Глава IV. §8. п.23 Неравенства с двумя переменными — с. 134
450. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством ax + by > c, если: а) a = 0, b = 1, c = 3; б) a = 1, b = 0, c = 3.
а) При a = 0, b = 1, c = 3 неравенство принимает вид 0·x + 1·y > 3, то есть y > 3. Граница — горизонтальная прямая y = 3 (штриховая, так как неравенство строгое). Множество решений — все точки выше этой прямой (открытая полуплоскость).
б) При a = 1, b = 0, c = 3 получаем x > 3. Граница — вертикальная прямая x = 3 (штриховая). Множество решений — все точки правее этой прямой (открытая полуплоскость).
Ответ: а) полуплоскость выше прямой y = 3 без границы; б) полуплоскость правее прямой x = 3 без границы (рисунок).
б) При a = 1, b = 0, c = 3 получаем x > 3. Граница — вертикальная прямая x = 3 (штриховая). Множество решений — все точки правее этой прямой (открытая полуплоскость).
Ответ: а) полуплоскость выше прямой y = 3 без границы; б) полуплоскость правее прямой x = 3 без границы (рисунок).
451. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством: а) x ≥ 3; б) y < −1; в) 1 < x < 4; г) −3 ≤ y ≤ 3.
а) Прямая x = 3 вертикальна. Неравенство нестрогое: множество — прямая x = 3 и вся полуплоскость правее неё.
б) Прямая y = −1 горизонтальна. Неравенство строгое: множество — открытая полуплоскость ниже прямой y = −1 (граница не входит).
в) Двойное неравенство 1 < x < 4 равносильно системе x > 1 и x < 4: вертикальная полоса между прямыми x = 1 и x = 4, без границ.
г) Двойное неравенство −3 ≤ y ≤ 3 равносильно системе y ≥ −3 и y ≤ 3: горизонтальная полоса между прямыми y = −3 и y = 3 вместе с границами.
Ответ: множества показаны заштрихованными областями на рисунке.
б) Прямая y = −1 горизонтальна. Неравенство строгое: множество — открытая полуплоскость ниже прямой y = −1 (граница не входит).
в) Двойное неравенство 1 < x < 4 равносильно системе x > 1 и x < 4: вертикальная полоса между прямыми x = 1 и x = 4, без границ.
г) Двойное неравенство −3 ≤ y ≤ 3 равносильно системе y ≥ −3 и y ≤ 3: горизонтальная полоса между прямыми y = −3 и y = 3 вместе с границами.
Ответ: множества показаны заштрихованными областями на рисунке.
452. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: а) y ≤ x² − 4; б) y ≥ (x − 2)² − 1; в) x² + y² ≤ 25; г) (x − 1)² + (y − 2)² ≤ 4.
а) Строим параболу y = x² − 4: вершина (0; −4), ветви вверх, пересекает ось x в точках (−2; 0) и (2; 0). Неравенство y ≤ x² − 4: решения — точки параболы и точки, лежащие ниже неё (вне «чаши»). Проверка: (0; −5): −5 ≤ −4 верно.
б) Парабола y = (x − 2)² − 1 получается сдвигом y = x² на 2 вправо и на 1 вниз: вершина (2; −1), пересекает ось x в точках (1; 0) и (3; 0), ось y в точке (0; 3). Решения: точки параболы и точки выше неё (внутри «чаши»). Проверка: (2; 0): 0 ≥ −1 верно.
в) x² + y² = 25 — окружность с центром (0; 0) и радиусом 5. Решения неравенства — точки круга, включая окружность.
г) (x − 1)² + (y − 2)² = 4 — окружность с центром (1; 2) и радиусом 2. Решения — точки круга, включая окружность.
Ответ: множества показаны на рисунке (красные границы входят в множества).
б) Парабола y = (x − 2)² − 1 получается сдвигом y = x² на 2 вправо и на 1 вниз: вершина (2; −1), пересекает ось x в точках (1; 0) и (3; 0), ось y в точке (0; 3). Решения: точки параболы и точки выше неё (внутри «чаши»). Проверка: (2; 0): 0 ≥ −1 верно.
в) x² + y² = 25 — окружность с центром (0; 0) и радиусом 5. Решения неравенства — точки круга, включая окружность.
г) (x − 1)² + (y − 2)² = 4 — окружность с центром (1; 2) и радиусом 2. Решения — точки круга, включая окружность.
Ответ: множества показаны на рисунке (красные границы входят в множества).
453. (Для работы в парах.) Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: а) xy < 4; б) xy > −6.
1. Разберите совместно пример 3, приведённый в пункте 23.
2. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3. Проверьте друг у друга правильность выполнения задания и исправьте ошибки, если они допущены.
1) В примере 3 график уравнения xy = 6 (гипербола) разбивает плоскость на три области; в каждой области знак неравенства сохраняется, поэтому достаточно проверить по одной точке.
2) а) Граница — гипербола xy = 4, её ветви лежат в I и III четвертях (точки (1; 4), (2; 2), (4; 1), (−1; −4), (−2; −2), (−4; −1)). Она делит плоскость на три области: выше правой ветви, между ветвями и ниже левой ветви. Проверим точку (0; 0): 0·0 = 0 < 4 — верно, значит, область между ветвями (которой принадлежит начало координат) входит в множество. Точка (3; 3): 9 < 4 неверно — область выше правой ветви не входит; точка (−3; −3): 9 < 4 неверно — область ниже левой ветви не входит. Неравенство строгое, ветви гиперболы не входят (штриховая линия). Множество решений — область между ветвями гиперболы xy = 4 (она содержит оси координат и все точки II и IV четвертей).
б) Граница — гипербола xy = −6, ветви лежат во II и IV четвертях (точки (−2; 3), (−3; 2), (−6; 1), (2; −3), (3; −2), (6; −1)). Точка (0; 0): 0 > −6 — верно, значит, область между ветвями (с началом координат) входит. Точка (−3; 3): −9 > −6 неверно; точка (3; −3) тоже не подходит. Множество решений — область между ветвями гиперболы xy = −6 (содержит оси координат и все точки I и III четвертей); сами ветви не входят.
3) Проверка: для любой точки закрашенной области произведение координат должно удовлетворять неравенству.
Ответ: а) область между ветвями гиперболы xy = 4 без границы; б) область между ветвями гиперболы xy = −6 без границы (рисунок).
2) а) Граница — гипербола xy = 4, её ветви лежат в I и III четвертях (точки (1; 4), (2; 2), (4; 1), (−1; −4), (−2; −2), (−4; −1)). Она делит плоскость на три области: выше правой ветви, между ветвями и ниже левой ветви. Проверим точку (0; 0): 0·0 = 0 < 4 — верно, значит, область между ветвями (которой принадлежит начало координат) входит в множество. Точка (3; 3): 9 < 4 неверно — область выше правой ветви не входит; точка (−3; −3): 9 < 4 неверно — область ниже левой ветви не входит. Неравенство строгое, ветви гиперболы не входят (штриховая линия). Множество решений — область между ветвями гиперболы xy = 4 (она содержит оси координат и все точки II и IV четвертей).
б) Граница — гипербола xy = −6, ветви лежат во II и IV четвертях (точки (−2; 3), (−3; 2), (−6; 1), (2; −3), (3; −2), (6; −1)). Точка (0; 0): 0 > −6 — верно, значит, область между ветвями (с началом координат) входит. Точка (−3; 3): −9 > −6 неверно; точка (3; −3) тоже не подходит. Множество решений — область между ветвями гиперболы xy = −6 (содержит оси координат и все точки I и III четвертей); сами ветви не входят.
3) Проверка: для любой точки закрашенной области произведение координат должно удовлетворять неравенству.
Ответ: а) область между ветвями гиперболы xy = 4 без границы; б) область между ветвями гиперболы xy = −6 без границы (рисунок).
454. Какое множество точек задаётся неравенством: а) x² + y² − 6x − 4y + 13 ≤ 0; б) x² − 4x − y + 5 ≥ 0?
а) Выделим полные квадраты: x² − 6x + 9 + y² − 4y + 4 = (x − 3)² + (y − 2)², а 9 + 4 = 13. Поэтому неравенство равносильно (x − 3)² + (y − 2)² ≤ 0. Сумма квадратов неотрицательна и не больше нуля только тогда, когда оба слагаемых равны нулю: x = 3, y = 2.
б) Перенесём y: y ≤ x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1. Множество — точки параболы y = (x − 2)² + 1 (вершина (2; 1), ветви вверх) и все точки, расположенные ниже неё.
Ответ: а) единственная точка (3; 2); б) парабола y = (x − 2)² + 1 вместе с точками, лежащими ниже неё.
б) Перенесём y: y ≤ x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1. Множество — точки параболы y = (x − 2)² + 1 (вершина (2; 1), ветви вверх) и все точки, расположенные ниже неё.
Ответ: а) единственная точка (3; 2); б) парабола y = (x − 2)² + 1 вместе с точками, лежащими ниже неё.
455. Задайте неравенством с двумя переменными: а) круг с центром в точке (2; 0) и радиусом, равным 3; б) множество точек, расположенных вне круга с центром в точке (0; 4) и радиусом, равным 2.
Расстояние от точки (x; y) до центра (a; b) равно √((x − a)² + (y − b)²); точка принадлежит кругу радиуса r, если это расстояние не больше r, то есть (x − a)² + (y − b)² ≤ r².
а) Центр (2; 0), r = 3: (x − 2)² + y² ≤ 9.
б) Точки вне круга центра (0; 4), r = 2, удовлетворяют условию: расстояние до центра больше 2, то есть x² + (y − 4)² > 4.
Ответ: а) (x − 2)² + y² ≤ 9; б) x² + (y − 4)² > 4.
а) Центр (2; 0), r = 3: (x − 2)² + y² ≤ 9.
б) Точки вне круга центра (0; 4), r = 2, удовлетворяют условию: расстояние до центра больше 2, то есть x² + (y − 4)² > 4.
Ответ: а) (x − 2)² + y² ≤ 9; б) x² + (y − 4)² > 4.
456. Опишите неравенством множество точек координатной плоскости, расположенных: а) выше параболы y = x² − 9; б) ниже параболы y = (x + 2)².
Точка (x; y) лежит выше графика функции, если её ордината больше значения функции при том же x; ниже — если меньше (точки самой параболы не включаем, так как сказано «выше» и «ниже»).
а) y > x² − 9.
б) y < (x + 2)².
Ответ: а) y > x² − 9; б) y < (x + 2)².
а) y > x² − 9.
б) y < (x + 2)².
Ответ: а) y > x² − 9; б) y < (x + 2)².
457. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: а) xy ≥ 0; б) xy < 0.
а) Произведение xy ≥ 0, если x и y одного знака либо хотя бы одно из них равно нулю: x ≥ 0 и y ≥ 0 (I четверть) или x ≤ 0 и y ≤ 0 (III четверть). Множество — I и III четверти вместе с осями координат.
б) Произведение xy < 0, если x и y разных знаков: x > 0, y < 0 (IV четверть) или x < 0, y > 0 (II четверть). Множество — II и IV четверти без осей координат (оси штриховые).
Ответ: а) I и III четверти, включая оси; б) II и IV четверти, не включая оси (рисунок).
б) Произведение xy < 0, если x и y разных знаков: x > 0, y < 0 (IV четверть) или x < 0, y > 0 (II четверть). Множество — II и IV четверти без осей координат (оси штриховые).
Ответ: а) I и III четверти, включая оси; б) II и IV четверти, не включая оси (рисунок).
458. Постройте график уравнения: а) x² − y² = 0; б) (x² − y)/x = 0.
а) Разложим на множители: x² − y² = (x − y)(x + y) = 0. Произведение равно нулю, если x − y = 0 или x + y = 0, то есть y = x или y = −x. Графиком являются две прямые — биссектрисы координатных углов, пересекающиеся в начале координат.
б) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: x² − y = 0 и x ≠ 0. Из первого y = x², из второго x ≠ 0. Значит, график — парабола y = x² без точки с x = 0, то есть без точки (0; 0. (она выколота).
Ответ: а) прямые y = x и y = −x; б) парабола y = x² с выколотой точкой (0; 0).
б) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: x² − y = 0 и x ≠ 0. Из первого y = x², из второго x ≠ 0. Значит, график — парабола y = x² без точки с x = 0, то есть без точки (0; 0. (она выколота).
Ответ: а) прямые y = x и y = −x; б) парабола y = x² с выколотой точкой (0; 0).
459. Представьте в виде рациональной дроби: (x − 1)/(x + 2) − (1 − x)/(x² + 3x + 2).
Разложим знаменатель: x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2). Заметим, что 1 − x = −(x − 1), поэтому вычитание превращается в сложение:
(x − 1)/(x + 2) + (x − 1)/((x + 1)(x + 2)).
Общий знаменатель (x + 1)(x + 2): ((x − 1)(x + 1) + (x − 1))/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)(x + 1 + 1)/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)(x + 2)/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)/(x + 1).
Ответ: (x − 1)/(x + 1).
(x − 1)/(x + 2) + (x − 1)/((x + 1)(x + 2)).
Общий знаменатель (x + 1)(x + 2): ((x − 1)(x + 1) + (x − 1))/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)(x + 1 + 1)/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)(x + 2)/((x + 1)(x + 2)) = (x − 1)/(x + 1).
Ответ: (x − 1)/(x + 1).