Глава IV. §7. п.21 Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными — с. 126
414. Известно одно уравнение системы двух линейных уравнений с двумя переменными 3x − 2y = 1. Подберите второе уравнение так, чтобы система: а) имела единственное решение; б) не имела решений; в) имела бесчисленное множество решений.
Для уравнения 3x − 2y = 1 коэффициенты a₁ = 3, b₁ = −2, c₁ = 1.
а) Нужно a₁/a₂ ≠ b₁/b₂. Годится, например, x + y = 2: 3/1 = 3, (−2)/1 = −2, 3 ≠ −2.
б) Нужно a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂. Возьмём 6x − 4y = 5: 3/6 = (−2)/(−4) = 1/2, 1/5 ≠ 1/2.
в) Нужно a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂. Возьмём 6x − 4y = 2: 3/6 = (−2)/(−4) = 1/2 = 1/2.
Ответ: например, а) x + y = 2; б) 6x − 4y = 5; в) 6x − 4y = 2.
Оговорка: возможны и другие правильные уравнения.
а) Нужно a₁/a₂ ≠ b₁/b₂. Годится, например, x + y = 2: 3/1 = 3, (−2)/1 = −2, 3 ≠ −2.
б) Нужно a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂. Возьмём 6x − 4y = 5: 3/6 = (−2)/(−4) = 1/2, 1/5 ≠ 1/2.
в) Нужно a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂. Возьмём 6x − 4y = 2: 3/6 = (−2)/(−4) = 1/2 = 1/2.
Ответ: например, а) x + y = 2; б) 6x − 4y = 5; в) 6x − 4y = 2.
Оговорка: возможны и другие правильные уравнения.
415. Дана система уравнений {kx + 4y = 6; 5x + 8y = 3. Подберите такое число k, чтобы система имела единственное решение. Существует ли такое значение k, при котором данная система не имеет решения; имеет бесконечное множество решений?
Здесь a₁ = k, b₁ = 4, c₁ = 6, a₂ = 5, b₂ = 8, c₂ = 3. Отношение b₁/b₂ = 4/8 = 1/2.
Единственное решение при k/5 ≠ 1/2, то есть k ≠ 2,5. Например, k = 1.
Решений нет при k/5 = 1/2 ≠ 6/3. При k = 2,5 имеем 2,5/5 = 4/8 = 1/2, а 6/3 = 2 ≠ 1/2: система не имеет решений. Такое значение существует.
Бесконечно много решений при k/5 = 4/8 = 6/3. Но 4/8 = 1/2 ≠ 2 = 6/3, поэтому такого k нет.
Ответ: например, k = 1; решений нет при k = 2,5; значения k, при котором решений бесконечно много, не существует.
Оговорка: в ответах учебника сказано, что значения k, при котором система не имеет решений, нет; проверено дважды: при k = 2,5 умножение первого уравнения на 2 даёт 5x + 8y = 12, что противоречит второму уравнению 5x + 8y = 3, то есть решений нет.
Единственное решение при k/5 ≠ 1/2, то есть k ≠ 2,5. Например, k = 1.
Решений нет при k/5 = 1/2 ≠ 6/3. При k = 2,5 имеем 2,5/5 = 4/8 = 1/2, а 6/3 = 2 ≠ 1/2: система не имеет решений. Такое значение существует.
Бесконечно много решений при k/5 = 4/8 = 6/3. Но 4/8 = 1/2 ≠ 2 = 6/3, поэтому такого k нет.
Ответ: например, k = 1; решений нет при k = 2,5; значения k, при котором решений бесконечно много, не существует.
Оговорка: в ответах учебника сказано, что значения k, при котором система не имеет решений, нет; проверено дважды: при k = 2,5 умножение первого уравнения на 2 даёт 5x + 8y = 12, что противоречит второму уравнению 5x + 8y = 3, то есть решений нет.
416. В системе уравнений {4x − 5y = 8; kx + 15y = m подберите такие значения коэффициентов k и m, чтобы система: а) не имела решений; б) имела бесчисленное множество решений; в) имела единственное решение.
Здесь a₁ = 4, b₁ = −5, c₁ = 8, a₂ = k, b₂ = 15, c₂ = m. Отношение b₁/b₂ = −5/15 = −1/3.
а) Нужно 4/k = −1/3 ≠ 8/m. Из 4/k = −1/3 получаем k = −12. Условие 8/m ≠ −1/3 даёт m ≠ −24. Например, k = −12, m = 0.
б) Нужно 4/k = −1/3 = 8/m. Отсюда k = −12, m = −24.
в) Нужно 4/k ≠ −1/3, то есть k ≠ −12, а m любое. Например, k = 1, m = 0.
Ответ: а) k = −12, m ≠ −24 (например, m = 0); б) k = −12, m = −24; в) k ≠ −12, m любое (например, k = 1, m = 0).
а) Нужно 4/k = −1/3 ≠ 8/m. Из 4/k = −1/3 получаем k = −12. Условие 8/m ≠ −1/3 даёт m ≠ −24. Например, k = −12, m = 0.
б) Нужно 4/k = −1/3 = 8/m. Отсюда k = −12, m = −24.
в) Нужно 4/k ≠ −1/3, то есть k ≠ −12, а m любое. Например, k = 1, m = 0.
Ответ: а) k = −12, m ≠ −24 (например, m = 0); б) k = −12, m = −24; в) k ≠ −12, m любое (например, k = 1, m = 0).
417. Известно, что точка B(2; −1) принадлежит графику функции y = f(x). Найдите k, если: а) f(x) = kx + 1; б) f(x) = 2x + k.
Если точка B(2; −1) принадлежит графику, то f(2) = −1.
а) f(2) = 2k + 1 = −1, 2k = −2, k = −1.
б) f(2) = 2·2 + k = 4 + k = −1, k = −5.
Ответ: а) k = −1; б) k = −5.
а) f(2) = 2k + 1 = −1, 2k = −2, k = −1.
б) f(2) = 2·2 + k = 4 + k = −1, k = −5.
Ответ: а) k = −1; б) k = −5.
418. Найдите координаты точки пересечения графиков функций: а) y = 5x − 7 и y = 3x + 1; б) y = −3x − 2 и y = 8x − 9; в) y = 0,4x − 5 и y = −0,1x − 3; г) y = 23x − 6 и y = −2x + 9; д) y = 98x и y = −102x − 3; е) y = −3 и y = 36x + 1.
В точке пересечения значения y равны; приравняем правые части, найдём x, затем y.
а) 5x − 7 = 3x + 1, 2x = 8, x = 4; y = 3·4 + 1 = 13. Точка (4; 13).
б) −3x − 2 = 8x − 9, 7 = 11x, x = 7/11; y = −3·7/11 − 2 = −21/11 − 22/11 = −43/11. Точка (7/11; −43/11).
в) 0,4x − 5 = −0,1x − 3, 0,5x = 2, x = 4; y = 0,4·4 − 5 = −3,4. Точка (4; −3,4).
г) 23x − 6 = −2x + 9, 25x = 15, x = 0,6; y = 23·0,6 − 6 = 13,8 − 6 = 7,8. Точка (0,6; 7,8).
д) 98x = −102x − 3, 200x = −3, x = −0,015; y = 98·(−0,015) = −1,47. Точка (−0,015; −1,47).
е) −3 = 36x + 1, 36x = −4, x = −1/9; y = −3. Точка (−1/9; −3).
Ответ: а) (4; 13); б) (7/11; −43/11); в) (4; −3,4); г) (0,6; 7,8); д) (−0,015; −1,47); е) (−1/9; −3).
а) 5x − 7 = 3x + 1, 2x = 8, x = 4; y = 3·4 + 1 = 13. Точка (4; 13).
б) −3x − 2 = 8x − 9, 7 = 11x, x = 7/11; y = −3·7/11 − 2 = −21/11 − 22/11 = −43/11. Точка (7/11; −43/11).
в) 0,4x − 5 = −0,1x − 3, 0,5x = 2, x = 4; y = 0,4·4 − 5 = −3,4. Точка (4; −3,4).
г) 23x − 6 = −2x + 9, 25x = 15, x = 0,6; y = 23·0,6 − 6 = 13,8 − 6 = 7,8. Точка (0,6; 7,8).
д) 98x = −102x − 3, 200x = −3, x = −0,015; y = 98·(−0,015) = −1,47. Точка (−0,015; −1,47).
е) −3 = 36x + 1, 36x = −4, x = −1/9; y = −3. Точка (−1/9; −3).
Ответ: а) (4; 13); б) (7/11; −43/11); в) (4; −3,4); г) (0,6; 7,8); д) (−0,015; −1,47); е) (−1/9; −3).
419. В трёх кусках 75 м ткани. В первом куске в 1,5 раза больше ткани, чем во втором и третьем вместе. Сколько ткани в каждом куске, если во втором на 10 м больше, чем в третьем?
Пусть в третьем куске x м ткани, тогда во втором (x + 10) м, а во втором и третьем вместе x + (x + 10) = (2x + 10) м. В первом куске 1,5(2x + 10) м. Всего 75 м:
1,5(2x + 10) + (2x + 10) = 75,
2,5(2x + 10) = 75, 2x + 10 = 30, x = 10.
Третий кусок — 10 м, второй — 20 м, первый — 1,5·30 = 45 м. Проверка: 45 + 20 + 10 = 75.
Ответ: 45 м, 20 м и 10 м.
1,5(2x + 10) + (2x + 10) = 75,
2,5(2x + 10) = 75, 2x + 10 = 30, x = 10.
Третий кусок — 10 м, второй — 20 м, первый — 1,5·30 = 45 м. Проверка: 45 + 20 + 10 = 75.
Ответ: 45 м, 20 м и 10 м.