Глава IV. §8. п.23 Неравенства с двумя переменными — с. 133
447. Является ли пара чисел (−2; 3) решением неравенства: а) 2x − 3y + 16 > 0; б) x² + 3xy − y² < 20; в) (x + 3)² + (y − 4)² < 2; г) (x + y)(y − 8) < 1; д) x² + y² − x − y ≥ 0; е) 3x² − 5y² + x − y < 11?
Подставим x = −2, y = 3 и проверим числовое неравенство.
а) 2·(−2) − 3·3 + 16 = −4 − 9 + 16 = 3 > 0 — верно.
б) (−2)² + 3·(−2)·3 − 3² = 4 − 18 − 9 = −23 < 20 — верно.
в) (−2 + 3)² + (3 − 4)² = 1 + 1 = 2; 2 < 2 — неверно.
г) (−2 + 3)(3 − 8) = 1·(−5) = −5 < 1 — верно.
д) (−2)² + 3² − (−2) − 3 = 4 + 9 + 2 − 3 = 12 ≥ 0 — верно.
е) 3·4 − 5·9 + (−2) − 3 = 12 − 45 − 2 − 3 = −38 < 11 — верно.
Ответ: да в случаях а), б), г), д), е); в) нет.
а) 2·(−2) − 3·3 + 16 = −4 − 9 + 16 = 3 > 0 — верно.
б) (−2)² + 3·(−2)·3 − 3² = 4 − 18 − 9 = −23 < 20 — верно.
в) (−2 + 3)² + (3 − 4)² = 1 + 1 = 2; 2 < 2 — неверно.
г) (−2 + 3)(3 − 8) = 1·(−5) = −5 < 1 — верно.
д) (−2)² + 3² − (−2) − 3 = 4 + 9 + 2 − 3 = 12 ≥ 0 — верно.
е) 3·4 − 5·9 + (−2) − 3 = 12 − 45 − 2 − 3 = −38 < 11 — верно.
Ответ: да в случаях а), б), г), д), е); в) нет.
448. Найдите два каких-нибудь решения неравенства: а) y > 2x − 3; б) y < 3x − 5; в) y ≤ x² − 1; г) x² + y² ≤ 9.
Выбираем значения x и подбираем y так, чтобы неравенство стало верным.
а) x = 0: y > −3, берём y = 0 — пара (0; 0): 0 > −3 верно. x = 1: y > −1, берём y = 5 — пара (1; 5): 5 > −1 верно.
б) x = 2: y < 1, берём y = 0 — пара (2; 0): 0 < 1 верно. x = 3: y < 4, берём y = 0 — пара (3; 0): 0 < 4 верно.
в) x = 0: y ≤ −1, берём y = −1 — пара (0; −1): −1 ≤ −1 верно. x = 2: y ≤ 3, берём y = 0 — пара (2; 0): 0 ≤ 3 верно.
г) (0; 0): 0 ≤ 9 верно. (1; 2): 1 + 4 = 5 ≤ 9 верно.
Ответ: например, а) (0; 0) и (1; 5); б) (2; 0) и (3; 0); в) (0; −1) и (2; 0); г) (0; 0) и (1; 2).
Оговорка: возможны и другие пары.
а) x = 0: y > −3, берём y = 0 — пара (0; 0): 0 > −3 верно. x = 1: y > −1, берём y = 5 — пара (1; 5): 5 > −1 верно.
б) x = 2: y < 1, берём y = 0 — пара (2; 0): 0 < 1 верно. x = 3: y < 4, берём y = 0 — пара (3; 0): 0 < 4 верно.
в) x = 0: y ≤ −1, берём y = −1 — пара (0; −1): −1 ≤ −1 верно. x = 2: y ≤ 3, берём y = 0 — пара (2; 0): 0 ≤ 3 верно.
г) (0; 0): 0 ≤ 9 верно. (1; 2): 1 + 4 = 5 ≤ 9 верно.
Ответ: например, а) (0; 0) и (1; 5); б) (2; 0) и (3; 0); в) (0; −1) и (2; 0); г) (0; 0) и (1; 2).
Оговорка: возможны и другие пары.
449. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством: а) y ≥ x; б) y ≤ x − 1; в) y > 1/4 x − 1; г) y < 1/3 x − 3.
Строим граничную прямую (по двум точкам), затем выбираем полуплоскость по знаку неравенства. Если неравенство нестрогое, прямая входит в множество (сплошная линия), если строгое — не входит (штриховая линия).
а) Прямая y = x проходит через (0; 0) и (2; 2). Знак ≥: берём точки выше прямой и саму прямую. Проверка: (0; 3): 3 ≥ 0 верно.
б) Прямая y = x − 1 проходит через (0; −1) и (1; 0). Знак ≤: точки ниже прямой и сама прямая. Проверка: (0; 0): 0 ≤ −1 неверно, значит начало координат не в множестве, оно выше прямой.
в) Прямая y = x/4 − 1 проходит через (0; −1) и (4; 0). Знак >: открытая полуплоскость выше прямой (прямая штриховая). Проверка: (0; 0): 0 > −1 верно.
г) Прямая y = x/3 − 3 проходит через (0; −3) и (3; −2). Знак <: открытая полуплоскость ниже прямой (прямая штриховая). Проверка: (0; 0): 0 < −3 неверно, начало координат не в множестве.
Ответ: множества — заштрихованные (закрашенные) полуплоскости на рисунке: а) выше прямой y = x с границей; б) ниже прямой y = x − 1 с границей; в) выше y = x/4 − 1 без границы; г) ниже y = x/3 − 3 без границы.
а) Прямая y = x проходит через (0; 0) и (2; 2). Знак ≥: берём точки выше прямой и саму прямую. Проверка: (0; 3): 3 ≥ 0 верно.
б) Прямая y = x − 1 проходит через (0; −1) и (1; 0). Знак ≤: точки ниже прямой и сама прямая. Проверка: (0; 0): 0 ≤ −1 неверно, значит начало координат не в множестве, оно выше прямой.
в) Прямая y = x/4 − 1 проходит через (0; −1) и (4; 0). Знак >: открытая полуплоскость выше прямой (прямая штриховая). Проверка: (0; 0): 0 > −1 верно.
г) Прямая y = x/3 − 3 проходит через (0; −3) и (3; −2). Знак <: открытая полуплоскость ниже прямой (прямая штриховая). Проверка: (0; 0): 0 < −3 неверно, начало координат не в множестве.
Ответ: множества — заштрихованные (закрашенные) полуплоскости на рисунке: а) выше прямой y = x с границей; б) ниже прямой y = x − 1 с границей; в) выше y = x/4 − 1 без границы; г) ниже y = x/3 − 3 без границы.