Глава IV. §7. п.22 Решение задач с помощью систем уравнений второй степени — с. 129
436. Из пунктов A и B, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 ч им осталось пройти до встречи 4 км. Если бы из пункта A пешеход вышел на 1 ч раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шёл каждый пешеход?
Пусть пешеход из A идёт со скоростью x км/ч, из B — y км/ч. За 4 ч вместе они прошли 40 − 4 = 36 км: 4(x + y) = 36, x + y = 9.
Если бы пешеход из A вышел на 1 ч раньше, встреча была бы на середине пути, то есть каждый прошёл бы 20 км. Пешеход из A был бы в пути 20/x ч, из B — 20/y ч, и первый шёл бы на 1 ч дольше: 20/x − 20/y = 1.
Подставим y = 9 − x: 20/x − 20/(9 − x) = 1. Умножим на x(9 − x): 20(9 − x) − 20x = x(9 − x), 180 − 40x = 9x − x², x² − 49x + 180 = 0. D = 2401 − 720 = 1681 = 41², x = (49 − 41)/2 = 4 или x = (49 + 41)/2 = 45. Значение 45 не подходит (x + y = 9, y должен быть положительным). Итак, x = 4, y = 5.
Проверка: 20/4 = 5 ч, 20/5 = 4 ч, разница 1 ч.
Ответ: 4 км/ч и 5 км/ч.
Если бы пешеход из A вышел на 1 ч раньше, встреча была бы на середине пути, то есть каждый прошёл бы 20 км. Пешеход из A был бы в пути 20/x ч, из B — 20/y ч, и первый шёл бы на 1 ч дольше: 20/x − 20/y = 1.
Подставим y = 9 − x: 20/x − 20/(9 − x) = 1. Умножим на x(9 − x): 20(9 − x) − 20x = x(9 − x), 180 − 40x = 9x − x², x² − 49x + 180 = 0. D = 2401 − 720 = 1681 = 41², x = (49 − 41)/2 = 4 или x = (49 + 41)/2 = 45. Значение 45 не подходит (x + y = 9, y должен быть положительным). Итак, x = 4, y = 5.
Проверка: 20/4 = 5 ч, 20/5 = 4 ч, разница 1 ч.
Ответ: 4 км/ч и 5 км/ч.
437. Из пункта M в пункт N, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно два туриста. Один из них прибыл в пункт N на 54 мин позже, чем другой. Найдите скорость каждого туриста, если известно, что скорость одного из них на 1 км/ч меньше, чем скорость другого.
54 мин = 0,9 ч. Пусть скорость быстрого туриста v км/ч, тогда медленного v − 1 км/ч. Времена в пути 18/v ч и 18/(v − 1) ч, разность 0,9 ч:
18/(v − 1) − 18/v = 0,9.
Умножим на v(v − 1): 18v − 18(v − 1) = 0,9v(v − 1), 18 = 0,9(v² − v), v² − v − 20 = 0, v = 5 или v = −4. Отрицательный корень не подходит, v = 5.
Проверка: 18/4 = 4,5 ч, 18/5 = 3,6 ч, разница 0,9 ч = 54 мин.
Ответ: 5 км/ч и 4 км/ч.
18/(v − 1) − 18/v = 0,9.
Умножим на v(v − 1): 18v − 18(v − 1) = 0,9v(v − 1), 18 = 0,9(v² − v), v² − v − 20 = 0, v = 5 или v = −4. Отрицательный корень не подходит, v = 5.
Проверка: 18/4 = 4,5 ч, 18/5 = 3,6 ч, разница 0,9 ч = 54 мин.
Ответ: 5 км/ч и 4 км/ч.
438. Из населённых пунктов M и N, удалённых друг от друга на 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста и встретились через 30 мин. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если известно, что один из них прибыл в пункт M на 25 мин раньше, чем другой в пункт N.
Пусть скорости мотоциклистов a км/ч и b км/ч, a > b. Скорость сближения a + b, за 0,5 ч они проехали 50 км: 0,5(a + b) = 50, a + b = 100.
Время в пути каждого до конечного пункта: 50/a ч и 50/b ч; 25 мин = 5/12 ч:
50/b − 50/a = 5/12.
Приведём к общему знаменателю: 50(a − b)/(ab) = 5/12, ab = 120(a − b). Подставим b = 100 − a: a(100 − a) = 120(2a − 100), 100a − a² = 240a − 12000, a² + 140a − 12000 = 0. D = 19600 + 48000 = 67600 = 260², a = (−140 + 260)/2 = 60 (отрицательный корень не подходит). Тогда b = 40.
Проверка: 50/40 − 50/60 = 1,25 − 5/6 = 5/12.
Ответ: 60 км/ч и 40 км/ч.
Время в пути каждого до конечного пункта: 50/a ч и 50/b ч; 25 мин = 5/12 ч:
50/b − 50/a = 5/12.
Приведём к общему знаменателю: 50(a − b)/(ab) = 5/12, ab = 120(a − b). Подставим b = 100 − a: a(100 − a) = 120(2a − 100), 100a − a² = 240a − 12000, a² + 140a − 12000 = 0. D = 19600 + 48000 = 67600 = 260², a = (−140 + 260)/2 = 60 (отрицательный корень не подходит). Тогда b = 40.
Проверка: 50/40 − 50/60 = 1,25 − 5/6 = 5/12.
Ответ: 60 км/ч и 40 км/ч.
439. После того как смешали 12 г одной жидкости и 14 г другой жидкости большей плотности, получили смесь, плотность которой равна 1,3 г/см³. Какова плотность каждой жидкости, если известно, что плотность одной из них на 0,2 г/см³ больше плотности другой?
Пусть плотность первой жидкости ρ г/см³, тогда второй (большей плотности) ρ + 0,2 г/см³. Объёмы жидкостей 12/ρ и 14/(ρ + 0,2) см³. Масса смеси 26 г, её плотность 1,3 г/см³, значит объём смеси 26/1,3 = 20 см³. Считаем, что объём смеси равен сумме объёмов:
12/ρ + 14/(ρ + 0,2) = 20.
Умножим на ρ(ρ + 0,2): 12(ρ + 0,2) + 14ρ = 20ρ(ρ + 0,2), 26ρ + 2,4 = 20ρ² + 4ρ, 20ρ² − 22ρ − 2,4 = 0, 50ρ² − 55ρ − 6 = 0. D = 3025 + 1200 = 4225 = 65², ρ = (55 + 65)/100 = 1,2 (второй корень отрицателен). Вторая жидкость 1,4.
Проверка: 12/1,2 = 10 см³, 14/1,4 = 10 см³, 26/20 = 1,3.
Ответ: 1,2 г/см³ и 1,4 г/см³.
12/ρ + 14/(ρ + 0,2) = 20.
Умножим на ρ(ρ + 0,2): 12(ρ + 0,2) + 14ρ = 20ρ(ρ + 0,2), 26ρ + 2,4 = 20ρ² + 4ρ, 20ρ² − 22ρ − 2,4 = 0, 50ρ² − 55ρ − 6 = 0. D = 3025 + 1200 = 4225 = 65², ρ = (55 + 65)/100 = 1,2 (второй корень отрицателен). Вторая жидкость 1,4.
Проверка: 12/1,2 = 10 см³, 14/1,4 = 10 см³, 26/20 = 1,3.
Ответ: 1,2 г/см³ и 1,4 г/см³.
440. Из куска олова массой 356 г и куска меди массой 438 г сделали сплав. Известно, что плотность олова на 1,6 г/см³ больше плотности меди. Найдите объём каждого куска металла, если объём куска олова на 20 см³ меньше объёма куска меди.
Пусть объём олова V см³, тогда объём меди V + 20 см³. Плотности: олова 356/V, меди 438/(V + 20) г/см³. Плотность олова больше на 1,6:
356/V − 438/(V + 20) = 1,6.
Умножим на V(V + 20): 356(V + 20) − 438V = 1,6V(V + 20), 7120 − 82V = 1,6V² + 32V, 1,6V² + 114V − 7120 = 0, V² + 71,25V − 4450 = 0. D = 71,25² + 17800 = 5076,5625 + 17800 = 22876,5625 = 151,25², V = (−71,25 + 151,25)/2 = 40 (отрицательный корень не подходит). Объём меди 60 см³.
Проверка: 356/40 = 8,9; 438/60 = 7,3; 8,9 − 7,3 = 1,6.
Ответ: олово — 40 см³, медь — 60 см³.
356/V − 438/(V + 20) = 1,6.
Умножим на V(V + 20): 356(V + 20) − 438V = 1,6V(V + 20), 7120 − 82V = 1,6V² + 32V, 1,6V² + 114V − 7120 = 0, V² + 71,25V − 4450 = 0. D = 71,25² + 17800 = 5076,5625 + 17800 = 22876,5625 = 151,25², V = (−71,25 + 151,25)/2 = 40 (отрицательный корень не подходит). Объём меди 60 см³.
Проверка: 356/40 = 8,9; 438/60 = 7,3; 8,9 − 7,3 = 1,6.
Ответ: олово — 40 см³, медь — 60 см³.
441. К раствору, содержащему 50 г соли, добавили 150 г воды. После этого его концентрация уменьшилась на 7,5%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?
Пусть раствор содержал x г воды; масса раствора (50 + x) г, концентрация 50/(50 + x)·100%. После добавления 150 г воды масса раствора 200 + x, концентрация 50/(200 + x)·100%. Разность концентраций 7,5%:
5000/(50 + x) − 5000/(200 + x) = 7,5.
Приведём к общему знаменателю: 5000·150 = 7,5(50 + x)(200 + x), (50 + x)(200 + x) = 100 000, x² + 250x − 90 000 = 0. D = 62 500 + 360 000 = 422 500 = 650², x = (−250 + 650)/2 = 200 (отрицательный корень не подходит).
Воды было 200 г, концентрация 50/250 = 20%.
Проверка: после добавления 50/400 = 12,5%, 20% − 12,5% = 7,5%.
Ответ: 200 г воды; концентрация 20%.
5000/(50 + x) − 5000/(200 + x) = 7,5.
Приведём к общему знаменателю: 5000·150 = 7,5(50 + x)(200 + x), (50 + x)(200 + x) = 100 000, x² + 250x − 90 000 = 0. D = 62 500 + 360 000 = 422 500 = 650², x = (−250 + 650)/2 = 200 (отрицательный корень не подходит).
Воды было 200 г, концентрация 50/250 = 20%.
Проверка: после добавления 50/400 = 12,5%, 20% − 12,5% = 7,5%.
Ответ: 200 г воды; концентрация 20%.
442. К 70%-му раствору некоторого вещества добавили 30%-й раствор того же вещества. Концентрация нового раствора — 40%. Найдите отношение массы первого раствора к массе второго.
Пусть масса первого раствора m₁, второго m₂. Вещества в смеси 0,7m₁ + 0,3m₂, масса смеси m₁ + m₂, концентрация 40%:
0,7m₁ + 0,3m₂ = 0,4(m₁ + m₂), 0,3m₁ = 0,1m₂, m₂ = 3m₁.
Отношение m₁ : m₂ = 1 : 3.
Проверка: m₁ = 1, m₂ = 3: вещества 0,7 + 0,9 = 1,6 в 4 частях, 1,6/4 = 0,4.
Ответ: 1 : 3.
0,7m₁ + 0,3m₂ = 0,4(m₁ + m₂), 0,3m₁ = 0,1m₂, m₂ = 3m₁.
Отношение m₁ : m₂ = 1 : 3.
Проверка: m₁ = 1, m₂ = 3: вещества 0,7 + 0,9 = 1,6 в 4 частях, 1,6/4 = 0,4.
Ответ: 1 : 3.
443. Приведите пример какого-либо числа, отвечающего указанным характеристикам и покажите положение соответствующей точки на координатной прямой: а) отрицательное, не являющееся рациональным; б) рациональное, заключённое между числами √2 и √3; в) иррациональное отрицательное; г) иррациональное, большее 1/3 и меньшее 1/2.
а) Отрицательное иррациональное число: −√3 ≈ −1,73 (√3 иррационально, значит и −√3 иррационально).
б) Берём √2 ≈ 1,414 и √3 ≈ 1,732. Рациональное число между ними: 1,5 = 3/2, так как 1,414 < 1,5 < 1,732 (1,5² = 2,25, 2 < 2,25 < 3).
в) Иррациональное отрицательное число: −√5 ≈ −2,24.
г) 1/3 ≈ 0,333, 1/2 = 0,5. Число √2/4 ≈ 0,354 иррационально (иначе √2 = 4·(√2/4) было бы рациональным), и 0,333 < 0,354 < 0,5.
На координатной прямой точки отмечены красным.
Ответ: а) −√3; б) 1,5; в) −√5; г) √2/4.
Оговорка: возможны и другие примеры.
б) Берём √2 ≈ 1,414 и √3 ≈ 1,732. Рациональное число между ними: 1,5 = 3/2, так как 1,414 < 1,5 < 1,732 (1,5² = 2,25, 2 < 2,25 < 3).
в) Иррациональное отрицательное число: −√5 ≈ −2,24.
г) 1/3 ≈ 0,333, 1/2 = 0,5. Число √2/4 ≈ 0,354 иррационально (иначе √2 = 4·(√2/4) было бы рациональным), и 0,333 < 0,354 < 0,5.
На координатной прямой точки отмечены красным.
Ответ: а) −√3; б) 1,5; в) −√5; г) √2/4.
Оговорка: возможны и другие примеры.
444. Запишите без знака модуля: а) |2 − √3|; б) |√5 − 3|; в) |√2 − 1,5|; г) |√3 − 1,7|.
Модуль неотрицательного числа равен самому числу, модуль отрицательного — противоположному числу.
а) √3 ≈ 1,73 < 2, значит 2 − √3 > 0 и |2 − √3| = 2 − √3.
б) √5 < 3 (так как 5 < 9), значит √5 − 3 < 0 и |√5 − 3| = 3 − √5.
в) √2 ≈ 1,414 < 1,5 (2 < 2,25), значит |√2 − 1,5| = 1,5 − √2.
г) √3 > 1,7 (3 > 2,89), значит √3 − 1,7 > 0 и |√3 − 1,7| = √3 − 1,7.
Ответ: а) 2 − √3; б) 3 − √5; в) 1,5 − √2; г) √3 − 1,7.
а) √3 ≈ 1,73 < 2, значит 2 − √3 > 0 и |2 − √3| = 2 − √3.
б) √5 < 3 (так как 5 < 9), значит √5 − 3 < 0 и |√5 − 3| = 3 − √5.
в) √2 ≈ 1,414 < 1,5 (2 < 2,25), значит |√2 − 1,5| = 1,5 − √2.
г) √3 > 1,7 (3 > 2,89), значит √3 − 1,7 > 0 и |√3 − 1,7| = √3 − 1,7.
Ответ: а) 2 − √3; б) 3 − √5; в) 1,5 − √2; г) √3 − 1,7.