Глава IV. §7. п.21 Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными — с. 125
412. Не решая систему уравнений, выясните, имеет ли система решения и если имеет, то сколько: а) {2x + 3y = 4; 3x + 2y = 2; б) {2x + 3y = 4; 4x + 6y = 2; в) {3x − 6y = 2; −x + 2y = −1; г) {2x = 5; 3x + 2y = 2; д) {3y = 4; 4x + 6y = 1; е) {3x + 5y = −6; 9x + 15y = −18.
Сравниваем отношения коэффициентов a₁/a₂, b₁/b₂ и свободных членов c₁/c₂.
а) 2/3 ≠ 3/2: система имеет единственное решение.
б) 2/4 = 3/6 = 1/2, но c₁/c₂ = 4/2 = 2 ≠ 1/2: решений нет.
в) 3/(−1) = −3 и (−6)/2 = −3, а c₁/c₂ = 2/(−1) = −2 ≠ −3: решений нет.
г) Первое уравнение 2x + 0·y = 5; a₁/a₂ = 2/3, b₁/b₂ = 0/2 = 0, 2/3 ≠ 0: единственное решение.
д) Первое уравнение 0·x + 3y = 4; a₁/a₂ = 0/4 = 0, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2, 0 ≠ 1/2: единственное решение.
е) 3/9 = 5/15 = (−6)/(−18) = 1/3: бесконечно много решений.
Ответ: а) одно решение; б) решений нет; в) решений нет; г) одно решение; д) одно решение; е) бесконечно много решений.
а) 2/3 ≠ 3/2: система имеет единственное решение.
б) 2/4 = 3/6 = 1/2, но c₁/c₂ = 4/2 = 2 ≠ 1/2: решений нет.
в) 3/(−1) = −3 и (−6)/2 = −3, а c₁/c₂ = 2/(−1) = −2 ≠ −3: решений нет.
г) Первое уравнение 2x + 0·y = 5; a₁/a₂ = 2/3, b₁/b₂ = 0/2 = 0, 2/3 ≠ 0: единственное решение.
д) Первое уравнение 0·x + 3y = 4; a₁/a₂ = 0/4 = 0, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2, 0 ≠ 1/2: единственное решение.
е) 3/9 = 5/15 = (−6)/(−18) = 1/3: бесконечно много решений.
Ответ: а) одно решение; б) решений нет; в) решений нет; г) одно решение; д) одно решение; е) бесконечно много решений.
413. Определите число решений системы уравнений: а) {2x + 2y + 7 = 0; 10x − 4y + 14 = 0; б) {x + 3y + 6 = 0; 10x + 30y + 60 = 0; в) {8x − 4y − 15 = 0; 10x − 5y − 28 = 0.
Приведём уравнения к виду ax + by = c и сравним отношения коэффициентов.
а) 2x + 2y = −7; 10x − 4y = −14. a₁/a₂ = 2/10 = 1/5, b₁/b₂ = 2/(−4) = −1/2, 1/5 ≠ −1/2: одно решение.
б) x + 3y = −6; 10x + 30y = −60. 1/10 = 3/30 = (−6)/(−60) = 1/10: бесконечно много решений.
в) 8x − 4y = 15; 10x − 5y = 28. 8/10 = (−4)/(−5) = 4/5, а 15/28 ≠ 4/5: решений нет.
Ответ: а) одно решение; б) бесконечно много решений; в) решений нет.
а) 2x + 2y = −7; 10x − 4y = −14. a₁/a₂ = 2/10 = 1/5, b₁/b₂ = 2/(−4) = −1/2, 1/5 ≠ −1/2: одно решение.
б) x + 3y = −6; 10x + 30y = −60. 1/10 = 3/30 = (−6)/(−60) = 1/10: бесконечно много решений.
в) 8x − 4y = 15; 10x − 5y = 28. 8/10 = (−4)/(−5) = 4/5, а 15/28 ≠ 4/5: решений нет.
Ответ: а) одно решение; б) бесконечно много решений; в) решений нет.