Глава IV. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 7 — с. 145
490. Сколько решений может иметь система уравнений x² + y² = r², y = −x² + 4, где r — положительное число?
Из второго уравнения x² = 4 − y. Подставим в первое: 4 − y + y² = r², то есть y² − y + 4 − r² = 0. Каждому найденному y < 4 соответствуют два значения x = ±√(4 − y), а y = 4 даёт одно значение x = 0; y > 4 не подходит (тогда x² < 0).
D = 1 − 4(4 − r²) = 4r² − 15, y = (1 ± √(4r² − 15))/2.
1) 4r² − 15 < 0, то есть r < √15/2: корней нет, система не имеет решений (окружность не достигает параболы).
2) r = √15/2: один корень y = 1/2, x² = 3,5, два решения (±√3,5; 0,5).
3) √15/2 < r < 4: два корня y₁ < y₂. Больший корень y₂ = (1 + √(4r² − 15))/2 меньше 4, так как √(4r² − 15) < 7 при r² < 16. Оба значения y < 4, каждому соответствуют два x: четыре решения.
4) r = 4: y₂ = (1 + 7)/2 = 4 (x = 0, одно решение), y₁ = (1 − 7)/2 = −3 (x² = 7, два решения): три решения.
5) r > 4: y₂ > 4 не подходит, остаётся y₁ < 4: два решения.
Ответ: система может иметь 0, 2, 3 или 4 решения: нет решений при r < √15/2; два при r = √15/2 и при r > 4; четыре при √15/2 < r < 4; три при r = 4.
D = 1 − 4(4 − r²) = 4r² − 15, y = (1 ± √(4r² − 15))/2.
1) 4r² − 15 < 0, то есть r < √15/2: корней нет, система не имеет решений (окружность не достигает параболы).
2) r = √15/2: один корень y = 1/2, x² = 3,5, два решения (±√3,5; 0,5).
3) √15/2 < r < 4: два корня y₁ < y₂. Больший корень y₂ = (1 + √(4r² − 15))/2 меньше 4, так как √(4r² − 15) < 7 при r² < 16. Оба значения y < 4, каждому соответствуют два x: четыре решения.
4) r = 4: y₂ = (1 + 7)/2 = 4 (x = 0, одно решение), y₁ = (1 − 7)/2 = −3 (x² = 7, два решения): три решения.
5) r > 4: y₂ > 4 не подходит, остаётся y₁ < 4: два решения.
Ответ: система может иметь 0, 2, 3 или 4 решения: нет решений при r < √15/2; два при r = √15/2 и при r > 4; четыре при √15/2 < r < 4; три при r = 4.
491. При каких значениях m система уравнений x² + y² = 5, x − y = m имеет: а) одно решение; б) два решения?
Из второго уравнения y = x − m. Подставим в первое: x² + (x − m)² = 5, 2x² − 2mx + m² − 5 = 0. Дискриминант D/4 = m² − 2(m² − 5) = 10 − m².
а) Одно решение при D = 0: 10 − m² = 0, m = ±√10 (прямая касается окружности).
б) Два решения при D > 0: 10 − m² > 0, m² < 10, −√10 < m < √10 (прямая пересекает окружность).
Ответ: а) m = −√10 или m = √10; б) −√10 < m < √10.
а) Одно решение при D = 0: 10 − m² = 0, m = ±√10 (прямая касается окружности).
б) Два решения при D > 0: 10 − m² > 0, m² < 10, −√10 < m < √10 (прямая пересекает окружность).
Ответ: а) m = −√10 или m = √10; б) −√10 < m < √10.
492. Решите систему уравнений: а) x + 3y = −1, x² + 2xy + y = 3; б) 2x − y = 1, xy − y² + 3x = −1; в) 2x + y − 11 = 0, 2x + 5y − y² − 6 = 0; г) 2x² − 3y² − 5x − 2y = 26, x − y = 4; д) 4x² − 9y² + x − 40y = 19, 2x − 3y = 5; е) 3x² + y² + 8x + 13y = 5, x − y + 2 = 0.
Во всех пунктах выражаем одну переменную из линейного уравнения и подставляем во второе.
а) x = −1 − 3y. x² + 2xy + y = (1 + 3y)² − 2y(1 + 3y) + y = 1 + 6y + 9y² − 2y − 6y² + y = 3y² + 5y + 1 = 3, откуда 3y² + 5y − 2 = 0, D = 49, y = (−5 ± 7)/6, y = 1/3 или y = −2. Тогда x = −2 или x = 5. Решения (−2; 1/3), (5; −2).
б) y = 2x − 1. x(2x − 1) − (2x − 1)² + 3x = −1: 2x² − x − 4x² + 4x − 1 + 3x + 1 = −2x² + 6x = 0, x(x − 3) = 0, x = 0 или x = 3; y = −1 или y = 5. Решения (0; −1), (3; 5).
в) y = 11 − 2x. 2x + 5(11 − 2x) − (11 − 2x)² − 6 = 0: 2x + 55 − 10x − 121 + 44x − 4x² − 6 = 0, −4x² + 36x − 72 = 0, x² − 9x + 18 = 0, x = 3 или x = 6; y = 5 или y = −1. Решения (3; 5), (6; −1).
г) x = y + 4. 2(y + 4)² − 3y² − 5(y + 4) − 2y = 26: 2y² + 16y + 32 − 3y² − 5y − 20 − 2y − 26 = −y² + 9y − 14 = 0, y² − 9y + 14 = 0, y = 2 или y = 7; x = 6 или x = 11. Решения (6; 2), (11; 7).
д) 4x² − 9y² = (2x − 3y)(2x + 3y) = 5(2x + 3y) = 10x + 15y. Первое уравнение: 10x + 15y + x − 40y = 19, 11x − 25y = 19. Из 2x − 3y = 5: x = (5 + 3y)/2. Тогда 11(5 + 3y)/2 − 25y = 19, 55 + 33y − 50y = 38, −17y = −17, y = 1, x = 4. Решение (4; 1).
е) x = y − 2. 3(y − 2)² + y² + 8(y − 2) + 13y − 5 = 0: 3y² − 12y + 12 + y² + 8y − 16 + 13y − 5 = 4y² + 9y − 9 = 0, D = 225, y = (−9 ± 15)/8, y = 0,75 или y = −3; x = −1,25 или x = −5. Решения (−1,25; 0,75), (−5; −3).
Ответ: а) (−2; 1/3), (5; −2); б) (0; −1), (3; 5); в) (3; 5), (6; −1); г) (6; 2), (11; 7); д) (4; 1); е) (−1,25; 0,75), (−5; −3).
а) x = −1 − 3y. x² + 2xy + y = (1 + 3y)² − 2y(1 + 3y) + y = 1 + 6y + 9y² − 2y − 6y² + y = 3y² + 5y + 1 = 3, откуда 3y² + 5y − 2 = 0, D = 49, y = (−5 ± 7)/6, y = 1/3 или y = −2. Тогда x = −2 или x = 5. Решения (−2; 1/3), (5; −2).
б) y = 2x − 1. x(2x − 1) − (2x − 1)² + 3x = −1: 2x² − x − 4x² + 4x − 1 + 3x + 1 = −2x² + 6x = 0, x(x − 3) = 0, x = 0 или x = 3; y = −1 или y = 5. Решения (0; −1), (3; 5).
в) y = 11 − 2x. 2x + 5(11 − 2x) − (11 − 2x)² − 6 = 0: 2x + 55 − 10x − 121 + 44x − 4x² − 6 = 0, −4x² + 36x − 72 = 0, x² − 9x + 18 = 0, x = 3 или x = 6; y = 5 или y = −1. Решения (3; 5), (6; −1).
г) x = y + 4. 2(y + 4)² − 3y² − 5(y + 4) − 2y = 26: 2y² + 16y + 32 − 3y² − 5y − 20 − 2y − 26 = −y² + 9y − 14 = 0, y² − 9y + 14 = 0, y = 2 или y = 7; x = 6 или x = 11. Решения (6; 2), (11; 7).
д) 4x² − 9y² = (2x − 3y)(2x + 3y) = 5(2x + 3y) = 10x + 15y. Первое уравнение: 10x + 15y + x − 40y = 19, 11x − 25y = 19. Из 2x − 3y = 5: x = (5 + 3y)/2. Тогда 11(5 + 3y)/2 − 25y = 19, 55 + 33y − 50y = 38, −17y = −17, y = 1, x = 4. Решение (4; 1).
е) x = y − 2. 3(y − 2)² + y² + 8(y − 2) + 13y − 5 = 0: 3y² − 12y + 12 + y² + 8y − 16 + 13y − 5 = 4y² + 9y − 9 = 0, D = 225, y = (−9 ± 15)/8, y = 0,75 или y = −3; x = −1,25 или x = −5. Решения (−1,25; 0,75), (−5; −3).
Ответ: а) (−2; 1/3), (5; −2); б) (0; −1), (3; 5); в) (3; 5), (6; −1); г) (6; 2), (11; 7); д) (4; 1); е) (−1,25; 0,75), (−5; −3).
493. Найдите все решения системы уравнений: а) x − y = 4, (x − 1)(y + 1) = 2xy + 3; б) y − x = 1, (2y + 1)(x − 1) = xy + 1; в) 2x − y = 5, (x + 1)(y + 4) = 2xy − 1; г) x + y = 1, (x − 1)(y + 5) = y² − 12.
а) x = y + 4. (y + 3)(y + 1) = 2y(y + 4) + 3: y² + 4y + 3 = 2y² + 8y + 3, y² + 4y = 0, y = 0 или y = −4; x = 4 или x = 0. Решения (4; 0), (0; −4).
б) y = x + 1. (2x + 3)(x − 1) = x(x + 1) + 1: 2x² + x − 3 = x² + x + 1, x² = 4, x = ±2; y = 3 или y = −1. Решения (2; 3), (−2; −1).
в) y = 2x − 5. (x + 1)(2x − 1) = 2x(2x − 5) − 1: 2x² + x − 1 = 4x² − 10x − 1, 2x² − 11x = 0, x = 0 или x = 5,5; y = −5 или y = 6. Решения (0; −5), (5,5; 6).
г) x = 1 − y. (−y)(y + 5) = y² − 12: −y² − 5y = y² − 12, 2y² + 5y − 12 = 0, D = 121, y = (−5 ± 11)/4, y = 1,5 или y = −4; x = −0,5 или x = 5. Решения (−0,5; 1,5), (5; −4).
Ответ: а) (4; 0), (0; −4); б) (2; 3), (−2; −1); в) (0; −5), (5,5; 6); г) (5; −4), (−0,5; 1,5).
б) y = x + 1. (2x + 3)(x − 1) = x(x + 1) + 1: 2x² + x − 3 = x² + x + 1, x² = 4, x = ±2; y = 3 или y = −1. Решения (2; 3), (−2; −1).
в) y = 2x − 5. (x + 1)(2x − 1) = 2x(2x − 5) − 1: 2x² + x − 1 = 4x² − 10x − 1, 2x² − 11x = 0, x = 0 или x = 5,5; y = −5 или y = 6. Решения (0; −5), (5,5; 6).
г) x = 1 − y. (−y)(y + 5) = y² − 12: −y² − 5y = y² − 12, 2y² + 5y − 12 = 0, D = 121, y = (−5 ± 11)/4, y = 1,5 или y = −4; x = −0,5 или x = 5. Решения (−0,5; 1,5), (5; −4).
Ответ: а) (4; 0), (0; −4); б) (2; 3), (−2; −1); в) (0; −5), (5,5; 6); г) (5; −4), (−0,5; 1,5).
494. Решите систему уравнений: а) x² + y² = 40, xy = −12; б) x² + 2y² = 228, 3x² − 2y² = 172.
а) (x + y)² = 40 + 2·(−12) = 16, (x − y)² = 40 + 24 = 64. Значит, x + y = ±4, x − y = ±8.
x + y = 4, x − y = 8: (6; −2). x + y = 4, x − y = −8: (−2; 6). x + y = −4, x − y = 8: (2; −6). x + y = −4, x − y = −8: (−6; 2).
б) Сложим уравнения: 4x² = 400, x² = 100, x = ±10. Из первого: 2y² = 228 − 100 = 128, y² = 64, y = ±8. Проверка второго: 300 − 128 = 172. Решения: четыре пары (10; 8), (10; −8), (−10; 8), (−10; −8).
Ответ: а) (6; −2), (−2; 6), (2; −6), (−6; 2); б) (10; 8), (10; −8), (−10; 8), (−10; −8).
x + y = 4, x − y = 8: (6; −2). x + y = 4, x − y = −8: (−2; 6). x + y = −4, x − y = 8: (2; −6). x + y = −4, x − y = −8: (−6; 2).
б) Сложим уравнения: 4x² = 400, x² = 100, x = ±10. Из первого: 2y² = 228 − 100 = 128, y² = 64, y = ±8. Проверка второго: 300 − 128 = 172. Решения: четыре пары (10; 8), (10; −8), (−10; 8), (−10; −8).
Ответ: а) (6; −2), (−2; 6), (2; −6), (−6; 2); б) (10; 8), (10; −8), (−10; 8), (−10; −8).
495. Решите систему уравнений: а) x² + 3x − 4y = 20, x² − 2x + y = −5; б) y² + 3x − y = 1, y² + 6x − 2y = 1.
а) Из второго уравнения y = −5 − x² + 2x. Подставим в первое: x² + 3x − 4(−5 − x² + 2x) = 20, x² + 3x + 20 + 4x² − 8x = 20, 5x² − 5x = 0, x(x − 1) = 0. При x = 0: y = −5. При x = 1: y = −5 − 1 + 2 = −4. Решения (0; −5), (1; −4).
б) Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из него второе: 2y² + 6x − 2y − y² − 6x + 2y = 2 − 1, y² = 1, y = ±1. При y = 1: 1 + 3x − 1 = 1, x = 1/3. При y = −1: 1 + 3x + 1 = 1, x = −1/3. Проверка второго для (1/3; 1): 1 + 2 − 2 = 1; для (−1/3; −1): 1 − 2 + 2 = 1.
Ответ: а) (0; −5), (1; −4); б) (1/3; 1), (−1/3; −1).
б) Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из него второе: 2y² + 6x − 2y − y² − 6x + 2y = 2 − 1, y² = 1, y = ±1. При y = 1: 1 + 3x − 1 = 1, x = 1/3. При y = −1: 1 + 3x + 1 = 1, x = −1/3. Проверка второго для (1/3; 1): 1 + 2 − 2 = 1; для (−1/3; −1): 1 − 2 + 2 = 1.
Ответ: а) (0; −5), (1; −4); б) (1/3; 1), (−1/3; −1).