Глава IV. §8. п.24 Системы неравенств с двумя переменными — с. 137
461. Является ли решением системы неравенств x² − 2y > 7, 3x + y > 3 пара чисел: а) (4; 2); б) (−5; 1); в) (−2; −1); г) (6; −5)?
Пара является решением системы, если при подстановке верны оба неравенства.
а) (4; 2): 4² − 2·2 = 16 − 4 = 12 > 7, верно; 3·4 + 2 = 14 > 3, верно. Является решением.
б) (−5; 1): (−5)² − 2·1 = 23 > 7, верно; 3·(−5) + 1 = −14 > 3, неверно. Не является.
в) (−2; −1): (−2)² − 2·(−1) = 4 + 2 = 6 > 7, неверно. Не является.
г) (6; −5): 6² − 2·(−5) = 36 + 10 = 46 > 7, верно; 3·6 + (−5) = 13 > 3, верно. Является решением.
Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да.
а) (4; 2): 4² − 2·2 = 16 − 4 = 12 > 7, верно; 3·4 + 2 = 14 > 3, верно. Является решением.
б) (−5; 1): (−5)² − 2·1 = 23 > 7, верно; 3·(−5) + 1 = −14 > 3, неверно. Не является.
в) (−2; −1): (−2)² − 2·(−1) = 4 + 2 = 6 > 7, неверно. Не является.
г) (6; −5): 6² − 2·(−5) = 36 + 10 = 46 > 7, верно; 3·6 + (−5) = 13 > 3, верно. Является решением.
Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да.
462. (Для работы в парах.) Покажите штриховкой на координатной плоскости множество решений системы неравенств: а) y ≥ x − 3, y ≤ −x + 3; б) x − 2y < 4, x + y < 3; в) −2x + y < −1, x − y > 3; г) x + y ≥ 3, x − y < 2. 1) Обсудите, к какому виду удобно привести неравенства системы в заданиях б), в) и г). 2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли показано множество решений системы неравенств в каждом случае.
1) Удобно выразить y через x (разрешить каждое неравенство относительно y), чтобы сразу видеть, выше или ниже прямой лежит множество решений. Если коэффициент при y отрицателен, при делении знак неравенства меняется на противоположный.
2) Множество решений системы — пересечение полуплоскостей. Граница входит в решение только при нестрогом знаке (её чертим сплошной), при строгом знаке границу чертим пунктиром.
а) y ≥ x − 3 — полуплоскость выше (на) прямой y = x − 3; y ≤ −x + 3 — ниже (на) прямой y = −x + 3. Прямые пересекаются в точке (3; 0). Решение — угол с вершиной (3; 0), лежащий левее вершины, вместе с границами.
б) x − 2y < 4 ⇔ y > 0,5x − 2 (выше прямой); x + y < 3 ⇔ y < −x + 3 (ниже прямой). Прямые пересекаются в точке (10/3; −1/3). Решение — угол с вершиной в этой точке, открытый влево, границы не входят.
в) −2x + y < −1 ⇔ y < 2x − 1; x − y > 3 ⇔ y < x − 3. Обе полуплоскости лежат под своими прямыми; прямые пересекаются в точке (−2; −5). Решение — угол с вершиной (−2; −5), открытый вниз, границы не входят.
г) x + y ≥ 3 ⇔ y ≥ −x + 3 (выше или на прямой); x − y < 2 ⇔ y > x − 2 (выше прямой). Прямые пересекаются в точке (2,5; 0,5). Решение — угол с вершиной (2,5; 0,5), открытый вверх; граница y = −x + 3 входит, граница y = x − 2 не входит.
3) Проверка: берём точку внутри заштрихованной области, например а) (0; 0), б) (0; 0), в) (0; −6), г) (2,5; 4), и убеждаемся, что она удовлетворяет обоим неравенствам.
Границы показаны на рисунке, заштрихована область решений.
2) Множество решений системы — пересечение полуплоскостей. Граница входит в решение только при нестрогом знаке (её чертим сплошной), при строгом знаке границу чертим пунктиром.
а) y ≥ x − 3 — полуплоскость выше (на) прямой y = x − 3; y ≤ −x + 3 — ниже (на) прямой y = −x + 3. Прямые пересекаются в точке (3; 0). Решение — угол с вершиной (3; 0), лежащий левее вершины, вместе с границами.
б) x − 2y < 4 ⇔ y > 0,5x − 2 (выше прямой); x + y < 3 ⇔ y < −x + 3 (ниже прямой). Прямые пересекаются в точке (10/3; −1/3). Решение — угол с вершиной в этой точке, открытый влево, границы не входят.
в) −2x + y < −1 ⇔ y < 2x − 1; x − y > 3 ⇔ y < x − 3. Обе полуплоскости лежат под своими прямыми; прямые пересекаются в точке (−2; −5). Решение — угол с вершиной (−2; −5), открытый вниз, границы не входят.
г) x + y ≥ 3 ⇔ y ≥ −x + 3 (выше или на прямой); x − y < 2 ⇔ y > x − 2 (выше прямой). Прямые пересекаются в точке (2,5; 0,5). Решение — угол с вершиной (2,5; 0,5), открытый вверх; граница y = −x + 3 входит, граница y = x − 2 не входит.
3) Проверка: берём точку внутри заштрихованной области, например а) (0; 0), б) (0; 0), в) (0; −6), г) (2,5; 4), и убеждаемся, что она удовлетворяет обоим неравенствам.
Границы показаны на рисунке, заштрихована область решений.
463. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств: а) x ≥ 2, x ≥ 1; б) x < −1, y > 0; в) x + 2 ≥ 0, y − 3 ≤ 0.
Множество решений системы — общая часть множеств решений неравенств.
а) Решения x ≥ 2 и x ≥ 1 пересекаются по x ≥ 2: полуплоскость справа от прямой x = 2, включая саму прямую (сплошная линия).
б) x < −1 — полуплоскость левее прямой x = −1; y > 0 — полуплоскость выше оси x. Пересечение — прямой угол во второй четверти с вершиной (−1; 0) левее прямой x = −1 и выше оси x; границы не входят (пунктир).
в) x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2; y − 3 ≤ 0 ⇔ y ≤ 3. Пересечение — прямой угол с вершиной (−2; 3), расположенный правее прямой x = −2 и ниже прямой y = 3; границы входят (сплошные линии).
Множества решений заштрихованы на рисунке.
а) Решения x ≥ 2 и x ≥ 1 пересекаются по x ≥ 2: полуплоскость справа от прямой x = 2, включая саму прямую (сплошная линия).
б) x < −1 — полуплоскость левее прямой x = −1; y > 0 — полуплоскость выше оси x. Пересечение — прямой угол во второй четверти с вершиной (−1; 0) левее прямой x = −1 и выше оси x; границы не входят (пунктир).
в) x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2; y − 3 ≤ 0 ⇔ y ≤ 3. Пересечение — прямой угол с вершиной (−2; 3), расположенный правее прямой x = −2 и ниже прямой y = 3; границы входят (сплошные линии).
Множества решений заштрихованы на рисунке.
464. Задайте системой неравенств: а) первую координатную четверть (включая оси координат); б) третью координатную четверть (включая оси координат).
а) В первой четверти абсцисса и ордината неотрицательны (с учётом точек на осях): x ≥ 0, y ≥ 0.
б) В третьей четверти абсцисса и ордината неположительны (с учётом точек на осях): x ≤ 0, y ≤ 0.
Ответ: а) x ≥ 0, y ≥ 0; б) x ≤ 0, y ≤ 0.
б) В третьей четверти абсцисса и ордината неположительны (с учётом точек на осях): x ≤ 0, y ≤ 0.
Ответ: а) x ≥ 0, y ≥ 0; б) x ≤ 0, y ≤ 0.
465. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы: а) y ≥ x², y ≤ 4; б) x² + y² ≤ 4, x − y ≥ 0; в) x² + y² ≤ 9, (x − 3)² + y² ≤ 9; г) (x − 2)² + (y + 1)² ≥ 1, (x − 2)² + (y + 1)² ≤ 9.
Строим множество решений каждого неравенства и берём их общую часть.
а) y ≥ x² — точки на параболе y = x² и выше неё; y ≤ 4 — точки на прямой y = 4 и ниже. Парабола пересекает прямую y = 4 в точках (−2; 4) и (2; 4). Решение — часть плоскости внутри параболы, ограниченная сверху отрезком прямой y = 4, с границами.
б) x² + y² ≤ 4 — круг с центром (0; 0) радиуса 2 (с границей); x − y ≥ 0 ⇔ y ≤ x — точки на прямой y = x и ниже. Решение — половина круга, лежащая ниже прямой y = x (границы входят).
в) x² + y² ≤ 9 — круг радиуса 3 с центром (0; 0); (x − 3)² + y² ≤ 9 — круг радиуса 3 с центром (3; 0). Решение — общая часть двух кругов (линза); окружности пересекаются в точках (1,5; ±1,5√3).
г) (x − 2)² + (y + 1)² ≥ 1 — точки вне круга радиуса 1 с центром (2; −1) и на его границе; (x − 2)² + (y + 1)² ≤ 9 — круг радиуса 3 с тем же центром. Решение — кольцо между окружностями радиусов 1 и 3 с центром (2; −1), границы входят.
Множества решений заштрихованы на рисунке.
а) y ≥ x² — точки на параболе y = x² и выше неё; y ≤ 4 — точки на прямой y = 4 и ниже. Парабола пересекает прямую y = 4 в точках (−2; 4) и (2; 4). Решение — часть плоскости внутри параболы, ограниченная сверху отрезком прямой y = 4, с границами.
б) x² + y² ≤ 4 — круг с центром (0; 0) радиуса 2 (с границей); x − y ≥ 0 ⇔ y ≤ x — точки на прямой y = x и ниже. Решение — половина круга, лежащая ниже прямой y = x (границы входят).
в) x² + y² ≤ 9 — круг радиуса 3 с центром (0; 0); (x − 3)² + y² ≤ 9 — круг радиуса 3 с центром (3; 0). Решение — общая часть двух кругов (линза); окружности пересекаются в точках (1,5; ±1,5√3).
г) (x − 2)² + (y + 1)² ≥ 1 — точки вне круга радиуса 1 с центром (2; −1) и на его границе; (x − 2)² + (y + 1)² ≤ 9 — круг радиуса 3 с тем же центром. Решение — кольцо между окружностями радиусов 1 и 3 с центром (2; −1), границы входят.
Множества решений заштрихованы на рисунке.