Глава IV. § 7. п. 19 Уравнение с двумя переменными и его график — с. 115
361. Изобразив схематически графики линейных уравнений, выясните, в какой координатной четверти находятся точки их пересечения: а) {2x + 5y = 8, y − 3x = 5; б) {5x − 2y = 2, x + 0,5y = 4.
Строим обе прямые и находим точку пересечения (проверим решением системы).
а) Первая прямая 2x + 5y = 8 проходит через (4; 0) и (0; 1,6), вторая y = 3x + 5 — через (0; 5) и (−5/3; 0). Подставим y = 3x + 5 в первое уравнение: 2x + 15x + 25 = 8, 17x = −17, x = −1, y = 3·(−1) + 5 = 2. Точка пересечения (−1; 2): x < 0, y > 0 — вторая четверть.
б) Первая прямая y = 2,5x − 1 проходит через (0; −1) и (2; 4), вторая x + 0,5y = 4, то есть y = 8 − 2x, — через (4; 0) и (0; 8). Приравниваем: 2,5x − 1 = 8 − 2x, 4,5x = 9, x = 2, y = 4. Точка пересечения (2; 4): x > 0, y > 0 — первая четверть.
Ответ: а) во второй; б) в первой.
а) Первая прямая 2x + 5y = 8 проходит через (4; 0) и (0; 1,6), вторая y = 3x + 5 — через (0; 5) и (−5/3; 0). Подставим y = 3x + 5 в первое уравнение: 2x + 15x + 25 = 8, 17x = −17, x = −1, y = 3·(−1) + 5 = 2. Точка пересечения (−1; 2): x < 0, y > 0 — вторая четверть.
б) Первая прямая y = 2,5x − 1 проходит через (0; −1) и (2; 4), вторая x + 0,5y = 4, то есть y = 8 − 2x, — через (4; 0) и (0; 8). Приравниваем: 2,5x − 1 = 8 − 2x, 4,5x = 9, x = 2, y = 4. Точка пересечения (2; 4): x > 0, y > 0 — первая четверть.
Ответ: а) во второй; б) в первой.
362. Составьте уравнение с двумя переменными, график которого изображён на рисунке 55. [рисунок 55: а) прямая через точки (−2; 0) и (0; 1); б) прямая через точки (−2; 0) и (0; −1); в) горизонтальная прямая, проходящая через точку (0; −1)]
Во всех случаях график — прямая y = kx + b, где b — ордината точки пересечения с осью y, а k = (изменение y)/(изменение x).
а) Прямая проходит через (0; 1), значит b = 1. Через (−2; 0): 0 = −2k + 1, k = 0,5. Уравнение y = 0,5x + 1.
б) Прямая проходит через (0; −1), значит b = −1. Через (−2; 0): 0 = −2k − 1, k = −0,5. Уравнение y = −0,5x − 1.
в) Горизонтальная прямая на уровне y = −1: уравнение y = −1 (x — любое).
Ответ: а) y = 0,5x + 1; б) y = −0,5x − 1; в) y = −1.
а) Прямая проходит через (0; 1), значит b = 1. Через (−2; 0): 0 = −2k + 1, k = 0,5. Уравнение y = 0,5x + 1.
б) Прямая проходит через (0; −1), значит b = −1. Через (−2; 0): 0 = −2k − 1, k = −0,5. Уравнение y = −0,5x − 1.
в) Горизонтальная прямая на уровне y = −1: уравнение y = −1 (x — любое).
Ответ: а) y = 0,5x + 1; б) y = −0,5x − 1; в) y = −1.
363. Постройте график уравнения (y − 5x)(x + y + 4) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Поэтому уравнение равносильно совокупности y − 5x = 0 или x + y + 4 = 0, то есть y = 5x или y = −x − 4.
График — объединение двух прямых.
Прямая y = 5x проходит через точки (0; 0) и (1; 5). Прямая y = −x − 4 проходит через точки (0; −4) и (−4; 0). Прямые пересекаются в точке (−2/3; −10/3) (из 5x = −x − 4). Графики показаны на рисунке.
Ответ: пара пересекающихся прямых y = 5x и y = −x − 4.
График — объединение двух прямых.
Прямая y = 5x проходит через точки (0; 0) и (1; 5). Прямая y = −x − 4 проходит через точки (0; −4) и (−4; 0). Прямые пересекаются в точке (−2/3; −10/3) (из 5x = −x − 4). Графики показаны на рисунке.
Ответ: пара пересекающихся прямых y = 5x и y = −x − 4.
364. Постройте график уравнения: а) 2y − 0,5x² = 0; б) x² − 3y = 6; в) 4x² = 8 − y; г) −5x² + 2y = 3.
В каждом случае выражаем y через x; получаем параболу y = ax² + n с вершиной (0; n), осью симметрии — осью y.
а) 2y = 0,5x², y = 0,25x². Вершина (0; 0), ветви вверх. Точки: x = ±2, y = 1; x = ±4, y = 4.
б) 3y = x² − 6, y = x²/3 − 2. Вершина (0; −2), ветви вверх. Точки: x = ±3, y = 1; x = ±√6 ≈ ±2,4, y = 0.
в) y = 8 − 4x². Вершина (0; 8), ветви вниз. Точки: x = ±1, y = 4; x = ±√2 ≈ ±1,4, y = 0; x = ±2, y = −8.
г) 2y = 5x² + 3, y = 2,5x² + 1,5. Вершина (0; 1,5), ветви вверх. Точки: x = ±1, y = 4; x = ±2, y = 11,5.
Графики построены на рисунке по этим точкам.
Ответ: а) парабола y = 0,25x²; б) парабола y = x²/3 − 2; в) парабола y = 8 − 4x²; г) парабола y = 2,5x² + 1,5.
а) 2y = 0,5x², y = 0,25x². Вершина (0; 0), ветви вверх. Точки: x = ±2, y = 1; x = ±4, y = 4.
б) 3y = x² − 6, y = x²/3 − 2. Вершина (0; −2), ветви вверх. Точки: x = ±3, y = 1; x = ±√6 ≈ ±2,4, y = 0.
в) y = 8 − 4x². Вершина (0; 8), ветви вниз. Точки: x = ±1, y = 4; x = ±√2 ≈ ±1,4, y = 0; x = ±2, y = −8.
г) 2y = 5x² + 3, y = 2,5x² + 1,5. Вершина (0; 1,5), ветви вверх. Точки: x = ±1, y = 4; x = ±2, y = 11,5.
Графики построены на рисунке по этим точкам.
Ответ: а) парабола y = 0,25x²; б) парабола y = x²/3 − 2; в) парабола y = 8 − 4x²; г) парабола y = 2,5x² + 1,5.
365. Постройте график уравнения: а) 3xy = 12; б) (1/2)xy = 6; в) 2xy = −8; г) (1/2)xy = −6.
Выражаем y через x: получаем обратную пропорциональность y = k/x, график — гипербола (две ветви). При k > 0 ветви в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV.
а) y = 12/(3x) = 4/x. Точки: (1; 4), (2; 2), (4; 1), (−1; −4), (−2; −2), (−4; −1).
б) y = 6·2/x = 12/x. Точки: (2; 6), (3; 4), (4; 3), (6; 2), (−2; −6), (−3; −4), (−4; −3), (−6; −2).
в) y = −8/(2x) = −4/x. Точки: (1; −4), (2; −2), (4; −1), (−1; 4), (−2; 2), (−4; 1).
г) y = −6·2/x = −12/x. Точки: (2; −6), (3; −4), (4; −3), (6; −2), (−2; 6), (−3; 4), (−4; 3), (−6; 2).
По этим точкам строим плавные ветви (рисунок); график не пересекает оси координат.
Ответ: а) гипербола y = 4/x; б) гипербола y = 12/x; в) гипербола y = −4/x; г) гипербола y = −12/x.
а) y = 12/(3x) = 4/x. Точки: (1; 4), (2; 2), (4; 1), (−1; −4), (−2; −2), (−4; −1).
б) y = 6·2/x = 12/x. Точки: (2; 6), (3; 4), (4; 3), (6; 2), (−2; −6), (−3; −4), (−4; −3), (−6; −2).
в) y = −8/(2x) = −4/x. Точки: (1; −4), (2; −2), (4; −1), (−1; 4), (−2; 2), (−4; 1).
г) y = −6·2/x = −12/x. Точки: (2; −6), (3; −4), (4; −3), (6; −2), (−2; 6), (−3; 4), (−4; 3), (−6; 2).
По этим точкам строим плавные ветви (рисунок); график не пересекает оси координат.
Ответ: а) гипербола y = 4/x; б) гипербола y = 12/x; в) гипербола y = −4/x; г) гипербола y = −12/x.
366. График уравнения xy = k проходит через точку (−2; 4). Найдите число k и постройте этот график.
Так как точка (−2; 4) лежит на графике, её координаты удовлетворяют уравнению: k = xy = (−2)·4 = −8.
Уравнение xy = −8, то есть y = −8/x — гипербола, ветви которой расположены во II и IV четвертях.
Точки для построения: (−1; 8), (−2; 4), (−4; 2), (−8; 1), (1; −8), (2; −4), (4; −2), (8; −1). График показан на рисунке.
Ответ: k = −8.
Уравнение xy = −8, то есть y = −8/x — гипербола, ветви которой расположены во II и IV четвертях.
Точки для построения: (−1; 8), (−2; 4), (−4; 2), (−8; 1), (1; −8), (2; −4), (4; −2), (8; −1). График показан на рисунке.
Ответ: k = −8.
367. Запишите уравнение окружности с центром в начале координат, зная, что она проходит через точку: а) A(−2; √5); б) B(3; 4); в) C(8; 0).
Уравнение окружности с центром в начале координат: x² + y² = r². Квадрат радиуса находим, подставив координаты данной точки.
а) r² = (−2)² + (√5)² = 4 + 5 = 9. Уравнение x² + y² = 9.
б) r² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Уравнение x² + y² = 25.
в) r² = 8² + 0² = 64. Уравнение x² + y² = 64.
Ответ: а) x² + y² = 9; б) x² + y² = 25; в) x² + y² = 64.
а) r² = (−2)² + (√5)² = 4 + 5 = 9. Уравнение x² + y² = 9.
б) r² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Уравнение x² + y² = 25.
в) r² = 8² + 0² = 64. Уравнение x² + y² = 64.
Ответ: а) x² + y² = 9; б) x² + y² = 25; в) x² + y² = 64.
368. Напишите уравнение окружности, зная, что её центр находится в точке K(2; −5) и она проходит через точку: а) A(−1; −1); б) B(−3; 7); в) C(1; −4).
Уравнение окружности с центром (2; −5): (x − 2)² + (y + 5)² = r². Квадрат радиуса находим подстановкой координат точки.
а) r² = (−1 − 2)² + (−1 + 5)² = 9 + 16 = 25. Уравнение (x − 2)² + (y + 5)² = 25.
б) r² = (−3 − 2)² + (7 + 5)² = 25 + 144 = 169. Уравнение (x − 2)² + (y + 5)² = 169.
в) r² = (1 − 2)² + (−4 + 5)² = 1 + 1 = 2. Уравнение (x − 2)² + (y + 5)² = 2.
Ответ: а) (x − 2)² + (y + 5)² = 25; б) (x − 2)² + (y + 5)² = 169; в) (x − 2)² + (y + 5)² = 2.
а) r² = (−1 − 2)² + (−1 + 5)² = 9 + 16 = 25. Уравнение (x − 2)² + (y + 5)² = 25.
б) r² = (−3 − 2)² + (7 + 5)² = 25 + 144 = 169. Уравнение (x − 2)² + (y + 5)² = 169.
в) r² = (1 − 2)² + (−4 + 5)² = 1 + 1 = 2. Уравнение (x − 2)² + (y + 5)² = 2.
Ответ: а) (x − 2)² + (y + 5)² = 25; б) (x − 2)² + (y + 5)² = 169; в) (x − 2)² + (y + 5)² = 2.
369. Докажите, что графиком уравнения x² + y² − 6(x − y) = 7 является окружность.
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: x² − 6x + y² + 6y = 7.
Дополним до полных квадратов: x² − 6x + 9 = (x − 3)², y² + 6y + 9 = (y + 3)². Для этого прибавим к обеим частям 9 + 9 = 18:
(x − 3)² + (y + 3)² = 7 + 18 = 25.
Получили уравнение вида (x − a)² + (y − b)² = r² при a = 3, b = −3, r = 5. Это уравнение окружности с центром в точке (3; −3) и радиусом 5. Что и требовалось доказать.
Дополним до полных квадратов: x² − 6x + 9 = (x − 3)², y² + 6y + 9 = (y + 3)². Для этого прибавим к обеим частям 9 + 9 = 18:
(x − 3)² + (y + 3)² = 7 + 18 = 25.
Получили уравнение вида (x − a)² + (y − b)² = r² при a = 3, b = −3, r = 5. Это уравнение окружности с центром в точке (3; −3) и радиусом 5. Что и требовалось доказать.