Глава III. §6. п.18 Некоторые приёмы решения целых уравнений — с. 104
308. Решите уравнение: а) x³ + 11x − 108 = 0; б) x^5 + 6x + 44 = 0.
а) Целые корни — делители числа 108. x = 4: 64 + 44 − 108 = 0. Делим на x − 4: x³ + 11x − 108 = (x − 4)(x² + 4x + 27). У x² + 4x + 27 дискриминант 16 − 108 < 0, корней нет. Остаётся x = 4.
б) Делители числа 44. x = −2: −32 − 12 + 44 = 0, значит x = −2 — корень. Других корней нет: уравнение запишем как x^5 + 6x = −44; функция y = x^5 + 6x возрастает (сумма двух возрастающих функций), поэтому каждое значение принимает только один раз.
Ответ: а) 4; б) −2.
б) Делители числа 44. x = −2: −32 − 12 + 44 = 0, значит x = −2 — корень. Других корней нет: уравнение запишем как x^5 + 6x = −44; функция y = x^5 + 6x возрастает (сумма двух возрастающих функций), поэтому каждое значение принимает только один раз.
Ответ: а) 4; б) −2.
309. Из данных уравнений выберите то, которое имеет один и только один целый корень. 1. x³ − x + 3 = 0; 2. x^4 + 5x² + 4 = 0; 3. x^4 + x² − 20 = 0; 4. x³ − 5x + 4 = 0.
1. Целые корни — делители числа 3: 1 даёт 3, −1 даёт 3, 3 даёт 27, −3 даёт −21. Целых корней нет.
2. x^4 + 5x² + 4 > 0 при любом x, корней нет.
3. Пусть t = x²: t² + t − 20 = 0, t = 4 или t = −5 (не подходит). x = ±2 — два целых корня.
4. x = 1: 1 − 5 + 4 = 0. x³ − 5x + 4 = (x − 1)(x² + x − 4); у x² + x − 4 дискриминант 17, корни (−1 ± √17)/2 не целые. Ровно один целый корень x = 1.
Ответ: 4.
2. x^4 + 5x² + 4 > 0 при любом x, корней нет.
3. Пусть t = x²: t² + t − 20 = 0, t = 4 или t = −5 (не подходит). x = ±2 — два целых корня.
4. x = 1: 1 − 5 + 4 = 0. x³ − 5x + 4 = (x − 1)(x² + x − 4); у x² + x − 4 дискриминант 17, корни (−1 ± √17)/2 не целые. Ровно один целый корень x = 1.
Ответ: 4.
310. Решите возвратное уравнение 10x^4 − 77x³ + 150x² − 77x + 10 = 0.
x = 0 не является корнем. Делим обе части на x²: 10x² − 77x + 150 − 77/x + 10/x² = 0, то есть 10(x² + 1/x²) − 77(x + 1/x) + 150 = 0.
Пусть y = x + 1/x, тогда x² + 1/x² = y² − 2. Получаем 10(y² − 2) − 77y + 150 = 0, 10y² − 77y + 130 = 0. D = 5929 − 5200 = 729 = 27², y = (77 ± 27)/20, y = 5/2 или y = 26/5.
x + 1/x = 5/2: 2x² − 5x + 2 = 0, x = 2 или x = 1/2.
x + 1/x = 26/5: 5x² − 26x + 5 = 0, D = 676 − 100 = 576, x = (26 ± 24)/10, x = 5 или x = 1/5.
Ответ: 1/5; 1/2; 2; 5.
Пусть y = x + 1/x, тогда x² + 1/x² = y² − 2. Получаем 10(y² − 2) − 77y + 150 = 0, 10y² − 77y + 130 = 0. D = 5929 − 5200 = 729 = 27², y = (77 ± 27)/20, y = 5/2 или y = 26/5.
x + 1/x = 5/2: 2x² − 5x + 2 = 0, x = 2 или x = 1/2.
x + 1/x = 26/5: 5x² − 26x + 5 = 0, D = 676 − 100 = 576, x = (26 ± 24)/10, x = 5 или x = 1/5.
Ответ: 1/5; 1/2; 2; 5.
311. Докажите, что если число m является корнем уравнения ax^4 + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0, то обратное ему число также является корнем этого уравнения.
Пусть m — корень: am^4 + bm³ + cm² + bm + a = 0. Число m ≠ 0, иначе из равенства получили бы a = 0, что противоречит условию. Значит, обратное число 1/m существует.
Разделим равенство на m^4: a + b/m + c/m² + b/m³ + a/m^4 = 0.
Перепишем: a·(1/m)^4 + b·(1/m)³ + c·(1/m)² + b·(1/m) + a = 0.
Это означает, что при x = 1/m левая часть уравнения равна нулю, то есть 1/m — тоже корень уравнения. Что и требовалось доказать.
Разделим равенство на m^4: a + b/m + c/m² + b/m³ + a/m^4 = 0.
Перепишем: a·(1/m)^4 + b·(1/m)³ + c·(1/m)² + b·(1/m) + a = 0.
Это означает, что при x = 1/m левая часть уравнения равна нулю, то есть 1/m — тоже корень уравнения. Что и требовалось доказать.
312. Решите уравнение: а) (x² − 4x − 12)² + (x² − 10x + 24)² = 0; б) |x² + 15x + 50| + |x² + 7x + 10| = 0.
а) Сумма двух квадратов равна нулю только если оба слагаемых равны нулю: x² − 4x − 12 = 0 и x² − 10x + 24 = 0.
Первое: x = 6 или x = −2. Второе: x = 4 или x = 6. Общий корень x = 6.
б) Сумма двух модулей равна нулю только если оба модуля равны нулю: x² + 15x + 50 = 0 и x² + 7x + 10 = 0.
Первое: (x + 5)(x + 10) = 0, x = −5 или x = −10. Второе: (x + 2)(x + 5) = 0, x = −2 или x = −5. Общий корень x = −5.
Ответ: а) 6; б) −5.
Первое: x = 6 или x = −2. Второе: x = 4 или x = 6. Общий корень x = 6.
б) Сумма двух модулей равна нулю только если оба модуля равны нулю: x² + 15x + 50 = 0 и x² + 7x + 10 = 0.
Первое: (x + 5)(x + 10) = 0, x = −5 или x = −10. Второе: (x + 2)(x + 5) = 0, x = −2 или x = −5. Общий корень x = −5.
Ответ: а) 6; б) −5.
313. Найдите корень уравнения x² − 13x − √(5 − x) = −√(5 − x) − 30. Если оно имеет два корня, то в ответе укажите больший из них.
Слагаемые −√(5 − x) в обеих частях сокращаются: x² − 13x = −30, x² − 13x + 30 = 0, x = 3 или x = 10.
Область допустимых значений: 5 − x ≥ 0, x ≤ 5. Число 10 не подходит. Остаётся x = 3; проверка: 9 − 39 − √2 = −30 − √2, а справа −√2 − 30, верно.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: 3.
Область допустимых значений: 5 − x ≥ 0, x ≤ 5. Число 10 не подходит. Остаётся x = 3; проверка: 9 − 39 − √2 = −30 − √2, а справа −√2 − 30, верно.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: 3.
314. Найдите корень уравнения 40 + √(x + 2) = x² + 6x + √(x + 2). Если оно имеет два корня, то в ответе укажите меньший из них.
Слагаемые √(x + 2) в обеих частях сокращаются: x² + 6x = 40, x² + 6x − 40 = 0, x = 4 или x = −10.
Область допустимых значений: x + 2 ≥ 0, x ≥ −2. Число −10 не подходит. Остаётся x = 4; проверка: 40 + √6 = 16 + 24 + √6, верно.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: 4.
Область допустимых значений: x + 2 ≥ 0, x ≥ −2. Число −10 не подходит. Остаётся x = 4; проверка: 40 + √6 = 16 + 24 + √6, верно.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: 4.
315. Решите уравнение: а) x^5 − x³ = 0; б) x^6 = 4x^4; в) 0,5x³ = 32x; г) 0,2x^4 = 4x².
а) x³(x² − 1) = 0, x = 0, x = 1, x = −1.
б) x^6 − 4x^4 = 0, x^4(x² − 4) = 0, x = 0, x = ±2.
в) 0,5x³ − 32x = 0, x(0,5x² − 32) = 0, x = 0 или x² = 64, x = ±8.
г) 0,2x^4 − 4x² = 0, x²(0,2x² − 4) = 0, x = 0 или x² = 20, x = ±2√5.
Ответ: а) −1; 0; 1; б) −2; 0; 2; в) −8; 0; 8; г) −2√5; 0; 2√5.
б) x^6 − 4x^4 = 0, x^4(x² − 4) = 0, x = 0, x = ±2.
в) 0,5x³ − 32x = 0, x(0,5x² − 32) = 0, x = 0 или x² = 64, x = ±8.
г) 0,2x^4 − 4x² = 0, x²(0,2x² − 4) = 0, x = 0 или x² = 20, x = ±2√5.
Ответ: а) −1; 0; 1; б) −2; 0; 2; в) −8; 0; 8; г) −2√5; 0; 2√5.
316. Найдите корни уравнения: а) (a − 2)(a + 2)(a² + 4) = 25a² − 16; б) (x − 1)(x + 1)(x² + 1) = 6x² − 1.
а) Левая часть: (a² − 4)(a² + 4) = a^4 − 16. Уравнение a^4 − 16 = 25a² − 16, a^4 − 25a² = 0, a²(a² − 25) = 0, a = 0 или a = ±5.
б) Левая часть: (x² − 1)(x² + 1) = x^4 − 1. Уравнение x^4 − 1 = 6x² − 1, x^4 − 6x² = 0, x²(x² − 6) = 0, x = 0 или x = ±√6.
Ответ: а) −5; 0; 5; б) −√6; 0; √6.
б) Левая часть: (x² − 1)(x² + 1) = x^4 − 1. Уравнение x^4 − 1 = 6x² − 1, x^4 − 6x² = 0, x²(x² − 6) = 0, x = 0 или x = ±√6.
Ответ: а) −5; 0; 5; б) −√6; 0; √6.
317. Решите уравнение: а) x³ − x² − 4(x − 1)² = 0; б) 2y³ + 2y² − (y + 1)² = 0; в) 5x³ − 19x² − 38x + 40 = 0; г) 6x³ − 31x² − 31x + 6 = 0.
а) x²(x − 1) − 4(x − 1)² = (x − 1)(x² − 4x + 4) = (x − 1)(x − 2)² = 0, x = 1 или x = 2.
б) 2y²(y + 1) − (y + 1)² = (y + 1)(2y² − y − 1) = 0. Из 2y² − y − 1 = 0: y = 1 или y = −1/2. Из y + 1 = 0: y = −1.
в) Подбираем корень: x = −2: −40 − 76 + 76 + 40 = 0. Делим на x + 2: 5x³ − 19x² − 38x + 40 = (x + 2)(5x² − 29x + 20). Из 5x² − 29x + 20 = 0: D = 841 − 400 = 441, x = (29 ± 21)/10, x = 5 или x = 0,8.
г) Подбираем корень: x = −1: −6 − 31 + 31 + 6 = 0. Делим на x + 1: 6x³ − 31x² − 31x + 6 = (x + 1)(6x² − 37x + 6). Из 6x² − 37x + 6 = 0: D = 1369 − 144 = 1225 = 35², x = (37 ± 35)/12, x = 6 или x = 1/6.
Ответ: а) 1; 2; б) −1; −1/2; 1; в) −2; 0,8; 5; г) −1; 1/6; 6.
б) 2y²(y + 1) − (y + 1)² = (y + 1)(2y² − y − 1) = 0. Из 2y² − y − 1 = 0: y = 1 или y = −1/2. Из y + 1 = 0: y = −1.
в) Подбираем корень: x = −2: −40 − 76 + 76 + 40 = 0. Делим на x + 2: 5x³ − 19x² − 38x + 40 = (x + 2)(5x² − 29x + 20). Из 5x² − 29x + 20 = 0: D = 841 − 400 = 441, x = (29 ± 21)/10, x = 5 или x = 0,8.
г) Подбираем корень: x = −1: −6 − 31 + 31 + 6 = 0. Делим на x + 1: 6x³ − 31x² − 31x + 6 = (x + 1)(6x² − 37x + 6). Из 6x² − 37x + 6 = 0: D = 1369 − 144 = 1225 = 35², x = (37 ± 35)/12, x = 6 или x = 1/6.
Ответ: а) 1; 2; б) −1; −1/2; 1; в) −2; 0,8; 5; г) −1; 1/6; 6.
318. Решите уравнение: а) x³ + 2x² + 3x + 2 = 0; б) x³ + 4x² − 3x − 6 = 0.
а) Подбираем корень среди делителей числа 2: x = −1: −1 + 2 − 3 + 2 = 0. Делим на x + 1: x³ + 2x² + 3x + 2 = (x + 1)(x² + x + 2). У x² + x + 2 дискриминант 1 − 8 < 0, корней нет. Остаётся x = −1.
б) x = −1: −1 + 4 + 3 − 6 = 0. Делим на x + 1: x³ + 4x² − 3x − 6 = (x + 1)(x² + 3x − 6). Из x² + 3x − 6 = 0: D = 9 + 24 = 33, x = (−3 ± √33)/2.
Ответ: а) −1; б) −1; (−3 − √33)/2; (−3 + √33)/2.
б) x = −1: −1 + 4 + 3 − 6 = 0. Делим на x + 1: x³ + 4x² − 3x − 6 = (x + 1)(x² + 3x − 6). Из x² + 3x − 6 = 0: D = 9 + 24 = 33, x = (−3 ± √33)/2.
Ответ: а) −1; б) −1; (−3 − √33)/2; (−3 + √33)/2.