Глава IV. § 7. п. 20 Решение систем уравнений с двумя переменными — с. 123
401. Решите графически систему уравнений: а) {(x − 4)² + (y − 5)² = 9, y = x; б) {y − x² = 0, x + y = 6.
а) Первое уравнение — окружность с центром (4; 5) и радиусом 3, второе — прямая y = x (биссектриса I и III координатных углов). Строим обе линии (рисунок): они пересекаются в двух точках, по рисунку (2,4; 2,4) и (6,6; 6,6). Проверка: подставим y = x: (x − 4)² + (x − 5)² = 9; 2x² − 18x + 32 = 0; x² − 9x + 16 = 0; x = (9 ± √17)/2 ≈ 6,56 или 2,44, что подтверждает рисунок.
б) Первое уравнение — парабола y = x² (точки (0; 0), (±1; 1), (±2; 4), (−3; 9)), второе — прямая y = 6 − x через (0; 6) и (6; 0). Они пересекаются в точках (2; 4) и (−3; 9). Проверка: x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3; y = 4 или y = 9.
Ответ: а) примерно (2,4; 2,4), (6,6; 6,6) (точно ((9 ± √17)/2; (9 ± √17)/2)); б) (2; 4), (−3; 9).
б) Первое уравнение — парабола y = x² (точки (0; 0), (±1; 1), (±2; 4), (−3; 9)), второе — прямая y = 6 − x через (0; 6) и (6; 0). Они пересекаются в точках (2; 4) и (−3; 9). Проверка: x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3; y = 4 или y = 9.
Ответ: а) примерно (2,4; 2,4), (6,6; 6,6) (точно ((9 ± √17)/2; (9 ± √17)/2)); б) (2; 4), (−3; 9).
402. Пересекаются ли графики уравнений x − y = −7 и x² + y² = 36?
Найдите ответ графическим способом, а затем аналитическим.
Графически. Второе уравнение — окружность с центром в начале координат и радиусом 6. Первое — прямая y = x + 7 через точки (−7; 0) и (0; 7). По рисунку прямая пересекает окружность в двух точках: примерно (−1,1; 5,9) и (−5,9; 1,1).
Аналитически. Подставим y = x + 7 в уравнение окружности: x² + (x + 7)² = 36; 2x² + 14x + 13 = 0. D = 196 − 104 = 92 > 0, поэтому уравнение имеет два корня x = (−7 ± √23)/2, то есть пересечений две. (Другой способ: расстояние от начала координат до прямой x − y + 7 = 0 равно 7/√2 ≈ 4,95 < 6.)
Ответ: да, пересекаются в двух точках.
Аналитически. Подставим y = x + 7 в уравнение окружности: x² + (x + 7)² = 36; 2x² + 14x + 13 = 0. D = 196 − 104 = 92 > 0, поэтому уравнение имеет два корня x = (−7 ± √23)/2, то есть пересечений две. (Другой способ: расстояние от начала координат до прямой x − y + 7 = 0 равно 7/√2 ≈ 4,95 < 6.)
Ответ: да, пересекаются в двух точках.
403. Сколько общих точек имеют окружность и прямая, заданные соответственно уравнениями: а) (x − 6)² + (y + 4)² = 4 и y = −2; б) (x − 3)² + (y − 2)² = 9 и x = 7?
Сравниваем расстояние от центра окружности до прямой с радиусом.
а) Центр (6; −4), радиус 2. Прямая y = −2 горизонтальна, расстояние от центра до неё |−2 − (−4)| = 2, равно радиусу, значит, прямая касается окружности: одна общая точка (6; −2). Проверка: при y = −2 получаем (x − 6)² + 4 = 4, x = 6.
б) Центр (3; 2), радиус 3. Прямая x = 7 вертикальна, расстояние от центра до неё |7 − 3| = 4 > 3. Общих точек нет. Проверка: при x = 7 получаем 16 + (y − 2)² = 9, (y − 2)² = −7 — решений нет.
Ответ: а) одну; б) ни одной.
а) Центр (6; −4), радиус 2. Прямая y = −2 горизонтальна, расстояние от центра до неё |−2 − (−4)| = 2, равно радиусу, значит, прямая касается окружности: одна общая точка (6; −2). Проверка: при y = −2 получаем (x − 6)² + 4 = 4, x = 6.
б) Центр (3; 2), радиус 3. Прямая x = 7 вертикальна, расстояние от центра до неё |7 − 3| = 4 > 3. Общих точек нет. Проверка: при x = 7 получаем 16 + (y − 2)² = 9, (y − 2)² = −7 — решений нет.
Ответ: а) одну; б) ни одной.
404. Пересекаются ли окружность x² + y² = 9 и гипербола xy = −3?
Если пересекаются, то сколько общих точек они имеют?
Найдём решения системы {x² + y² = 9, xy = −3}. Из второго уравнения y = −3/x. Тогда x² + 9/x² = 9; x⁴ − 9x² + 9 = 0. Пусть t = x², t² − 9t + 9 = 0; D = 81 − 36 = 45, t = (9 ± 3√5)/2, то есть t ≈ 7,85 и t ≈ 1,15. Оба значения положительны, поэтому каждому соответствуют два значения x = ±√t, а для каждого x значение y = −3/x единственно. Получаем 4 решения: две точки во II четверти и две в IV (две точки на каждой ветви гиперболы).
Геометрически: вершины гиперболы xy = −3 удалены от начала координат на √6 ≈ 2,45 < 3, то есть лежат внутри круга, а ветви уходят в бесконечность, поэтому каждая ветвь пересекает окружность дважды.
Ответ: пересекаются, четыре общие точки.
Геометрически: вершины гиперболы xy = −3 удалены от начала координат на √6 ≈ 2,45 < 3, то есть лежат внутри круга, а ветви уходят в бесконечность, поэтому каждая ветвь пересекает окружность дважды.
Ответ: пересекаются, четыре общие точки.
405. Сколько общих точек имеют окружность и прямая: а) {x² + y² = 9, y = 2x + 3; б) {x² + y² = 7, y − 4x = 2; в) {x² + y² = 5, y + 4x = −5?
Подставляем y из линейного уравнения в уравнение окружности и считаем корни квадратного уравнения.
а) x² + (2x + 3)² = 9; 5x² + 12x = 0; x(5x + 12) = 0; x = 0 или x = −2,4. Два корня — две общие точки: (0; 3) и (−2,4; −1,8).
б) y = 4x + 2: x² + (4x + 2)² = 7; 17x² + 16x − 3 = 0; D = 256 + 204 = 460 > 0. Два корня — две общие точки.
в) y = −4x − 5: x² + (4x + 5)² = 5; 17x² + 40x + 20 = 0; D = 1600 − 1360 = 240 > 0. Два корня — две общие точки.
Ответ: а), б), в) — по две общие точки.
а) x² + (2x + 3)² = 9; 5x² + 12x = 0; x(5x + 12) = 0; x = 0 или x = −2,4. Два корня — две общие точки: (0; 3) и (−2,4; −1,8).
б) y = 4x + 2: x² + (4x + 2)² = 7; 17x² + 16x − 3 = 0; D = 256 + 204 = 460 > 0. Два корня — две общие точки.
в) y = −4x − 5: x² + (4x + 5)² = 5; 17x² + 40x + 20 = 0; D = 1600 − 1360 = 240 > 0. Два корня — две общие точки.
Ответ: а), б), в) — по две общие точки.
406. Укажите три значения c, при которых прямая y = c и окружность x² + y² = 9: а) пересекаются; б) не имеют общих точек. При каких значениях c прямая касается окружности?
Окружность x² + y² = 9 имеет центр в начале координат и радиус 3. Прямая y = c горизонтальна и отстоит от оси x на |c|. Подставив y = c в уравнение окружности, получаем x² = 9 − c².
а) Пересекаются при 9 − c² > 0, то есть |c| < 3. Например, c = 0, c = 1, c = 2 (при c = 0 точки (±3; 0), при c = 1 точки (±√8; 1), при c = 2 точки (±√5; 2)).
б) Не имеют общих точек при 9 − c² < 0, то есть |c| > 3. Например, c = 4, c = 5, c = 6.
Касание — единственная общая точка: x² = 9 − c² = 0, c² = 9, c = 3 или c = −3 (точки (0; 3) и (0; −3)).
Ответ: а) например 0; 1; 2; б) например 4; 5; 6; прямая касается окружности при c = 3 и c = −3.
а) Пересекаются при 9 − c² > 0, то есть |c| < 3. Например, c = 0, c = 1, c = 2 (при c = 0 точки (±3; 0), при c = 1 точки (±√8; 1), при c = 2 точки (±√5; 2)).
б) Не имеют общих точек при 9 − c² < 0, то есть |c| > 3. Например, c = 4, c = 5, c = 6.
Касание — единственная общая точка: x² = 9 − c² = 0, c² = 9, c = 3 или c = −3 (точки (0; 3) и (0; −3)).
Ответ: а) например 0; 1; 2; б) например 4; 5; 6; прямая касается окружности при c = 3 и c = −3.
407. Составьте уравнение, графиком которого является: а) пара прямых y = 2x и y = −2x; б) парабола y = x² и прямая y = −2.
Объединению графиков двух уравнений f = 0 и g = 0 соответствует уравнение f·g = 0: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель.
а) Запишем прямые как y − 2x = 0 и y + 2x = 0. Уравнение (y − 2x)(y + 2x) = 0, или y² − 4x² = 0.
б) Запишем линии как y − x² = 0 и y + 2 = 0. Уравнение (y − x²)(y + 2) = 0.
Ответ: а) (y − 2x)(y + 2x) = 0, то есть y² = 4x²; б) (y − x²)(y + 2) = 0.
а) Запишем прямые как y − 2x = 0 и y + 2x = 0. Уравнение (y − 2x)(y + 2x) = 0, или y² − 4x² = 0.
б) Запишем линии как y − x² = 0 и y + 2 = 0. Уравнение (y − x²)(y + 2) = 0.
Ответ: а) (y − 2x)(y + 2x) = 0, то есть y² = 4x²; б) (y − x²)(y + 2) = 0.
408. При каком значении b пара чисел (18; 3) является решением системы уравнений {x − 2y = 4b, 2x + y = 39?
Пара (18; 3) — решение системы, если при x = 18, y = 3 верны оба уравнения. Второе: 2·18 + 3 = 39 — верно. Первое: 18 − 2·3 = 4b; 12 = 4b; b = 3.
Ответ: при b = 3.
Ответ: при b = 3.
409. При каких значениях a решением системы уравнений {x + y = a + 1, 3x − y = a − 1 является пара положительных чисел?
Сложим уравнения: 4x = 2a; x = a/2. Тогда y = a + 1 − x = a + 1 − a/2 = a/2 + 1.
Оба числа положительны: x > 0 ⇒ a > 0; y > 0 ⇒ a/2 + 1 > 0 ⇒ a > −2. Оба условия выполнены при a > 0.
Ответ: при a > 0.
Оба числа положительны: x > 0 ⇒ a > 0; y > 0 ⇒ a/2 + 1 > 0 ⇒ a > −2. Оба условия выполнены при a > 0.
Ответ: при a > 0.
410. Докажите, что при a > −1 выражение ((a + 1)/(a − 1) − (a − 1)/(a + 1)) : 4a/(5a − 5) принимает положительные значения при всех допустимых значениях a.
Преобразуем выражение. Разность в скобках: ((a + 1)² − (a − 1)²)/((a − 1)(a + 1)) = (a² + 2a + 1 − a² + 2a − 1)/((a − 1)(a + 1)) = 4a/((a − 1)(a + 1)).
Деление заменяем умножением на обратную дробь, учитывая 5a − 5 = 5(a − 1):
4a/((a − 1)(a + 1)) · 5(a − 1)/(4a) = 5/(a + 1).
Допустимые значения: a ≠ 1, a ≠ −1, a ≠ 0. При a > −1 имеем a + 1 > 0, значит, 5/(a + 1) > 0 при всех допустимых a. Что и требовалось доказать.
Деление заменяем умножением на обратную дробь, учитывая 5a − 5 = 5(a − 1):
4a/((a − 1)(a + 1)) · 5(a − 1)/(4a) = 5/(a + 1).
Допустимые значения: a ≠ 1, a ≠ −1, a ≠ 0. При a > −1 имеем a + 1 > 0, значит, 5/(a + 1) > 0 при всех допустимых a. Что и требовалось доказать.
411. Из деревни в город, находящийся на расстоянии 72 км, отправился велосипедист. Спустя 15 мин навстречу ему из города выехал другой велосипедист, проезжающий в час на 2 км больше первого. Найдите, с какой скоростью ехал каждый из них, если известно, что они встретились в середине пути.
Пусть скорость первого велосипедиста x км/ч, тогда скорость второго x + 2 км/ч. Встреча в середине пути: каждый проехал 72 : 2 = 36 км.
Первый был в пути 36/x ч, второй — 36/(x + 2) ч. Второй выехал на 15 мин = 1/4 ч позже, поэтому первый ехал на 1/4 ч дольше:
36/x − 36/(x + 2) = 1/4.
Умножим на 4x(x + 2): 144(x + 2) − 144x = x(x + 2); 288 = x² + 2x; x² + 2x − 288 = 0. D = 4 + 1152 = 1156 = 34²; x = (−2 ± 34)/2; x = 16 или x = −18 (не подходит). Тогда скорость второго 16 + 2 = 18 км/ч.
Проверка: 36/16 = 2,25 ч, 36/18 = 2 ч; разница 0,25 ч = 15 мин.
Ответ: 16 км/ч и 18 км/ч.
Первый был в пути 36/x ч, второй — 36/(x + 2) ч. Второй выехал на 15 мин = 1/4 ч позже, поэтому первый ехал на 1/4 ч дольше:
36/x − 36/(x + 2) = 1/4.
Умножим на 4x(x + 2): 144(x + 2) − 144x = x(x + 2); 288 = x² + 2x; x² + 2x − 288 = 0. D = 4 + 1152 = 1156 = 34²; x = (−2 ± 34)/2; x = 16 или x = −18 (не подходит). Тогда скорость второго 16 + 2 = 18 км/ч.
Проверка: 36/16 = 2,25 ч, 36/18 = 2 ч; разница 0,25 ч = 15 мин.
Ответ: 16 км/ч и 18 км/ч.