1,2. Знак «+» при x > 1,2, «−» на (−0,6; 1,2), «+» на (−1,6; −0,6), «−» при x < −1,6. Решение: (−∞; −1,6) ∪ (−0,6; 1,2).
г) Два множителя меняют знак, поэтому (x − 1,7)(x + 1,8)(x − 1,9) < 0. Корни −1,8; 1,7; 1,9. Знак «+» при x > 1,9, «−» на (1,7; 1,9), «+» на (−1,8; 1,7), «−» при x < −1,8. Решение: (−∞; −1,8) ∪ (1,7; 1,9).
Ответ: а) (−∞; −1,2) ∪ (4; 6); б) (1/7; 1/3) ∪ (1/2; +∞); в) (−∞; −1,6) ∪ (−0,6; 1,2); г) (−∞; −1,8) ∪ (1,7; 1,9).
а) Умножим на −1: (x + 1,2)(x − 6)(x − 4) < 0. Корни −1,2; 4; 6. На правом промежутке знак «+», далее знаки чередуются: «−» на (4; 6), «+» на (−1,2; 4), «−» на (−∞; −1,2). Решение: (−∞; −1,2) ∪ (4; 6).
б) Умножим на −1: (x − 1/3)(x − 1/2)(x − 1/7) > 0. Корни 1/7, 1/3, 1/2. Знак «+» при x > 1/2, «−» на (1/3; 1/2), «+» на (1/7; 1/3). Решение: (1/7; 1/3) ∪ (1/2; +∞).
в) Умножим на −1: (x + 0,6)(x + 1,6)(x − 1,2) < 0. Корни −1,6; −0,6; 1,2. Знак «+» при x > 1,2, «−» на (−0,6; 1,2), «+» на (−1,6; −0,6), «−» при x < −1,6. Решение: (−∞; −1,6) ∪ (−0,6; 1,2).
г) Два множителя меняют знак, поэтому (x − 1,7)(x + 1,8)(x − 1,9) < 0. Корни −1,8; 1,7; 1,9. Знак «+» при x > 1,9, «−» на (1,7; 1,9), «+» на (−1,8; 1,7), «−» при x < −1,8. Решение: (−∞; −1,8) ∪ (1,7; 1,9).
Ответ: а) (−∞; −1,2) ∪ (4; 6); б) (1/7; 1/3) ∪ (1/2; +∞); в) (−∞; −1,6) ∪ (−0,6; 1,2); г) (−∞; −1,8) ∪ (1,7; 1,9).
350. При каких значениях x произведение (3x − 5)(x + 4)(2 − x): а) равно нулю; б) положительно; в) отрицательно?
а) Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: x = 5/3, x = −4, x = 2.
б) и в) Умножим на −1 и запишем как −(3x − 5)(x + 4)(x − 2). Знак выражения противоположен знаку (3x − 5)(x + 4)(x − 2). Корни −4; 5/3; 2. Выражение (3x − 5)(x + 4)(x − 2) положительно при x > 2, отрицательно на (5/3; 2), положительно на (−4; 5/3), отрицательно при x < −4. Исходное произведение имеет противоположные знаки: положительно при x < −4 и 5/3 < x < 2; отрицательно при −4 < x < 5/3 и x > 2.
Ответ: а) −4; 1 2/3; 2; б) (−∞; −4) ∪ (1 2/3; 2); в) (−4; 1 2/3) ∪ (2; +∞).
б) и в) Умножим на −1 и запишем как −(3x − 5)(x + 4)(x − 2). Знак выражения противоположен знаку (3x − 5)(x + 4)(x − 2). Корни −4; 5/3; 2. Выражение (3x − 5)(x + 4)(x − 2) положительно при x > 2, отрицательно на (5/3; 2), положительно на (−4; 5/3), отрицательно при x < −4. Исходное произведение имеет противоположные знаки: положительно при x < −4 и 5/3 < x < 2; отрицательно при −4 < x < 5/3 и x > 2.
Ответ: а) −4; 1 2/3; 2; б) (−∞; −4) ∪ (1 2/3; 2); в) (−4; 1 2/3) ∪ (2; +∞).
351. Решите неравенство: а) (18x − 36)(x − 7) > 0; б) (x − 7,3)(9,8 − x) > 0; в) (x + 0,8)(4 − x)(x − 20) < 0; г) (10x + 3)(17 − x)(x − 5) ≥ 0.
а) 18(x − 2)(x − 7) > 0: x < 2 или x > 7.
б) Умножим на −1: (x − 7,3)(x − 9,8) < 0: 7,3 < x < 9,8.
в) Умножим на −1: (x + 0,8)(x − 4)(x − 20) > 0. Корни −0,8; 4; 20. Знак «+» при x > 20, «−» на (4; 20), «+» на (−0,8; 4). Решение: (−0,8; 4) ∪ (20; +∞).
г) Умножим на −1 (знак меняется): (10x + 3)(x − 17)(x − 5) ≤ 0. Корни −0,3; 5; 17. Знак «+» при x > 17, «−» на [5; 17], «+» на (−0,3; 5), «−» при x ≤ −0,3. Решение: (−∞; −0,3] ∪ [5; 17].
Ответ: а) (−∞; 2) ∪ (7; +∞); б) (7,3; 9,8); в) (−0,8; 4) ∪ (20; +∞); г) (−∞; −0,3] ∪ [5; 17].
б) Умножим на −1: (x − 7,3)(x − 9,8) < 0: 7,3 < x < 9,8.
в) Умножим на −1: (x + 0,8)(x − 4)(x − 20) > 0. Корни −0,8; 4; 20. Знак «+» при x > 20, «−» на (4; 20), «+» на (−0,8; 4). Решение: (−0,8; 4) ∪ (20; +∞).
г) Умножим на −1 (знак меняется): (10x + 3)(x − 17)(x − 5) ≤ 0. Корни −0,3; 5; 17. Знак «+» при x > 17, «−» на [5; 17], «+» на (−0,3; 5), «−» при x ≤ −0,3. Решение: (−∞; −0,3] ∪ [5; 17].
Ответ: а) (−∞; 2) ∪ (7; +∞); б) (7,3; 9,8); в) (−0,8; 4) ∪ (20; +∞); г) (−∞; −0,3] ∪ [5; 17].
352. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители: а) (x² − 16)(x + 17) > 0; б) (x − 2/3)(x² − 121) < 0; в) x³ − 25x < 0; г) x³ − 0,01x > 0; д) (x² − 9)(x² − 1) > 0; е) (x² − 15x)(x² − 36) < 0.
а) (x − 4)(x + 4)(x + 17) > 0. Корни −17; −4;
4. Знак «+» при x > 4, «−» на (−4; 4), «+» на (−17; −4). Решение: (−17; −4) ∪ (4; +∞).
б) (x − 2/3)(x − 11)(x + 11) < 0. Корни −11; 2/3; 11. Знак «+» при x > 11, «−» на (2/3; 11), «+» на (−11; 2/3), «−» при x < −11. Решение: (−∞; −11) ∪ (2/3; 11).
в) x(x − 5)(x + 5) < 0. Корни −5; 0; 5. Решение: (−∞; −5) ∪ (0; 5).
г) x(x − 0,1)(x + 0,1) > 0. Корни −0,1; 0; 0,1. Решение: (−0,1; 0) ∪ (0,1; +∞).
д) (x − 3)(x + 3)(x − 1)(x + 1) > 0. Корни −3; −1; 1; 3. Знак «+» при x > 3, «−» на (1; 3), «+» на (−1; 1), «−» на (−3; −1), «+» при x < −3. Решение: (−∞; −3) ∪ (−1; 1) ∪ (3; +∞).
е) x(x − 15)(x − 6)(x + 6) < 0. Корни −6; 0; 6; 15. Знак «+» при x > 15, «−» на (6; 15), «+» на (0; 6), «−» на (−6; 0), «+» при x < −6. Решение: (−6; 0) ∪ (6; 15).
Ответ: а) (−17; −4) ∪ (4; +∞); б) (−∞; −11) ∪ (2/3; 11); в) (−∞; −5) ∪ (0; 5); г) (−0,1; 0) ∪ (0,1; +∞); д) (−∞; −3) ∪ (−1; 1) ∪ (3; +∞); е) (−6; 0) ∪ (6; 15).
б) (x − 2/3)(x − 11)(x + 11) < 0. Корни −11; 2/3; 11. Знак «+» при x > 11, «−» на (2/3; 11), «+» на (−11; 2/3), «−» при x < −11. Решение: (−∞; −11) ∪ (2/3; 11).
в) x(x − 5)(x + 5) < 0. Корни −5; 0; 5. Решение: (−∞; −5) ∪ (0; 5).
г) x(x − 0,1)(x + 0,1) > 0. Корни −0,1; 0; 0,1. Решение: (−0,1; 0) ∪ (0,1; +∞).
д) (x − 3)(x + 3)(x − 1)(x + 1) > 0. Корни −3; −1; 1; 3. Знак «+» при x > 3, «−» на (1; 3), «+» на (−1; 1), «−» на (−3; −1), «+» при x < −3. Решение: (−∞; −3) ∪ (−1; 1) ∪ (3; +∞).
е) x(x − 15)(x − 6)(x + 6) < 0. Корни −6; 0; 6; 15. Знак «+» при x > 15, «−» на (6; 15), «+» на (0; 6), «−» на (−6; 0), «+» при x < −6. Решение: (−6; 0) ∪ (6; 15).
Ответ: а) (−17; −4) ∪ (4; +∞); б) (−∞; −11) ∪ (2/3; 11); в) (−∞; −5) ∪ (0; 5); г) (−0,1; 0) ∪ (0,1; +∞); д) (−∞; −3) ∪ (−1; 1) ∪ (3; +∞); е) (−6; 0) ∪ (6; 15).
353. Решите неравенство: а) (x² + 17)(x − 6)(x + 2) < 0; б) (2x² + 1)x(x − 4) > 0; в) (x − 1)²(x − 24) < 0; г) (x + 7)(x − 4)²(x − 21) > 0.
а) Множитель x² + 17 > 0, на него можно разделить: (x − 6)(x + 2) < 0, −2 < x < 6.
б) Множитель 2x² + 1 > 0: x(x − 4) > 0, x < 0 или x > 4.
в) Множитель (x − 1)² ≥ 0 и равен нулю при x = 1, где левая часть равна 0, а не меньше 0. При x ≠ 1 можно разделить на (x − 1)² > 0: x − 24 < 0, x < 24. Решение: x < 24, x ≠ 1.
г) Множитель (x − 4)² > 0 при x ≠ 4; при x = 4 левая часть равна 0 и неравенство не выполняется. При x ≠ 4: (x + 7)(x − 21) > 0, x < −7 или x > 21; число 4 в эти промежутки не входит.
Ответ: а) (−2; 6); б) (−∞; 0) ∪ (4; +∞); в) (−∞; 1) ∪ (1; 24); г) (−∞; −7) ∪ (21; +∞).
б) Множитель 2x² + 1 > 0: x(x − 4) > 0, x < 0 или x > 4.
в) Множитель (x − 1)² ≥ 0 и равен нулю при x = 1, где левая часть равна 0, а не меньше 0. При x ≠ 1 можно разделить на (x − 1)² > 0: x − 24 < 0, x < 24. Решение: x < 24, x ≠ 1.
г) Множитель (x − 4)² > 0 при x ≠ 4; при x = 4 левая часть равна 0 и неравенство не выполняется. При x ≠ 4: (x + 7)(x − 21) > 0, x < −7 или x > 21; число 4 в эти промежутки не входит.
Ответ: а) (−2; 6); б) (−∞; 0) ∪ (4; +∞); в) (−∞; 1) ∪ (1; 24); г) (−∞; −7) ∪ (21; +∞).
354. Найдите область определения функции: а) y = 4/√((3x − 1)(6x + 1)); б) y = 7/√((11x + 2)(x − 4)).
Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным.
а) (3x − 1)(6x + 1) > 0. Корни 1/3 и −1/6, ветви параболы вверх: x < −1/6 или x > 1/3.
б) (11x + 2)(x − 4) > 0. Корни −2/11 и 4: x < −2/11 или x > 4.
Ответ: а) (−∞; −1/6) ∪ (1/3; +∞); б) (−∞; −2/11) ∪ (4; +∞).
а) (3x − 1)(6x + 1) > 0. Корни 1/3 и −1/6, ветви параболы вверх: x < −1/6 или x > 1/3.
б) (11x + 2)(x − 4) > 0. Корни −2/11 и 4: x < −2/11 или x > 4.
Ответ: а) (−∞; −1/6) ∪ (1/3; +∞); б) (−∞; −2/11) ∪ (4; +∞).