Глава IV. §7. п.22 Решение задач с помощью систем уравнений второй степени — с. 130
445. В каких координатных четвертях нет ни одной точки графика функции: а) y = −3,5x² − 2,6; б) y = x² − 12x + 34?
а) Так как −3,5x² ≤ 0, то y = −3,5x² − 2,6 ≤ −2,6 < 0 при любом x. Значит, y всегда отрицательно, и точек в четвертях, где y > 0 (I и II), нет. Парабола лежит в III и IV четвертях.
б) Выделим полный квадрат: y = (x − 6)² − 2. При x < 0 имеем x² > 0 и −12x > 0, поэтому y > 34 > 0: слева от оси ординат все точки графика выше оси абсцисс, в III четверти (x < 0, y < 0) точек нет. При x > 0 график имеет точки с y > 0 (например, (1; 23) — в I четверти) и с y < 0 (например, (6; −2) — в IV четверти). Во II четверти (x < 0, y > 0) точки есть, например (−1; 47).
Ответ: а) в I и II четвертях; б) в III четверти.
б) Выделим полный квадрат: y = (x − 6)² − 2. При x < 0 имеем x² > 0 и −12x > 0, поэтому y > 34 > 0: слева от оси ординат все точки графика выше оси абсцисс, в III четверти (x < 0, y < 0) точек нет. При x > 0 график имеет точки с y > 0 (например, (1; 23) — в I четверти) и с y < 0 (например, (6; −2) — в IV четверти). Во II четверти (x < 0, y > 0) точки есть, например (−1; 47).
Ответ: а) в I и II четвертях; б) в III четверти.
446. Решите неравенство: а) x² − 6x < 0; б) 8x + x² ≥ 0; в) x² ≤ 4; г) x² > 6.
а) x(x − 6) < 0. Корни 0 и 6, ветви параболы y = x² − 6x направлены вверх, значения отрицательны между корнями: 0 < x < 6.
б) x² + 8x = x(x + 8) ≥ 0. Корни −8 и 0, ветви вверх, значения неотрицательны вне интервала между корнями: x ≤ −8 или x ≥ 0.
в) x² ≤ 4, (x − 2)(x + 2) ≤ 0: −2 ≤ x ≤ 2.
г) x² > 6, (x − √6)(x + √6) > 0: x < −√6 или x > √6.
Ответ: а) (0; 6); б) (−∞; −8] ∪ [0; +∞); в) [−2; 2]; г) (−∞; −√6) ∪ (√6; +∞).
б) x² + 8x = x(x + 8) ≥ 0. Корни −8 и 0, ветви вверх, значения неотрицательны вне интервала между корнями: x ≤ −8 или x ≥ 0.
в) x² ≤ 4, (x − 2)(x + 2) ≤ 0: −2 ≤ x ≤ 2.
г) x² > 6, (x − √6)(x + √6) > 0: x < −√6 или x > √6.
Ответ: а) (0; 6); б) (−∞; −8] ∪ [0; +∞); в) [−2; 2]; г) (−∞; −√6) ∪ (√6; +∞).
Вопрос 1. Что называется решением уравнения с двумя переменными?
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. Например, пара (2; 1) является решением уравнения x² + y² = 5, так как 2² + 1² = 5.
Вопрос 2. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых (пары значений x и y) являются решениями этого уравнения. Например, графиком уравнения x² + y² = 5 является окружность с центром в начале координат и радиусом √5.
Вопрос 3. Объясните, как решают систему двух уравнений с двумя переменными, в которой одно уравнение второй степени и одно уравнение первой степени. В качестве примера возьмите систему {x² + y² = 5; x − y = 1.
Такую систему решают способом подстановки. Из уравнения первой степени выражают одну переменную через другую, подставляют в уравнение второй степени, получают уравнение с одной переменной, решают его, а затем по найденным значениям находят значения второй переменной.
Пример. Из x − y = 1 получаем x = y + 1. Подставим в первое уравнение: (y + 1)² + y² = 5, 2y² + 2y − 4 = 0, y² + y − 2 = 0, откуда y₁ = 1, y₂ = −2. Тогда x₁ = 1 + 1 = 2, x₂ = −2 + 1 = −1.
Ответ: (2; 1) и (−1; −2).
Пример. Из x − y = 1 получаем x = y + 1. Подставим в первое уравнение: (y + 1)² + y² = 5, 2y² + 2y − 4 = 0, y² + y − 2 = 0, откуда y₁ = 1, y₂ = −2. Тогда x₁ = 1 + 1 = 2, x₂ = −2 + 1 = −1.
Ответ: (2; 1) и (−1; −2).