Глава IV. §8. п.24 Системы неравенств с двумя переменными — с. 138
466. (Задача-исследование.) При каких значениях k и b система неравенств y ≤ 3x − 1, y ≥ kx + b задаёт на координатной плоскости: а) полосу; б) угол; в) прямую?
Может ли эта система не иметь решений?
1. Обсудите, какое множество точек задаёт на координатной плоскости каждое неравенство системы.
2. Выясните, при каких значениях k и b система неравенств задаёт полосу; угол; прямую.
3. Для каждого случая проиллюстрируйте свой ответ рисунком.
4. Приведите пример, когда такая система неравенств не имеет решений.
1) Неравенство y ≤ 3x − 1 задаёт полуплоскость, лежащую ниже прямой y = 3x − 1 (вместе с прямой). Неравенство y ≥ kx + b задаёт полуплоскость выше прямой y = kx + b (вместе с прямой).
2) Решение системы — пересечение этих двух полуплоскостей. Рассмотрим два случая.
Если k ≠ 3, прямые имеют разные угловые коэффициенты и пересекаются в одной точке. Две полуплоскости, границы которых пересекаются, имеют общую часть в виде угла с вершиной в точке пересечения (при любом b). Это случай б).
Если k = 3, прямые y = 3x − 1 и y = 3x + b параллельны. Тогда система имеет вид 3x + b ≤ y ≤ 3x − 1.
— При b < −1 прямая y = 3x + b лежит ниже прямой y = 3x − 1, и решением является полоса между ними (с границами). Это случай а).
— При b = −1 прямые совпадают, неравенства дают y ≤ 3x − 1 и y ≥ 3x − 1, то есть y = 3x − 1: решением является прямая. Это случай в).
— При b > −1 прямая y = 3x + b лежит выше прямой y = 3x − 1, и полуплоскости не пересекаются: решений нет.
3) Примеры рисунков: а) k = 3, b = −3 — полоса между прямыми y = 3x − 1 и y = 3x − 3; б) k = 0, b = 0 — угол с вершиной (1/3; 0), заданный условиями y ≤ 3x − 1, y ≥ 0; в) k = 3, b = −1 — прямая y = 3x − 1.
4) Пример без решений: y ≤ 3x − 1, y ≥ 3x + 2 (k = 3, b = 2): из неравенств следовало бы 3x + 2 ≤ y ≤ 3x − 1, то есть 2 ≤ −1, что неверно.
Ответ: а) k = 3, b < −1; б) k ≠ 3, b — любое число; в) k = 3, b = −1. Система не имеет решений при k = 3, b > −1.
2) Решение системы — пересечение этих двух полуплоскостей. Рассмотрим два случая.
Если k ≠ 3, прямые имеют разные угловые коэффициенты и пересекаются в одной точке. Две полуплоскости, границы которых пересекаются, имеют общую часть в виде угла с вершиной в точке пересечения (при любом b). Это случай б).
Если k = 3, прямые y = 3x − 1 и y = 3x + b параллельны. Тогда система имеет вид 3x + b ≤ y ≤ 3x − 1.
— При b < −1 прямая y = 3x + b лежит ниже прямой y = 3x − 1, и решением является полоса между ними (с границами). Это случай а).
— При b = −1 прямые совпадают, неравенства дают y ≤ 3x − 1 и y ≥ 3x − 1, то есть y = 3x − 1: решением является прямая. Это случай в).
— При b > −1 прямая y = 3x + b лежит выше прямой y = 3x − 1, и полуплоскости не пересекаются: решений нет.
3) Примеры рисунков: а) k = 3, b = −3 — полоса между прямыми y = 3x − 1 и y = 3x − 3; б) k = 0, b = 0 — угол с вершиной (1/3; 0), заданный условиями y ≤ 3x − 1, y ≥ 0; в) k = 3, b = −1 — прямая y = 3x − 1.
4) Пример без решений: y ≤ 3x − 1, y ≥ 3x + 2 (k = 3, b = 2): из неравенств следовало бы 3x + 2 ≤ y ≤ 3x − 1, то есть 2 ≤ −1, что неверно.
Ответ: а) k = 3, b < −1; б) k ≠ 3, b — любое число; в) k = 3, b = −1. Система не имеет решений при k = 3, b > −1.
467. Задайте системой неравенств: а) треугольник, изображённый на рисунке 65, а; б) кольцо, изображённое на рисунке 65, б. [рисунок 65, а: треугольник с вершинами (−2; 0), (2; 0), (0; 3), заштрихован; рисунок 65, б: кольцо с центром в начале координат, внутренний радиус 5, внешний радиус 10, заштриховано]
а) Стороны треугольника лежат на прямых y = 0 (основание от (−2; 0) до (2; 0)), левая сторона проходит через (−2; 0) и (0; 3), правая — через (2; 0) и (0; 3).
Левая сторона: y = kx + 3, 0 = −2k + 3, k = 1,5; прямая y = 1,5x + 3. Правая сторона: 0 = 2k + 3, k = −1,5; прямая y = −1,5x + 3.
Точка (0; 1) внутри треугольника: 1 ≥ 0, 1 ≤ 3, 1 ≤ 3, поэтому внутри треугольника y ≥ 0, y ≤ 1,5x + 3, y ≤ −1,5x + 3 (границы входят).
б) Кольцо ограничено окружностями с центром (0; 0) радиусов 5 и 10, граница входит. Точки кольца удовлетворяют условиям: расстояние до центра не меньше 5 и не больше 10, то есть x² + y² ≥ 25 и x² + y² ≤ 100.
Ответ: а) y ≤ 1,5x + 3, y ≤ −1,5x + 3, y ≥ 0; б) x² + y² ≥ 25, x² + y² ≤ 100.
Левая сторона: y = kx + 3, 0 = −2k + 3, k = 1,5; прямая y = 1,5x + 3. Правая сторона: 0 = 2k + 3, k = −1,5; прямая y = −1,5x + 3.
Точка (0; 1) внутри треугольника: 1 ≥ 0, 1 ≤ 3, 1 ≤ 3, поэтому внутри треугольника y ≥ 0, y ≤ 1,5x + 3, y ≤ −1,5x + 3 (границы входят).
б) Кольцо ограничено окружностями с центром (0; 0) радиусов 5 и 10, граница входит. Точки кольца удовлетворяют условиям: расстояние до центра не меньше 5 и не больше 10, то есть x² + y² ≥ 25 и x² + y² ≤ 100.
Ответ: а) y ≤ 1,5x + 3, y ≤ −1,5x + 3, y ≥ 0; б) x² + y² ≥ 25, x² + y² ≤ 100.
468. Одна из сторон острого угла проходит через точки (0; 0) и (3; 3), а другая — через точки (0; −2) и (3; −2). Задайте этот угол системой неравенств.
Первая сторона лежит на прямой y = x (через (0; 0) и (3; 3)), вторая — на прямой y = −2 (через (0; −2) и (3; −2)). Они пересекаются в точке (−2; −2) — вершине угла. Лучи, на которых лежат стороны, идут от вершины вправо (через точки (3; 3) и (3; −2)); угол между ними равен 45°, то есть острый.
Внутри угла лежит, например, точка (0; −1). Подставим её: −1 ≤ 0 — условие y ≤ x выполнено; −1 ≥ −2 — условие y ≥ −2 выполнено. Значит, угол — это общая часть полуплоскостей y ≤ x (ниже прямой y = x) и y ≥ −2 (выше прямой y = −2), границы входят.
Ответ: y ≤ x, y ≥ −2.
Внутри угла лежит, например, точка (0; −1). Подставим её: −1 ≤ 0 — условие y ≤ x выполнено; −1 ≥ −2 — условие y ≥ −2 выполнено. Значит, угол — это общая часть полуплоскостей y ≤ x (ниже прямой y = x) и y ≥ −2 (выше прямой y = −2), границы входят.
Ответ: y ≤ x, y ≥ −2.
469. Решите уравнение: а) (x + 2)² + 9(x + 2) + 20 = 0; б) (x − 5)² + 2(x − 5) − 63 = 0.
а) Пусть t = x + 2. Тогда t² + 9t + 20 = 0; D = 81 − 80 = 1, t = (−9 ± 1)/2, t₁ = −4, t₂ = −5. Возвращаемся к x: x + 2 = −4, x = −6; x + 2 = −5, x = −7.
б) Пусть t = x − 5. Тогда t² + 2t − 63 = 0; D = 4 + 252 = 256, t = (−2 ± 16)/2, t₁ = 7, t₂ = −9. Возвращаемся к x: x − 5 = 7, x = 12; x − 5 = −9, x = −4.
Ответ: а) −7; −6; б) −4; 12.
б) Пусть t = x − 5. Тогда t² + 2t − 63 = 0; D = 4 + 252 = 256, t = (−2 ± 16)/2, t₁ = 7, t₂ = −9. Возвращаемся к x: x − 5 = 7, x = 12; x − 5 = −9, x = −4.
Ответ: а) −7; −6; б) −4; 12.
470. Найдите область определения функции y = √(x − 5) + √(15 − x).
Оба корня определены при неотрицательных подкоренных выражениях: x − 5 ≥ 0 и 15 − x ≥ 0, то есть x ≥ 5 и x ≤ 15.
Ответ: 5 ≤ x ≤ 15, то есть [5; 15].
Ответ: 5 ≤ x ≤ 15, то есть [5; 15].
471. Докажите, что для любого значения x верно неравенство 6x(x + 8) − (5x − 27)(x + 17) > 0.
Преобразуем выражение: 6x(x + 8) = 6x² + 48x; (5x − 27)(x + 17) = 5x² + 85x − 27x − 459 = 5x² + 58x − 459.
Разность: 6x² + 48x − 5x² − 58x + 459 = x² − 10x + 459 = (x² − 10x + 25) + 434 = (x − 5)² + 434.
Так как (x − 5)² ≥ 0, то (x − 5)² + 434 ≥ 434 > 0 при любом x. Неравенство доказано.
Разность: 6x² + 48x − 5x² − 58x + 459 = x² − 10x + 459 = (x² − 10x + 25) + 434 = (x − 5)² + 434.
Так как (x − 5)² ≥ 0, то (x − 5)² + 434 ≥ 434 > 0 при любом x. Неравенство доказано.