Упражнения 329–336, стр. 106 — 9 класс, Алгебра Макарычев, стр… · ГДЗ
Алгебра · 9 КЛАСС

Упражнения 329–336 — Глава III. Дополнительные упражнения к главе…

Страница 106 · Алгебра Макарычев 9 класс

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк · Просвещение, 2023 · 15-е издание, переработанное

Оглавление

Глава III. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 5 — с. 106

329. Решите уравнение, используя выделение целой части из дроби: а) (x² − 5x + 3)/(x − 5) − (x² + 5x + 1)/(x + 5) = 1/4; б) (x² + 6x + 10)/(x + 3) − (x² − 6x + 7)/(x − 3) = 7 1/8.
а) x² − 5x + 3 = x(x − 5) + 3, поэтому первая дробь равна x + 3/(x − 5). x² + 5x + 1 = x(x + 5) + 1, вторая дробь равна x + 1/(x + 5). Уравнение (x ≠ ±5): 3/(x − 5) − 1/(x + 5) = 1/4. Умножаем на 4(x − 5)(x + 5): 12(x + 5) − 4(x − 5) = x² − 25, 8x + 80 = x² − 25, x² − 8x − 105 = 0, D = 64 + 420 = 484, x = (8 ± 22)/2, x = 15 или x = −7.
б) x² + 6x + 10 = (x + 3)² + 1, первая дробь равна x + 3 + 1/(x + 3). x² − 6x + 7 = (x − 3)² − 2, вторая дробь равна x − 3 − 2/(x − 3). Разность: 6 + 1/(x + 3) + 2/(x − 3) = 57/8 (x ≠ ±3), откуда 1/(x + 3) + 2/(x − 3) = 9/8. Умножаем на 8(x² − 9): 8(x − 3) + 16(x + 3) = 9(x² − 9), 24x + 24 = 9x² − 81, 9x² − 24x − 105 = 0, 3x² − 8x − 35 = 0, D = 64 + 420 = 484, x = (8 ± 22)/6, x = 5 или x = −7/3.
Ответ: а) −7; 15; б) −2 1/3; 5.
330. Найдите корни уравнения: а) 1/(x² − 6x + 8) − 1/(x − 2) + 10/(x² − 4) = 0; б) 3/(x² − x − 6) + 3/(x + 2) = 7/(x² − 9).
а) x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4), x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Допустимы x ≠ 2, 4, −2. Общий знаменатель (x − 2)(x − 4)(x + 2): (x + 2) − (x − 4)(x + 2) + 10(x − 4) = 0, x + 2 − x² + 2x + 8 + 10x − 40 = 0, −x² + 13x − 30 = 0, x² − 13x + 30 = 0, x = 3 или x = 10. Оба допустимы.
б) x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Допустимы x ≠ 3, −2, −3. Общий знаменатель (x − 3)(x + 2)(x + 3): 3(x + 3) + 3(x − 3)(x + 3) = 7(x + 2), 3x + 9 + 3x² − 27 = 7x + 14, 3x² − 4x − 32 = 0, D = 16 + 384 = 400, x = (4 ± 20)/6, x = 4 или x = −8/3. Оба допустимы.
Ответ: а) 3; 10; б) −2 2/3; 4.
331. Решите уравнение 1/(x³ − x² + x − 1) + (4x² + 21)/(x³ + x² + x + 1) = (4x³ − 3x² + 14x − 4)/(x^4 − 1).
Разложим знаменатели: x³ − x² + x − 1 = (x − 1)(x² + 1); x³ + x² + x + 1 = (x + 1)(x² + 1); x^4 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x² + 1). Допустимы x ≠ ±1.
Умножаем обе части на (x − 1)(x + 1)(x² + 1): (x + 1) + (4x² + 21)(x − 1) = 4x³ − 3x² + 14x − 4.
Левая часть: x + 1 + 4x³ − 4x² + 21x − 21 = 4x³ − 4x² + 22x − 20. Получаем −4x² + 22x − 20 = −3x² + 14x − 4, x² − 8x + 16 = 0, (x − 4)² = 0, x = 4. Значение допустимо.
Ответ: 4.
332. Найдите корни уравнения: а) x² = (7x − 4)/(4x − 7); б) x² = (5x − 3)/(3x − 5).
а) x ≠ 7/4. x²(4x − 7) = 7x − 4, 4x³ − 7x² − 7x + 4 = 0. Подбираем корень: x = −1: −4 − 7 + 7 + 4 = 0. Делим на x + 1: 4x³ − 7x² − 7x + 4 = (x + 1)(4x² − 11x + 4). Из 4x² − 11x + 4 = 0: D = 121 − 64 = 57, x = (11 ± √57)/8.
б) x ≠ 5/3. x²(3x − 5) = 5x − 3, 3x³ − 5x² − 5x + 3 = 0. Корень x = −1: −3 − 5 + 5 + 3 = 0. Делим на x + 1: (x + 1)(3x² − 8x + 3). Из 3x² − 8x + 3 = 0: D = 64 − 36 = 28, x = (8 ± 2√7)/6 = (4 ± √7)/3.
Все найденные значения допустимы.
Ответ: а) −1; (11 − √57)/8; (11 + √57)/8; б) −1; (4 − √7)/3; (4 + √7)/3.
333. Решите уравнение, обозначив одно из слагаемых через t, а другое через 1/t: а) (x² + 1)/x + x/(x² + 1) = 2 1/2; б) (x² + 2)/(3x − 2) + (3x − 2)/(x² + 2) = 2 1/6.
а) Пусть t = (x² + 1)/x, тогда второе слагаемое равно 1/t. t + 1/t = 5/2, 2t² − 5t + 2 = 0, t = 2 или t = 1/2.
(x² + 1)/x = 2: x² − 2x + 1 = 0, x = 1.
(x² + 1)/x = 1/2: 2x² − x + 2 = 0, D = 1 − 16 < 0, корней нет.
б) Пусть t = (x² + 2)/(3x − 2), тогда второе слагаемое равно 1/t. t + 1/t = 13/6, 6t² − 13t + 6 = 0, D = 169 − 144 = 25, t = (13 ± 5)/12, t = 3/2 или t = 2/3.
(x² + 2)/(3x − 2) = 3/2: 2x² + 4 = 9x − 6, 2x² − 9x + 10 = 0, D = 81 − 80 = 1, x = (9 ± 1)/4, x = 5/2 или x = 2.
(x² + 2)/(3x − 2) = 2/3: 3x² + 6 = 6x − 4, 3x² − 6x + 10 = 0, D = 36 − 120 < 0, корней нет.
Знаменатели при найденных x не равны нулю.
Ответ: а) 1; б) 2; 2 1/2.
334. Решите уравнение, используя подстановку y = x²: а) x^4/(x² − 2) + (1 − 4x²)/(2 − x²) + 4 = 0; б) (x² + 3)/(x² + 1) + 2/(x² − 4) + 10/(x^4 − 3x² − 4) = 0.
а) Заметим, что (1 − 4x²)/(2 − x²) = (4x² − 1)/(x² − 2). При y = x²: y²/(y − 2) + (4y − 1)/(y − 2) + 4 = 0, y ≠ 2. Умножаем на y − 2: y² + 4y − 1 + 4y − 8 = 0, y² + 8y − 9 = 0, y = 1 или y = −9. Так как y = x² ≥ 0, подходит y = 1, x = ±1.
б) x^4 − 3x² − 4 = (x² − 4)(x² + 1) = (y − 4)(y + 1). Уравнение: (y + 3)/(y + 1) + 2/(y − 4) + 10/((y − 4)(y + 1)) = 0, y ≠ 4, y ≠ −1. Умножаем на (y − 4)(y + 1): (y + 3)(y − 4) + 2(y + 1) + 10 = 0, y² − y − 12 + 2y + 2 + 10 = 0, y² + y = 0, y = 0 или y = −1. Значение y = −1 не подходит (y ≥ 0 и y ≠ −1). Остаётся y = 0, x = 0. Проверка: 3 + 2/(−4) + 10/(−4) = 3 − 0,5 − 2,5 = 0.
Ответ: а) −1; 1; б) 0.
335. Решите уравнение: а) ((x + 1)/(x − 2))² − 16((x − 2)/(x + 1))² = 15; б) ((x + 3)/(x − 5))² − 9((x − 5)/(x + 3))² = 8.
а) Пусть t = ((x + 1)/(x − 2))² > 0, тогда ((x − 2)/(x + 1))² = 1/t. t − 16/t = 15, t² − 15t − 16 = 0, t = 16 или t = −1 (не подходит). Значит, (x + 1)/(x − 2) = 4 или (x + 1)/(x − 2) = −4.
Первое: x + 1 = 4x − 8, x = 3. Второе: x + 1 = −4x + 8, 5x = 7, x = 1,4.
б) Пусть t = ((x + 3)/(x − 5))² > 0. t − 9/t = 8, t² − 8t − 9 = 0, t = 9 или t = −1 (не подходит). (x + 3)/(x − 5) = 3 или (x + 3)/(x − 5) = −3.
Первое: x + 3 = 3x − 15, x = 9. Второе: x + 3 = −3x + 15, x = 3.
Ответ: а) 1,4; 3; б) 3; 9.
336. Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) 2(x² + 1/x²) − (x + 1/x) = 2; б) 9x² − 18x + 9/x² − 18/x = 22.
Пусть y = x + 1/x, тогда x² + 1/x² = y² − 2. Заметим, что x ≠ 0.
а) 2(y² − 2) − y = 2, 2y² − y − 6 = 0, D = 1 + 48 = 49, y = (1 ± 7)/4, y = 2 или y = −3/2.
x + 1/x = 2: x² − 2x + 1 = 0, x = 1. x + 1/x = −3/2: 2x² + 3x + 2 = 0, D = 9 − 16 < 0, корней нет.
б) 9(x² + 1/x²) − 18(x + 1/x) = 22, 9(y² − 2) − 18y − 22 = 0, 9y² − 18y − 40 = 0, D = 324 + 1440 = 1764 = 42², y = (18 ± 42)/18, y = 10/3 или y = −4/3.
x + 1/x = 10/3: 3x² − 10x + 3 = 0, x = 3 или x = 1/3. x + 1/x = −4/3: 3x² + 4x + 3 = 0, D = 16 − 36 < 0, корней нет.
Ответ: а) 1; б) 1/3; 3.