Глава IV. §8. п.25 Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными — с. 143
472. Решите систему уравнений: а) (x − 2y)(x + 3y) = 0, x² − y² = 12; б) x² − 4xy + 3y² + 2x − 6y = 0, x² − xy + y² = 7.
а) Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Система равносильна совокупности двух систем.
1) x − 2y = 0, x² − y² = 12. Тогда x = 2y, 4y² − y² = 12, 3y² = 12, y² = 4, y = ±2, x = ±4. Решения (4; 2), (−4; −2).
2) x + 3y = 0, x² − y² = 12. Тогда x = −3y, 9y² − y² = 12, 8y² = 12, y² = 3/2, y = ±√6/2. При y = √6/2: x = −3√6/2; при y = −√6/2: x = 3√6/2. Решения (−1,5√6; 0,5√6), (1,5√6; −0,5√6).
б) Разложим первое уравнение на множители: x² − 4xy + 3y² + 2x − 6y = (x − y)(x − 3y) + 2(x − 3y) = (x − 3y)(x − y + 2) = 0.
1) x = 3y: 9y² − 3y² + y² = 7y² = 7, y = ±1, x = ±3. Решения (3; 1), (−3; −1).
2) x = y − 2: (y − 2)² − (y − 2)y + y² = y² − 2y + 4 = 7, y² − 2y − 3 = 0, y = 3 или y = −1; x = 1 или x = −3. Решения (1; 3), (−3; −1).
Пара (−3; −1) повторяется. Всего три решения.
Ответ: а) (−4; −2), (4; 2), (1,5√6; −0,5√6), (−1,5√6; 0,5√6); б) (3; 1), (−3; −1), (1; 3).
1) x − 2y = 0, x² − y² = 12. Тогда x = 2y, 4y² − y² = 12, 3y² = 12, y² = 4, y = ±2, x = ±4. Решения (4; 2), (−4; −2).
2) x + 3y = 0, x² − y² = 12. Тогда x = −3y, 9y² − y² = 12, 8y² = 12, y² = 3/2, y = ±√6/2. При y = √6/2: x = −3√6/2; при y = −√6/2: x = 3√6/2. Решения (−1,5√6; 0,5√6), (1,5√6; −0,5√6).
б) Разложим первое уравнение на множители: x² − 4xy + 3y² + 2x − 6y = (x − y)(x − 3y) + 2(x − 3y) = (x − 3y)(x − y + 2) = 0.
1) x = 3y: 9y² − 3y² + y² = 7y² = 7, y = ±1, x = ±3. Решения (3; 1), (−3; −1).
2) x = y − 2: (y − 2)² − (y − 2)y + y² = y² − 2y + 4 = 7, y² − 2y − 3 = 0, y = 3 или y = −1; x = 1 или x = −3. Решения (1; 3), (−3; −1).
Пара (−3; −1) повторяется. Всего три решения.
Ответ: а) (−4; −2), (4; 2), (1,5√6; −0,5√6), (−1,5√6; 0,5√6); б) (3; 1), (−3; −1), (1; 3).
473. Решите систему уравнений: а) x² + xy − 2y² − x + y = 0, x² + y² = 8; б) x² − 6xy + 5y² − x + 5y = 0, x² − 20y² = 5.
а) Разложим левую часть первого уравнения: x² + xy − 2y² − x + y = (x − y)(x + 2y) − (x − y) = (x − y)(x + 2y − 1) = 0.
1) x = y: 2y² = 8, y = ±2. Решения (2; 2), (−2; −2).
2) x = 1 − 2y: (1 − 2y)² + y² = 8, 5y² − 4y − 7 = 0, D = 16 + 140 = 156, y = (4 ± 2√39)/10 = (2 ± √39)/5. Тогда x = 1 − 2y = (1 ∓ 2√39)/5. Решения ((1 + 2√39)/5; (2 − √39)/5) и ((1 − 2√39)/5; (2 + √39)/5).
б) x² − 6xy + 5y² − x + 5y = (x − y)(x − 5y) − (x − 5y) = (x − 5y)(x − y − 1) = 0.
1) x = 5y: 25y² − 20y² = 5y² = 5, y = ±1, x = ±5. Решения (5; 1), (−5; −1).
2) x = y + 1: (y + 1)² − 20y² = 5, 19y² − 2y + 4 = 0, D = 4 − 304 < 0, решений нет.
Ответ: а) (2; 2), (−2; −2), ((1 + 2√39)/5; (2 − √39)/5), ((1 − 2√39)/5; (2 + √39)/5); б) (5; 1), (−5; −1).
1) x = y: 2y² = 8, y = ±2. Решения (2; 2), (−2; −2).
2) x = 1 − 2y: (1 − 2y)² + y² = 8, 5y² − 4y − 7 = 0, D = 16 + 140 = 156, y = (4 ± 2√39)/10 = (2 ± √39)/5. Тогда x = 1 − 2y = (1 ∓ 2√39)/5. Решения ((1 + 2√39)/5; (2 − √39)/5) и ((1 − 2√39)/5; (2 + √39)/5).
б) x² − 6xy + 5y² − x + 5y = (x − y)(x − 5y) − (x − 5y) = (x − 5y)(x − y − 1) = 0.
1) x = 5y: 25y² − 20y² = 5y² = 5, y = ±1, x = ±5. Решения (5; 1), (−5; −1).
2) x = y + 1: (y + 1)² − 20y² = 5, 19y² − 2y + 4 = 0, D = 4 − 304 < 0, решений нет.
Ответ: а) (2; 2), (−2; −2), ((1 + 2√39)/5; (2 − √39)/5), ((1 − 2√39)/5; (2 + √39)/5); б) (5; 1), (−5; −1).
474. Найдите все решения системы уравнений: а) x² − 3xy + 14 = 0, 3x² + 2xy − 24 = 0; б) 2x² − 6y = xy, 3x² − 8y = 0,5xy.
а) Из первого уравнения 3xy = x² + 14, xy = (x² + 14)/3. Подставим во второе: 3x² + 2(x² + 14)/3 − 24 = 0; умножим на 3: 9x² + 2x² + 28 − 72 = 0, 11x² = 44, x² = 4, x = ±2. Тогда xy = (4 + 14)/3 = 6: при x = 2 получаем y = 3, при x = −2 получаем y = −3. Проверка: 4 − 18 + 14 = 0; 12 + 12 − 24 = 0.
б) Умножим второе уравнение на 2: 6x² − 16y = xy. Вычтем из него первое (2x² − 6y = xy): 4x² − 10y = 0, откуда y = 0,4x². Подставим в первое: 2x² − 2,4x² = 0,4x³, то есть −0,4x² = 0,4x³, 0,4x²(x + 1) = 0, откуда x = 0 или x = −1. Тогда y = 0 при x = 0 и y = 0,4 при x = −1. Проверка второго уравнения для (−1; 0,4): 3 − 3,2 = −0,2 и 0,5·(−1)·0,4 = −0,2, верно.
Ответ: а) (2; 3), (−2; −3); б) (0; 0), (−1; 0,4).
б) Умножим второе уравнение на 2: 6x² − 16y = xy. Вычтем из него первое (2x² − 6y = xy): 4x² − 10y = 0, откуда y = 0,4x². Подставим в первое: 2x² − 2,4x² = 0,4x³, то есть −0,4x² = 0,4x³, 0,4x²(x + 1) = 0, откуда x = 0 или x = −1. Тогда y = 0 при x = 0 и y = 0,4 при x = −1. Проверка второго уравнения для (−1; 0,4): 3 − 3,2 = −0,2 и 0,5·(−1)·0,4 = −0,2, верно.
Ответ: а) (2; 3), (−2; −3); б) (0; 0), (−1; 0,4).
475. Решите систему уравнений: а) x² + 3xy − 10y² = 0, x² − 4xy + 3y = 0; б) x² + xy − 6y² = 0, x² + 3xy + 2y − 6 = 0.
а) Первое уравнение однородное: x² + 3xy − 10y² = (x − 2y)(x + 5y) = 0.
1) x = 2y: 4y² − 8y² + 3y = 0, −4y² + 3y = 0, y(3 − 4y) = 0, y = 0 или y = 3/4. Решения (0; 0), (1,5; 0,75).
2) x = −5y: 25y² + 20y² + 3y = 0, 45y² + 3y = 0, 3y(15y + 1) = 0, y = 0 или y = −1/15; x = 0 или x = 1/3. Решения (0; 0), (1/3; −1/15).
б) x² + xy − 6y² = (x − 2y)(x + 3y) = 0.
1) x = 2y: 4y² + 6y² + 2y − 6 = 0, 5y² + y − 3 = 0, D = 1 + 60 = 61, y = (−1 ± √61)/10, x = 2y = (−1 ± √61)/5. Решения ((−1 + √61)/5; (−1 + √61)/10), ((−1 − √61)/5; (−1 − √61)/10).
2) x = −3y: 9y² − 9y² + 2y − 6 = 0, y = 3, x = −9. Решение (−9; 3).
Ответ: а) (0; 0), (1/3; −1/15), (1,5; 0,75); б) (−9; 3), ((−1 + √61)/5; (−1 + √61)/10), ((−1 − √61)/5; (−1 − √61)/10).
1) x = 2y: 4y² − 8y² + 3y = 0, −4y² + 3y = 0, y(3 − 4y) = 0, y = 0 или y = 3/4. Решения (0; 0), (1,5; 0,75).
2) x = −5y: 25y² + 20y² + 3y = 0, 45y² + 3y = 0, 3y(15y + 1) = 0, y = 0 или y = −1/15; x = 0 или x = 1/3. Решения (0; 0), (1/3; −1/15).
б) x² + xy − 6y² = (x − 2y)(x + 3y) = 0.
1) x = 2y: 4y² + 6y² + 2y − 6 = 0, 5y² + y − 3 = 0, D = 1 + 60 = 61, y = (−1 ± √61)/10, x = 2y = (−1 ± √61)/5. Решения ((−1 + √61)/5; (−1 + √61)/10), ((−1 − √61)/5; (−1 − √61)/10).
2) x = −3y: 9y² − 9y² + 2y − 6 = 0, y = 3, x = −9. Решение (−9; 3).
Ответ: а) (0; 0), (1/3; −1/15), (1,5; 0,75); б) (−9; 3), ((−1 + √61)/5; (−1 + √61)/10), ((−1 − √61)/5; (−1 − √61)/10).
476. Найдите все решения системы уравнений: а) x/y + y/x = 25/12, x² − y² = 7; б) x/y − y/x = 2,1, x² + y² = 29.
а) Допустимо x ≠ 0, y ≠ 0. Пусть t = x/y, тогда t + 1/t = 25/12, 12t² − 25t + 12 = 0, D = 625 − 576 = 49, t = (25 ± 7)/24, t = 4/3 или t = 3/4.
t = 4/3: x = 4y/3, 16y²/9 − y² = 7y²/9 = 7, y² = 9, y = ±3, x = ±4. Решения (4; 3), (−4; −3).
t = 3/4: x = 3y/4, 9y²/16 − y² = −7y²/16 = 7, y² = −16, решений нет.
б) Пусть t = x/y, тогда t − 1/t = 21/10, 10t² − 21t − 10 = 0, D = 441 + 400 = 841 = 29², t = (21 ± 29)/20, t = 5/2 или t = −2/5.
t = 5/2: x = 2,5y, 6,25y² + y² = 7,25y² = 29, y² = 4, y = ±2, x = ±5. Решения (5; 2), (−5; −2).
t = −2/5: x = −0,4y, 0,16y² + y² = 1,16y² = 29, y² = 25, y = ±5, x = ∓2. Решения (−2; 5), (2; −5).
Ответ: а) (4; 3), (−4; −3); б) (5; 2), (−5; −2), (−2; 5), (2; −5).
t = 4/3: x = 4y/3, 16y²/9 − y² = 7y²/9 = 7, y² = 9, y = ±3, x = ±4. Решения (4; 3), (−4; −3).
t = 3/4: x = 3y/4, 9y²/16 − y² = −7y²/16 = 7, y² = −16, решений нет.
б) Пусть t = x/y, тогда t − 1/t = 21/10, 10t² − 21t − 10 = 0, D = 441 + 400 = 841 = 29², t = (21 ± 29)/20, t = 5/2 или t = −2/5.
t = 5/2: x = 2,5y, 6,25y² + y² = 7,25y² = 29, y² = 4, y = ±2, x = ±5. Решения (5; 2), (−5; −2).
t = −2/5: x = −0,4y, 0,16y² + y² = 1,16y² = 29, y² = 25, y = ±5, x = ∓2. Решения (−2; 5), (2; −5).
Ответ: а) (4; 3), (−4; −3); б) (5; 2), (−5; −2), (−2; 5), (2; −5).
477. Решите систему уравнений: а) x² + xy = 6, y² + xy = 3; б) x² − xy = 7, y² − xy = 9.
а) Запишем уравнения в виде x(x + y) = 6 и y(x + y) = 3. Так как x + y ≠ 0 (иначе левые части были бы нулями), разделим первое уравнение на второе: x/y = 2, x = 2y. Сложим уравнения: x² + 2xy + y² = 9, (x + y)² = 9, x + y = ±3. Подставим x = 2y: 3y = ±3, y = ±1, x = ±2. Решения (2; 1), (−2; −1).
б) Запишем уравнения: x(x − y) = 7, y(y − x) = 9, то есть −y(x − y) = 9. Так как x − y ≠ 0, разделим первое на второе: x/(−y) = 7/9, x = −7y/9. Сложим уравнения: x² − 2xy + y² = 16, (x − y)² = 16, x − y = ±4. Тогда x − y = −7y/9 − y = −16y/9 = ±4, y = ∓9/4, x = −7y/9 = ±7/4.
Решения (1,75; −2,25), (−1,75; 2,25). Проверка для (1,75; −2,25): 3,0625 + 3,9375 = 7; 5,0625 + 3,9375 = 9.
Ответ: а) (2; 1), (−2; −1); б) (1,75; −2,25), (−1,75; 2,25).
б) Запишем уравнения: x(x − y) = 7, y(y − x) = 9, то есть −y(x − y) = 9. Так как x − y ≠ 0, разделим первое на второе: x/(−y) = 7/9, x = −7y/9. Сложим уравнения: x² − 2xy + y² = 16, (x − y)² = 16, x − y = ±4. Тогда x − y = −7y/9 − y = −16y/9 = ±4, y = ∓9/4, x = −7y/9 = ±7/4.
Решения (1,75; −2,25), (−1,75; 2,25). Проверка для (1,75; −2,25): 3,0625 + 3,9375 = 7; 5,0625 + 3,9375 = 9.
Ответ: а) (2; 1), (−2; −1); б) (1,75; −2,25), (−1,75; 2,25).
478. Решите систему уравнений: а) x² + y² = 25, xy = 12; б) x² + y² = 26, x + y = 6.
а) Найдём (x + y)² = x² + 2xy + y² = 25 + 24 = 49 и (x − y)² = x² − 2xy + y² = 25 − 24 = 1. Значит, x + y = ±7, x − y = ±1.
x + y = 7, x − y = 1: x = 4, y = 3. x + y = 7, x − y = −1: x = 3, y = 4. x + y = −7, x − y = 1: x = −3, y = −4. x + y = −7, x − y = −1: x = −4, y = −3.
б) Из (x + y)² = x² + y² + 2xy получаем 36 = 26 + 2xy, xy = 5. По теореме, обратной теореме Виета, x и y — корни уравнения t² − 6t + 5 = 0, то есть 1 и 5. Решения (1; 5), (5; 1).
Ответ: а) (4; 3), (3; 4), (−3; −4), (−4; −3); б) (1; 5), (5; 1).
x + y = 7, x − y = 1: x = 4, y = 3. x + y = 7, x − y = −1: x = 3, y = 4. x + y = −7, x − y = 1: x = −3, y = −4. x + y = −7, x − y = −1: x = −4, y = −3.
б) Из (x + y)² = x² + y² + 2xy получаем 36 = 26 + 2xy, xy = 5. По теореме, обратной теореме Виета, x и y — корни уравнения t² − 6t + 5 = 0, то есть 1 и 5. Решения (1; 5), (5; 1).
Ответ: а) (4; 3), (3; 4), (−3; −4), (−4; −3); б) (1; 5), (5; 1).
479. Найдите множество решений системы: а) x² + xy + y² = 7, x + xy + y = 5; б) x² + xy + y² = 19, x + xy + y = 1.
Введём u = x + y, v = xy; тогда x² + y² = u² − 2v и x² + xy + y² = u² − v.
а) u² − v = 7, u + v = 5. Сложим: u² + u − 12 = 0, u = 3 или u = −4.
u = 3: v = 2, x и y — корни t² − 3t + 2 = 0, то есть 1 и 2: (1; 2), (2; 1).
u = −4: v = 9, t² + 4t + 9 = 0, D = 16 − 36 < 0, решений нет.
б) u² − v = 19, u + v = 1. Сложим: u² + u − 20 = 0, u = 4 или u = −5.
u = 4: v = −3, t² − 4t − 3 = 0, D = 16 + 12 = 28, t = 2 ± √7: (2 − √7; 2 + √7), (2 + √7; 2 − √7).
u = −5: v = 6, t² + 5t + 6 = 0, t = −2 или t = −3: (−2; −3), (−3; −2).
Ответ: а) (1; 2), (2; 1); б) (−2; −3), (−3; −2), (2 − √7; 2 + √7), (2 + √7; 2 − √7).
а) u² − v = 7, u + v = 5. Сложим: u² + u − 12 = 0, u = 3 или u = −4.
u = 3: v = 2, x и y — корни t² − 3t + 2 = 0, то есть 1 и 2: (1; 2), (2; 1).
u = −4: v = 9, t² + 4t + 9 = 0, D = 16 − 36 < 0, решений нет.
б) u² − v = 19, u + v = 1. Сложим: u² + u − 20 = 0, u = 4 или u = −5.
u = 4: v = −3, t² − 4t − 3 = 0, D = 16 + 12 = 28, t = 2 ± √7: (2 − √7; 2 + √7), (2 + √7; 2 − √7).
u = −5: v = 6, t² + 5t + 6 = 0, t = −2 или t = −3: (−2; −3), (−3; −2).
Ответ: а) (1; 2), (2; 1); б) (−2; −3), (−3; −2), (2 − √7; 2 + √7), (2 + √7; 2 − √7).
480. Решите систему уравнений: а) 4x(x + y) + y² = 49, 4x(x − y) + y² = 81; б) 3x(3x − 4y) + 4y² = 64, 3x(3x + 4y) + 4y² = 16.
а) 4x(x + y) + y² = 4x² + 4xy + y² = (2x + y)², 4x(x − y) + y² = 4x² − 4xy + y² = (2x − y)². Система: (2x + y)² = 49, (2x − y)² = 81, то есть 2x + y = ±7, 2x − y = ±9.
2x + y = 7, 2x − y = 9: x = 4, y = −1. 2x + y = 7, 2x − y = −9: x = −0,5, y = 8. 2x + y = −7, 2x − y = 9: x = 0,5, y = −8. 2x + y = −7, 2x − y = −9: x = −4, y = 1.
б) 3x(3x − 4y) + 4y² = 9x² − 12xy + 4y² = (3x − 2y)², 3x(3x + 4y) + 4y² = (3x + 2y)². Система: (3x − 2y)² = 64, (3x + 2y)² = 16, то есть 3x − 2y = ±8, 3x + 2y = ±4.
3x − 2y = 8, 3x + 2y = 4: x = 2, y = −1. 3x − 2y = 8, 3x + 2y = −4: x = 2/3, y = −3. 3x − 2y = −8, 3x + 2y = 4: x = −2/3, y = 3. 3x − 2y = −8, 3x + 2y = −4: x = −2, y = 1.
Ответ: а) (4; −1), (−4; 1), (0,5; −8), (−0,5; 8); б) (2; −1), (−2; 1), (2/3; −3), (−2/3; 3).
2x + y = 7, 2x − y = 9: x = 4, y = −1. 2x + y = 7, 2x − y = −9: x = −0,5, y = 8. 2x + y = −7, 2x − y = 9: x = 0,5, y = −8. 2x + y = −7, 2x − y = −9: x = −4, y = 1.
б) 3x(3x − 4y) + 4y² = 9x² − 12xy + 4y² = (3x − 2y)², 3x(3x + 4y) + 4y² = (3x + 2y)². Система: (3x − 2y)² = 64, (3x + 2y)² = 16, то есть 3x − 2y = ±8, 3x + 2y = ±4.
3x − 2y = 8, 3x + 2y = 4: x = 2, y = −1. 3x − 2y = 8, 3x + 2y = −4: x = 2/3, y = −3. 3x − 2y = −8, 3x + 2y = 4: x = −2/3, y = 3. 3x − 2y = −8, 3x + 2y = −4: x = −2, y = 1.
Ответ: а) (4; −1), (−4; 1), (0,5; −8), (−0,5; 8); б) (2; −1), (−2; 1), (2/3; −3), (−2/3; 3).