Глава IV. §7. п.22 Решение задач с помощью систем уравнений второй степени — с. 127
420. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.
Пусть искомые числа x и y. Тогда x + y = 12, xy = 35.
Из первого уравнения y = 12 − x. Подставим во второе: x(12 − x) = 35, x² − 12x + 35 = 0. По теореме Виета x₁ = 5, x₂ = 7; тогда y₁ = 7, y₂ = 5.
Ответ: 5 и 7.
Из первого уравнения y = 12 − x. Подставим во второе: x(12 − x) = 35, x² − 12x + 35 = 0. По теореме Виета x₁ = 5, x₂ = 7; тогда y₁ = 7, y₂ = 5.
Ответ: 5 и 7.
421. Одно число на 7 больше другого, а их произведение равно −12. Найдите эти числа.
Пусть меньшее число y, тогда большее x = y + 7. Условие: (y + 7)y = −12, y² + 7y + 12 = 0. Корни y₁ = −3, y₂ = −4 (по теореме Виета: сумма −7, произведение 12).
Если y = −3, то x = 4; если y = −4, то x = 3.
Проверка: 4·(−3) = −12; 3·(−4) = −12.
Ответ: 4 и −3 или 3 и −4.
Если y = −3, то x = 4; если y = −4, то x = 3.
Проверка: 4·(−3) = −12; 3·(−4) = −12.
Ответ: 4 и −3 или 3 и −4.
422. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть стороны прямоугольника x см и y см. Периметр 2(x + y) = 28, откуда x + y = 14. По теореме Пифагора x² + y² = 10² = 100.
Система: x + y = 14, x² + y² = 100. Из первого y = 14 − x: x² + (14 − x)² = 100, 2x² − 28x + 196 = 100, x² − 14x + 48 = 0, x₁ = 6, x₂ = 8; тогда y₁ = 8, y₂ = 6.
Ответ: 6 см и 8 см.
Система: x + y = 14, x² + y² = 100. Из первого y = 14 − x: x² + (14 − x)² = 100, 2x² − 28x + 196 = 100, x² − 14x + 48 = 0, x₁ = 6, x₂ = 8; тогда y₁ = 8, y₂ = 6.
Ответ: 6 см и 8 см.
423. Прямоугольный участок земли площадью 2400 м² обнесён изгородью, длина которой равна 200 м. Найдите длину и ширину этого участка.
Длина изгороди — периметр участка. Пусть стороны x м и y м. Тогда xy = 2400 и 2(x + y) = 200, то есть x + y = 100.
y = 100 − x: x(100 − x) = 2400, x² − 100x + 2400 = 0. Дискриминант D = 10000 − 9600 = 400, x = (100 ± 20)/2, x₁ = 60, x₂ = 40; тогда y = 40 или 60.
Ответ: 60 м и 40 м.
y = 100 − x: x(100 − x) = 2400, x² − 100x + 2400 = 0. Дискриминант D = 10000 − 9600 = 400, x = (100 ± 20)/2, x₁ = 60, x₂ = 40; тогда y = 40 или 60.
Ответ: 60 м и 40 м.
424. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.
Пусть катеты x см и y см. Тогда x + y + 37 = 84, x + y = 47, и по теореме Пифагора x² + y² = 37² = 1369.
y = 47 − x: x² + (47 − x)² = 1369, 2x² − 94x + 2209 − 1369 = 0, 2x² − 94x + 840 = 0, x² − 47x + 420 = 0. D = 2209 − 1680 = 529 = 23², x = (47 ± 23)/2, x₁ = 35, x₂ = 12. Катеты 12 см и 35 см.
Площадь S = (12·35)/2 = 210 (см²).
Ответ: 210 см².
y = 47 − x: x² + (47 − x)² = 1369, 2x² − 94x + 2209 − 1369 = 0, 2x² − 94x + 840 = 0, x² − 47x + 420 = 0. D = 2209 − 1680 = 529 = 23², x = (47 ± 23)/2, x₁ = 35, x₂ = 12. Катеты 12 см и 35 см.
Площадь S = (12·35)/2 = 210 (см²).
Ответ: 210 см².
425. Из некоторого пункта вышли одновременно два отряда. Один направился на север, а другой — на восток. Спустя 4 ч расстояние между отрядами было равно 24 км, причём первый отряд прошёл на 4,8 км больше, чем второй. С какой скоростью шёл каждый отряд?
Пусть скорость первого отряда x км/ч, второго y км/ч. За 4 ч они прошли 4x км и 4y км. Направления перпендикулярны, поэтому расстояние между отрядами — гипотенуза: (4x)² + (4y)² = 24², то есть x² + y² = 36. Кроме того, 4x − 4y = 4,8, x − y = 1,2.
x = y + 1,2: (y + 1,2)² + y² = 36, 2y² + 2,4y + 1,44 − 36 = 0, y² + 1,2y − 17,28 = 0. D = 1,44 + 69,12 = 70,56 = 8,4², y = (−1,2 + 8,4)/2 = 3,6 (отрицательный корень не подходит). Тогда x = 4,8.
Проверка: 4,8² + 3,6² = 23,04 + 12,96 = 36.
Ответ: 4,8 км/ч и 3,6 км/ч.
x = y + 1,2: (y + 1,2)² + y² = 36, 2y² + 2,4y + 1,44 − 36 = 0, y² + 1,2y − 17,28 = 0. D = 1,44 + 69,12 = 70,56 = 8,4², y = (−1,2 + 8,4)/2 = 3,6 (отрицательный корень не подходит). Тогда x = 4,8.
Проверка: 4,8² + 3,6² = 23,04 + 12,96 = 36.
Ответ: 4,8 км/ч и 3,6 км/ч.