Глава IV. § 7. п. 19 Уравнение с двумя переменными и его график — с. 117
381. Решите неравенство: а) 25x² + 6x ≤ 0; б) x² − 169 > 0; в) 4x² − 225 ≤ 0; г) y² < 10y + 24; д) 15y² + 30 > 22y + 7; е) 3y² − 7 ≤ 26y + 70.
Решаем каждое неравенство по параболе: находим корни соответствующего квадратного трёхчлена и выбираем промежуток по знаку старшего коэффициента (ветви вверх).
а) x(25x + 6) ≤ 0. Корни: x = 0 и x = −6/25 = −0,24. Трёхчлен принимает значения ≤ 0 между корнями: x ∈ [−0,24; 0].
б) x² > 169; (x − 13)(x + 13) > 0. Корни ±13. Значения > 0 вне корней: x ∈ (−∞; −13) ∪ (13; +∞).
в) 4x² ≤ 225; x² ≤ 56,25; корни ±7,5. Значения ≤ 0 между корнями: x ∈ [−7,5; 7,5].
г) y² − 10y − 24 < 0. Корни: D = 100 + 96 = 196, y = (10 ± 14)/2, y = 12 и y = −2. Значения < 0 между корнями: y ∈ (−2; 12).
д) 15y² − 22y + 23 > 0. Дискриминант D = 484 − 4·15·23 = 484 − 1380 = −896 < 0, ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен положителен при любом y: y — любое число.
е) 3y² − 26y − 77 ≤ 0. D = 676 + 924 = 1600, y = (26 ± 40)/6, y = 11 и y = −7/3. Значения ≤ 0 между корнями: y ∈ [−7/3; 11].
Ответ: а) [−0,24; 0]; б) (−∞; −13) ∪ (13; +∞); в) [−7,5; 7,5]; г) (−2; 12); д) любое число; е) [−7/3; 11].
а) x(25x + 6) ≤ 0. Корни: x = 0 и x = −6/25 = −0,24. Трёхчлен принимает значения ≤ 0 между корнями: x ∈ [−0,24; 0].
б) x² > 169; (x − 13)(x + 13) > 0. Корни ±13. Значения > 0 вне корней: x ∈ (−∞; −13) ∪ (13; +∞).
в) 4x² ≤ 225; x² ≤ 56,25; корни ±7,5. Значения ≤ 0 между корнями: x ∈ [−7,5; 7,5].
г) y² − 10y − 24 < 0. Корни: D = 100 + 96 = 196, y = (10 ± 14)/2, y = 12 и y = −2. Значения < 0 между корнями: y ∈ (−2; 12).
д) 15y² − 22y + 23 > 0. Дискриминант D = 484 − 4·15·23 = 484 − 1380 = −896 < 0, ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен положителен при любом y: y — любое число.
е) 3y² − 26y − 77 ≤ 0. D = 676 + 924 = 1600, y = (26 ± 40)/6, y = 11 и y = −7/3. Значения ≤ 0 между корнями: y ∈ [−7/3; 11].
Ответ: а) [−0,24; 0]; б) (−∞; −13) ∪ (13; +∞); в) [−7,5; 7,5]; г) (−2; 12); д) любое число; е) [−7/3; 11].
382. Решите систему уравнений способом подстановки: а) {11x − 9y = 37, x = 1 + 2y; б) {16x − 4y = 5, 3x − y = 2.
а) Подставим x = 1 + 2y в первое уравнение: 11(1 + 2y) − 9y = 37; 11 + 22y − 9y = 37; 13y = 26; y = 2. Тогда x = 1 + 2·2 = 5.
б) Из второго уравнения y = 3x − 2. Подставим в первое: 16x − 4(3x − 2) = 5; 16x − 12x + 8 = 5; 4x = −3; x = −0,75. Тогда y = 3·(−0,75) − 2 = −2,25 − 2 = −4,25.
Ответ: а) (5; 2); б) (−0,75; −4,25).
б) Из второго уравнения y = 3x − 2. Подставим в первое: 16x − 4(3x − 2) = 5; 16x − 12x + 8 = 5; 4x = −3; x = −0,75. Тогда y = 3·(−0,75) − 2 = −2,25 − 2 = −4,25.
Ответ: а) (5; 2); б) (−0,75; −4,25).
383. Решите систему уравнений способом сложения: а) {5x + 2y = 30, 3x + 4y = −3; б) {2x − y = 85, 5x − 2y = 200.
а) Умножим первое уравнение на 2: 10x + 4y = 60. Вычтем из него второе: (10x + 4y) − (3x + 4y) = 60 − (−3); 7x = 63; x = 9. Из первого уравнения 2y = 30 − 45 = −15; y = −7,5.
б) Умножим первое уравнение на 2: 4x − 2y = 170. Вычтем это уравнение из второго: (5x − 2y) − (4x − 2y) = 200 − 170; x = 30. Из первого уравнения y = 2x − 85 = 60 − 85 = −25.
Ответ: а) (9; −7,5); б) (30; −25).
б) Умножим первое уравнение на 2: 4x − 2y = 170. Вычтем это уравнение из второго: (5x − 2y) − (4x − 2y) = 200 − 170; x = 30. Из первого уравнения y = 2x − 85 = 60 − 85 = −25.
Ответ: а) (9; −7,5); б) (30; −25).