Глава IV. § 7. п. 20 Решение систем уравнений с двумя переменными — с. 121
384. Решите систему уравнений: а) {x² + y² = 9, x − y = 3; б) {x − y = 4, xy = 12; в) {2x − y = −1, x + y² = 10.
Во всех системах есть линейное уравнение, поэтому применяем способ подстановки.
а) x = y + 3. Тогда (y + 3)² + y² = 9; y² + 6y + 9 + y² = 9; 2y² + 6y = 0; 2y(y + 3) = 0; y = 0 или y = −3. Находим x: y = 0 ⇒ x = 3; y = −3 ⇒ x = 0.
б) x = y + 4. Тогда (y + 4)y = 12; y² + 4y − 12 = 0; по теореме Виета y = 2 или y = −6. Находим x: y = 2 ⇒ x = 6; y = −6 ⇒ x = −2.
в) y = 2x + 1. Тогда x + (2x + 1)² = 10; x + 4x² + 4x + 1 = 10; 4x² + 5x − 9 = 0; D = 25 + 144 = 169; x = (−5 ± 13)/8; x = 1 или x = −9/4. Находим y: x = 1 ⇒ y = 3; x = −9/4 ⇒ y = −9/2 + 1 = −7/2.
Ответ: а) (3; 0), (0; −3); б) (6; 2), (−2; −6); в) (1; 3), (−2,25; −3,5).
а) x = y + 3. Тогда (y + 3)² + y² = 9; y² + 6y + 9 + y² = 9; 2y² + 6y = 0; 2y(y + 3) = 0; y = 0 или y = −3. Находим x: y = 0 ⇒ x = 3; y = −3 ⇒ x = 0.
б) x = y + 4. Тогда (y + 4)y = 12; y² + 4y − 12 = 0; по теореме Виета y = 2 или y = −6. Находим x: y = 2 ⇒ x = 6; y = −6 ⇒ x = −2.
в) y = 2x + 1. Тогда x + (2x + 1)² = 10; x + 4x² + 4x + 1 = 10; 4x² + 5x − 9 = 0; D = 25 + 144 = 169; x = (−5 ± 13)/8; x = 1 или x = −9/4. Находим y: x = 1 ⇒ y = 3; x = −9/4 ⇒ y = −9/2 + 1 = −7/2.
Ответ: а) (3; 0), (0; −3); б) (6; 2), (−2; −6); в) (1; 3), (−2,25; −3,5).
385. Решите систему уравнений графически и аналитически: а) {x² + y² = 16, x − y = 4; б) {y = x² + 1, x + 2y = 5.
а) Графически: первое уравнение — окружность с центром в начале координат и радиусом 4; второе — прямая y = x − 4 через точки (0; −4) и (4; 0). Прямая пересекает окружность в точках (4; 0) и (0; −4) (рисунок).
Аналитически: x = y + 4; (y + 4)² + y² = 16; 2y² + 8y = 0; 2y(y + 4) = 0; y = 0 или y = −4; x = 4 или x = 0.
б) Графически: парабола y = x² + 1 с вершиной (0; 1) и прямая y = (5 − x)/2 через точки (5; 0) и (1; 2). Точки пересечения: (1; 2) и (−1,5; 3,25) (рисунок).
Аналитически: x = 5 − 2y и y = x² + 1. Подставим y = x² + 1 во второе уравнение: x + 2(x² + 1) = 5; 2x² + x − 3 = 0; D = 1 + 24 = 25; x = (−1 ± 5)/4; x = 1 или x = −1,5. Тогда y = 2 или y = 2,25 + 1 = 3,25.
Ответ: а) (4; 0), (0; −4); б) (1; 2), (−1,5; 3,25).
Аналитически: x = y + 4; (y + 4)² + y² = 16; 2y² + 8y = 0; 2y(y + 4) = 0; y = 0 или y = −4; x = 4 или x = 0.
б) Графически: парабола y = x² + 1 с вершиной (0; 1) и прямая y = (5 − x)/2 через точки (5; 0) и (1; 2). Точки пересечения: (1; 2) и (−1,5; 3,25) (рисунок).
Аналитически: x = 5 − 2y и y = x² + 1. Подставим y = x² + 1 во второе уравнение: x + 2(x² + 1) = 5; 2x² + x − 3 = 0; D = 1 + 24 = 25; x = (−1 ± 5)/4; x = 1 или x = −1,5. Тогда y = 2 или y = 2,25 + 1 = 3,25.
Ответ: а) (4; 0), (0; −4); б) (1; 2), (−1,5; 3,25).
386. Решите систему уравнений: а) {(x − 2)(y + 3) = 160, y − x = 1; б) {(x − 1)(y + 10) = 9, x − y = 11.
а) y = x + 1. Тогда (x − 2)(x + 4) = 160; x² + 2x − 8 − 160 = 0; x² + 2x − 168 = 0; D = 4 + 672 = 676 = 26²; x = (−2 ± 26)/2; x = 12 или x = −14. Находим y: x = 12 ⇒ y = 13; x = −14 ⇒ y = −13.
б) x = y + 11. Тогда (y + 10)(y + 10) = 9; (y + 10)² = 9; y + 10 = 3 или y + 10 = −3; y = −7 или y = −13. Находим x: y = −7 ⇒ x = 4; y = −13 ⇒ x = −2.
Ответ: а) (12; 13), (−14; −13); б) (4; −7), (−2; −13).
б) x = y + 11. Тогда (y + 10)(y + 10) = 9; (y + 10)² = 9; y + 10 = 3 или y + 10 = −3; y = −7 или y = −13. Находим x: y = −7 ⇒ x = 4; y = −13 ⇒ x = −2.
Ответ: а) (12; 13), (−14; −13); б) (4; −7), (−2; −13).
387. Решите систему уравнений: а) {6(y − x) − 50 = y, y − xy = 24; б) {p + 5t = 2(p + t), pt − t = 10.
а) Из первого уравнения 6y − 6x − 50 = y; 5y = 6x + 50; x = (5y − 50)/6. Подставим во второе: y − y·(5y − 50)/6 = 24. Умножим на 6: 6y − 5y² + 50y = 144; 5y² − 56y + 144 = 0; D = 3136 − 2880 = 256; y = (56 ± 16)/10; y = 7,2 или y = 4. Находим x: y = 4 ⇒ x = (20 − 50)/6 = −5; y = 7,2 ⇒ x = (36 − 50)/6 = −7/3.
б) Из первого уравнения p + 5t = 2p + 2t; 3t = p. Подставим во второе: 3t·t − t = 10; 3t² − t − 10 = 0; D = 1 + 120 = 121; t = (1 ± 11)/6; t = 2 или t = −5/3. Находим p = 3t: t = 2 ⇒ p = 6; t = −5/3 ⇒ p = −5.
Ответ: а) (−5; 4), (−7/3; 7,2); б) p = 6, t = 2 и p = −5, t = −5/3.
б) Из первого уравнения p + 5t = 2p + 2t; 3t = p. Подставим во второе: 3t·t − t = 10; 3t² − t − 10 = 0; D = 1 + 120 = 121; t = (1 ± 11)/6; t = 2 или t = −5/3. Находим p = 3t: t = 2 ⇒ p = 6; t = −5/3 ⇒ p = −5.
Ответ: а) (−5; 4), (−7/3; 7,2); б) p = 6, t = 2 и p = −5, t = −5/3.
388. Решите систему уравнений: а) {x² − 4 = 0, xy = 6; б) {x² − 5x + 6 = 0, y² − 6y + 5 = 0.
а) Из первого уравнения x² = 4, x = 2 или x = −2. Из второго y = 6/x: при x = 2 получаем y = 3; при x = −2 получаем y = −3.
б) Первое уравнение содержит только x: x² − 5x + 6 = 0, по теореме Виета x = 2 или x = 3. Второе уравнение содержит только y: y² − 6y + 5 = 0, y = 1 или y = 5. Любое значение x сочетается с любым значением y, поэтому решений четыре.
Ответ: а) (2; 3), (−2; −3); б) (2; 1), (2; 5), (3; 1), (3; 5).
б) Первое уравнение содержит только x: x² − 5x + 6 = 0, по теореме Виета x = 2 или x = 3. Второе уравнение содержит только y: y² − 6y + 5 = 0, y = 1 или y = 5. Любое значение x сочетается с любым значением y, поэтому решений четыре.
Ответ: а) (2; 3), (−2; −3); б) (2; 1), (2; 5), (3; 1), (3; 5).
389. Решите систему уравнений: а) {y² + 2x − 4y = 0, 2y − x = 2; б) {x² + xy + y² = 7, y + 2x = 1.
а) Из второго уравнения x = 2y − 2. Подставим в первое: y² + 2(2y − 2) − 4y = 0; y² + 4y − 4 − 4y = 0; y² = 4; y = 2 или y = −2. Тогда x = 2 или x = −6.
Проверка: (2; 2): 4 + 4 − 8 = 0, 4 − 2 = 2; (−6; −2): 4 − 12 + 8 = 0, −4 + 6 = 2.
б) Из второго уравнения y = 1 − 2x. Подставим в первое: x² + x(1 − 2x) + (1 − 2x)² = 7; x² + x − 2x² + 1 − 4x + 4x² = 7; 3x² − 3x − 6 = 0; x² − x − 2 = 0; x = 2 или x = −1. Тогда y = −3 или y = 3.
Проверка: (2; −3): 4 − 6 + 9 = 7; (−1; 3): 1 − 3 + 9 = 7.
Ответ: а) (2; 2), (−6; −2); б) (2; −3), (−1; 3).
Проверка: (2; 2): 4 + 4 − 8 = 0, 4 − 2 = 2; (−6; −2): 4 − 12 + 8 = 0, −4 + 6 = 2.
б) Из второго уравнения y = 1 − 2x. Подставим в первое: x² + x(1 − 2x) + (1 − 2x)² = 7; x² + x − 2x² + 1 − 4x + 4x² = 7; 3x² − 3x − 6 = 0; x² − x − 2 = 0; x = 2 или x = −1. Тогда y = −3 или y = 3.
Проверка: (2; −3): 4 − 6 + 9 = 7; (−1; 3): 1 − 3 + 9 = 7.
Ответ: а) (2; 2), (−6; −2); б) (2; −3), (−1; 3).
390. Решите систему уравнений: а) {x² + xy − y² = 11, x − 2y = 1; б) {x² + xy − 3y = 9, 3x + 2y = −1.
а) Из второго уравнения x = 1 + 2y. Подставим в первое: (1 + 2y)² + (1 + 2y)y − y² = 11; 1 + 4y + 4y² + y + 2y² − y² = 11; 5y² + 5y − 10 = 0; y² + y − 2 = 0; y = 1 или y = −2. Тогда x = 3 или x = −3.
б) Из второго уравнения y = (−1 − 3x)/2. Подставим в первое: x² + x(−1 − 3x)/2 − 3(−1 − 3x)/2 = 9. Умножим на 2: 2x² − x − 3x² + 3 + 9x = 18; −x² + 8x − 15 = 0; x² − 8x + 15 = 0; x = 3 или x = 5. Тогда y = (−1 − 9)/2 = −5 или y = (−1 − 15)/2 = −8.
Ответ: а) (3; 1), (−3; −2); б) (3; −5), (5; −8).
б) Из второго уравнения y = (−1 − 3x)/2. Подставим в первое: x² + x(−1 − 3x)/2 − 3(−1 − 3x)/2 = 9. Умножим на 2: 2x² − x − 3x² + 3 + 9x = 18; −x² + 8x − 15 = 0; x² − 8x + 15 = 0; x = 3 или x = 5. Тогда y = (−1 − 9)/2 = −5 или y = (−1 − 15)/2 = −8.
Ответ: а) (3; 1), (−3; −2); б) (3; −5), (5; −8).
391. Решите способом подстановки систему уравнений: а) {x² + y² = 12, xy = −6; б) {2x² − y² = 34, xy = 20.
а) Из второго уравнения y = −6/x. Подставим в первое: x² + 36/x² = 12. Умножим на x² (x ≠ 0): x⁴ − 12x² + 36 = 0; (x² − 6)² = 0; x² = 6; x = √6 или x = −√6. Тогда y = −6/√6 = −√6 или y = √6.
б) Из второго уравнения y = 20/x. Подставим в первое: 2x² − 400/x² = 34. Умножим на x²: 2x⁴ − 34x² − 400 = 0; x⁴ − 17x² − 200 = 0. Пусть t = x², t² − 17t − 200 = 0; D = 289 + 800 = 1089 = 33²; t = (17 ± 33)/2; t = 25 или t = −8 (не подходит, так как x² ≥ 0). Значит, x² = 25, x = 5 или x = −5; y = 4 или y = −4.
Ответ: а) (√6; −√6), (−√6; √6); б) (5; 4), (−5; −4).
б) Из второго уравнения y = 20/x. Подставим в первое: 2x² − 400/x² = 34. Умножим на x²: 2x⁴ − 34x² − 400 = 0; x⁴ − 17x² − 200 = 0. Пусть t = x², t² − 17t − 200 = 0; D = 289 + 800 = 1089 = 33²; t = (17 ± 33)/2; t = 25 или t = −8 (не подходит, так как x² ≥ 0). Значит, x² = 25, x = 5 или x = −5; y = 4 или y = −4.
Ответ: а) (√6; −√6), (−√6; √6); б) (5; 4), (−5; −4).
392. Решите систему уравнений, используя способ сложения: а) {x² − 2y² = 14, x² + 2y² = 18; б) {x² + y² = 61, x² − y² = 11; в) {xy + x = 56, xy + y = 54.
а) Сложим уравнения: 2x² = 32; x² = 16; x = ±4. Вычтем из второго первое: 4y² = 4; y² = 1; y = ±1. Подходят все сочетания знаков.
б) Сложим: 2x² = 72; x² = 36; x = ±6. Вычтем из первого второе: 2y² = 50; y² = 25; y = ±5. Подходят все сочетания знаков.
в) Вычтем из первого уравнения второе: x − y = 2, x = y + 2. Подставим в первое уравнение: (y + 2)y + y + 2 = 56; y² + 3y − 54 = 0; D = 9 + 216 = 225; y = (−3 ± 15)/2; y = 6 или y = −9. Тогда x = 8 или x = −7.
Ответ: а) (4; 1), (4; −1), (−4; 1), (−4; −1); б) (6; 5), (6; −5), (−6; 5), (−6; −5); в) (8; 6), (−7; −9).
б) Сложим: 2x² = 72; x² = 36; x = ±6. Вычтем из первого второе: 2y² = 50; y² = 25; y = ±5. Подходят все сочетания знаков.
в) Вычтем из первого уравнения второе: x − y = 2, x = y + 2. Подставим в первое уравнение: (y + 2)y + y + 2 = 56; y² + 3y − 54 = 0; D = 9 + 216 = 225; y = (−3 ± 15)/2; y = 6 или y = −9. Тогда x = 8 или x = −7.
Ответ: а) (4; 1), (4; −1), (−4; 1), (−4; −1); б) (6; 5), (6; −5), (−6; 5), (−6; −5); в) (8; 6), (−7; −9).
393. Решите систему уравнений {x² + y² = 10, xy = 3.
Прибавим к первому уравнению удвоенное второе и вычтем его:
x² + y² + 2xy = 10 + 6, то есть (x + y)² = 16;
x² + y² − 2xy = 10 − 6, то есть (x − y)² = 4.
Отсюда x + y = 4 или x + y = −4; x − y = 2 или x − y = −2. Получаем четыре системы линейных уравнений:
x + y = 4, x − y = 2: x = 3, y = 1.
x + y = 4, x − y = −2: x = 1, y = 3.
x + y = −4, x − y = 2: x = −1, y = −3.
x + y = −4, x − y = −2: x = −3, y = −1.
Проверка: например, (3; 1): 9 + 1 = 10, 3·1 = 3.
Ответ: (3; 1), (1; 3), (−1; −3), (−3; −1).
x² + y² + 2xy = 10 + 6, то есть (x + y)² = 16;
x² + y² − 2xy = 10 − 6, то есть (x − y)² = 4.
Отсюда x + y = 4 или x + y = −4; x − y = 2 или x − y = −2. Получаем четыре системы линейных уравнений:
x + y = 4, x − y = 2: x = 3, y = 1.
x + y = 4, x − y = −2: x = 1, y = 3.
x + y = −4, x − y = 2: x = −1, y = −3.
x + y = −4, x − y = −2: x = −3, y = −1.
Проверка: например, (3; 1): 9 + 1 = 10, 3·1 = 3.
Ответ: (3; 1), (1; 3), (−1; −3), (−3; −1).