Глава IV. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 7 — с. 147
505. Разность квадратов двух чисел равна 100. Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30. Найдите эти числа.
Пусть x — первое число, y — второе. Тогда x² − y² = 100 и 3x − 2y = 30.
Из второго y = (3x − 30)/2. Подставим в первое: x² − (3x − 30)²/4 = 100, 4x² − (9x² − 180x + 900) = 400, −5x² + 180x − 1300 = 0, x² − 36x + 260 = 0, D = 1296 − 1040 = 256, x = (36 ± 16)/2, x = 26 или x = 10.
При x = 26: y = (78 − 30)/2 = 24. При x = 10: y = 0.
Проверка: 676 − 576 = 100, 78 − 48 = 30; 100 − 0 = 100, 30 − 0 = 30.
Ответ: 26 и 24 или 10 и 0.
Из второго y = (3x − 30)/2. Подставим в первое: x² − (3x − 30)²/4 = 100, 4x² − (9x² − 180x + 900) = 400, −5x² + 180x − 1300 = 0, x² − 36x + 260 = 0, D = 1296 − 1040 = 256, x = (36 ± 16)/2, x = 26 или x = 10.
При x = 26: y = (78 − 30)/2 = 24. При x = 10: y = 0.
Проверка: 676 − 576 = 100, 78 − 48 = 30; 100 − 0 = 100, 30 − 0 = 30.
Ответ: 26 и 24 или 10 и 0.
506. Найдите двузначное число, которое в 4 раза больше суммы его цифр и в 2 раза больше произведения его цифр.
Пусть a — цифра десятков, b — цифра единиц, число 10a + b (a ≥ 1).
По условию 10a + b = 4(a + b) и 10a + b = 2ab.
Из первого: 6a = 3b, b = 2a. Подставим во второе: 12a = 2a·2a = 4a², a(a − 3) = 0, a = 3 (a ≠ 0), b = 6.
Проверка: 36 : (3 + 6) = 4, 36 : (3·6) = 2.
Ответ: 36.
По условию 10a + b = 4(a + b) и 10a + b = 2ab.
Из первого: 6a = 3b, b = 2a. Подставим во второе: 12a = 2a·2a = 4a², a(a − 3) = 0, a = 3 (a ≠ 0), b = 6.
Проверка: 36 : (3 + 6) = 4, 36 : (3·6) = 2.
Ответ: 36.
507. Если числитель обыкновенной дроби возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2. Если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная 1/4. Найдите эту дробь.
Пусть дробь x/y. По условию x²/(y − 1) = 2 и (x − 1)/(y + 1) = 1/4.
Из первого y = x²/2 + 1. Из второго 4(x − 1) = y + 1, y = 4x − 5. Приравняем: x²/2 + 1 = 4x − 5, x² − 8x + 12 = 0, x = 2 или x = 6. Тогда y = 3 или y = 19.
Проверка: 2/3: 4/(3 − 1) = 2, (2 − 1)/(3 + 1) = 1/4. 6/19: 36/18 = 2, 5/20 = 1/4.
Ответ: 2/3 или 6/19.
Из первого y = x²/2 + 1. Из второго 4(x − 1) = y + 1, y = 4x − 5. Приравняем: x²/2 + 1 = 4x − 5, x² − 8x + 12 = 0, x = 2 или x = 6. Тогда y = 3 или y = 19.
Проверка: 2/3: 4/(3 − 1) = 2, (2 − 1)/(3 + 1) = 1/4. 6/19: 36/18 = 2, 5/20 = 1/4.
Ответ: 2/3 или 6/19.
508. Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная 3/4. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная 1/2. Найдите эту дробь.
Пусть дробь x/y. По условию (x + 7)/y² = 3/4 и x/(y + 6) = 1/2.
Из второго x = (y + 6)/2. Из первого 4(x + 7) = 3y², 4x + 28 = 3y². Подставим x: 2(y + 6) + 28 = 3y², 3y² − 2y − 40 = 0, D = 4 + 480 = 484, y = (2 ± 22)/6, y = 4 или y = −10/3. Знаменатель обыкновенной дроби — натуральное число, поэтому y = 4, x = 5.
Проверка: (5 + 7)/16 = 3/4, 5/(4 + 6) = 1/2.
Ответ: 5/4.
Из второго x = (y + 6)/2. Из первого 4(x + 7) = 3y², 4x + 28 = 3y². Подставим x: 2(y + 6) + 28 = 3y², 3y² − 2y − 40 = 0, D = 4 + 480 = 484, y = (2 ± 22)/6, y = 4 или y = −10/3. Знаменатель обыкновенной дроби — натуральное число, поэтому y = 4, x = 5.
Проверка: (5 + 7)/16 = 3/4, 5/(4 + 6) = 1/2.
Ответ: 5/4.
509. Диагональ прямоугольника равна 15 см. Если одну из его сторон уменьшить на 6 см, а другую уменьшить на 8 см, то периметр уменьшится в 3 раза. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть стороны a и b см. Тогда a² + b² = 225 (теорема Пифагора). Периметр 2(a + b); после уменьшения сторон на 6 и 8 см он равен 2(a + b − 14). По условию 2(a + b) = 3·2(a + b − 14), a + b = 3a + 3b − 42, 2(a + b) = 42, a + b = 21.
Тогда (a + b)² = 441 = a² + b² + 2ab = 225 + 2ab, ab = 108. По теореме, обратной теореме Виета, a и b — корни t² − 21t + 108 = 0, D = 441 − 432 = 9, t = (21 ± 3)/2, t = 12 или t = 9.
Проверка: 9² + 12² = 81 + 144 = 225; периметр 42; после уменьшения сторон (например, 9 − 6 = 3 и 12 − 8 = 4) периметр 14, это в 3 раза меньше.
Ответ: 9 см и 12 см.
Тогда (a + b)² = 441 = a² + b² + 2ab = 225 + 2ab, ab = 108. По теореме, обратной теореме Виета, a и b — корни t² − 21t + 108 = 0, D = 441 − 432 = 9, t = (21 ± 3)/2, t = 12 или t = 9.
Проверка: 9² + 12² = 81 + 144 = 225; периметр 42; после уменьшения сторон (например, 9 − 6 = 3 и 12 − 8 = 4) периметр 14, это в 3 раза меньше.
Ответ: 9 см и 12 см.
510. Бассейн наполняется через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала одну первую трубу на 5 ч, а затем одну вторую на 7,5 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?
Пусть первая труба наполняет бассейн за x ч, тогда вторая — за x + 5 ч. За 1 ч они наполняют 1/x и 1/(x + 5) бассейна. Первая за 5 ч наполнит 5/x, вторая за 7,5 ч — 7,5/(x + 5); вместе это весь бассейн:
5/x + 7,5/(x + 5) = 1.
Умножим на x(x + 5): 5(x + 5) + 7,5x = x(x + 5), 12,5x + 25 = x² + 5x, x² − 7,5x − 25 = 0, D = 56,25 + 100 = 156,25 = 12,5², x = (7,5 ± 12,5)/2, x = 10 (x = −2,5 не подходит).
Первая труба наполняет бассейн за 10 ч, вторая за 15 ч. Вместе за 1 ч: 1/10 + 1/15 = 1/6 бассейна, значит, за 6 ч.
Ответ: за 6 ч.
5/x + 7,5/(x + 5) = 1.
Умножим на x(x + 5): 5(x + 5) + 7,5x = x(x + 5), 12,5x + 25 = x² + 5x, x² − 7,5x − 25 = 0, D = 56,25 + 100 = 156,25 = 12,5², x = (7,5 ± 12,5)/2, x = 10 (x = −2,5 не подходит).
Первая труба наполняет бассейн за 10 ч, вторая за 15 ч. Вместе за 1 ч: 1/10 + 1/15 = 1/6 бассейна, значит, за 6 ч.
Ответ: за 6 ч.
511. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу и через 2 ч, не закрывая её, открыли вторую. Через 4 ч совместной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна первая. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?
Пусть первая труба наполняет бассейн за x ч, тогда вторая — за x/1,5 = 2x/3 ч. Производительности 1/x и 3/(2x) бассейна в час. Первая работала 2 + 4 = 6 ч, вторая 4 ч:
6/x + 4·3/(2x) = 1, 6/x + 6/x = 1, 12/x = 1, x = 12.
Первая труба наполнит бассейн за 12 ч, вторая за 2·12/3 = 8 ч.
Проверка: за 6 ч первая наполнит 6/12 = 1/2, вторая за 4 ч — 4/8 = 1/2, вместе целый бассейн.
Ответ: за 12 ч и за 8 ч.
6/x + 4·3/(2x) = 1, 6/x + 6/x = 1, 12/x = 1, x = 12.
Первая труба наполнит бассейн за 12 ч, вторая за 2·12/3 = 8 ч.
Проверка: за 6 ч первая наполнит 6/12 = 1/2, вторая за 4 ч — 4/8 = 1/2, вместе целый бассейн.
Ответ: за 12 ч и за 8 ч.
512. Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, одновременно навстречу друг другу выходят два поезда и встречаются через 3 ч. На весь путь один из поездов тратит на 1 ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость каждого поезда.
За 3 ч поезда вместе проходят 270 км, поэтому сумма скоростей 270 : 3 = 90 км/ч. 1 ч 21 мин = 1 21/60 ч = 1,35 ч.
Пусть скорость медленного поезда x км/ч, тогда скорость второго 90 − x км/ч. Время на весь путь 270/x и 270/(90 − x) ч, разница 1,35 ч:
270/x − 270/(90 − x) = 1,35.
Умножим на x(90 − x): 270(90 − x) − 270x = 1,35x(90 − x), 24300 − 540x = 121,5x − 1,35x², 1,35x² − 661,5x + 24300 = 0, x² − 490x + 18000 = 0, D = 240100 − 72000 = 168100 = 410², x = (490 ± 410)/2, x = 40 или x = 450. Значение 450 не подходит (скорость меньше 90).
x = 40, вторая скорость 90 − 40 = 50.
Проверка: 270/40 = 6,75 ч, 270/50 = 5,4 ч, разница 1,35 ч.
Ответ: 40 км/ч и 50 км/ч.
Пусть скорость медленного поезда x км/ч, тогда скорость второго 90 − x км/ч. Время на весь путь 270/x и 270/(90 − x) ч, разница 1,35 ч:
270/x − 270/(90 − x) = 1,35.
Умножим на x(90 − x): 270(90 − x) − 270x = 1,35x(90 − x), 24300 − 540x = 121,5x − 1,35x², 1,35x² − 661,5x + 24300 = 0, x² − 490x + 18000 = 0, D = 240100 − 72000 = 168100 = 410², x = (490 ± 410)/2, x = 40 или x = 450. Значение 450 не подходит (скорость меньше 90).
x = 40, вторая скорость 90 − 40 = 50.
Проверка: 270/40 = 6,75 ч, 270/50 = 5,4 ч, разница 1,35 ч.
Ответ: 40 км/ч и 50 км/ч.
513. Из пунктов M и N выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один из них приехал в пункт N через 1 ч 15 мин после встречи, а другой — в пункт M через 48 мин после встречи. Расстояние между пунктами M и N равно 90 км. Найдите скорости автомобилей.
Пусть скорость автомобиля из M равна x км/ч, из N — y км/ч, до встречи они ехали t ч. 1 ч 15 мин = 1,25 ч, 48 мин = 0,8 ч.
До встречи первый проехал xt, второй yt. После встречи первый проехал путь, который до этого проехал второй: yt = 1,25x. Второй проехал путь первого: xt = 0,8y. Перемножим равенства: xyt² = xy·1,25·0,8 = xy, откуда t = 1 (ч).
Тогда y = 1,25x. До встречи автомобили вместе проехали всё расстояние: (x + y)·1 = 90, x + 1,25x = 90, x = 40, y = 50.
Проверка: за 1 ч они проехали 40 и 50 км; первому осталось 50 км, это 50 : 40 = 1,25 ч; второму осталось 40 км, это 40 : 50 = 0,8 ч.
Ответ: 40 км/ч (автомобиль из M) и 50 км/ч (автомобиль из N).
До встречи первый проехал xt, второй yt. После встречи первый проехал путь, который до этого проехал второй: yt = 1,25x. Второй проехал путь первого: xt = 0,8y. Перемножим равенства: xyt² = xy·1,25·0,8 = xy, откуда t = 1 (ч).
Тогда y = 1,25x. До встречи автомобили вместе проехали всё расстояние: (x + y)·1 = 90, x + 1,25x = 90, x = 40, y = 50.
Проверка: за 1 ч они проехали 40 и 50 км; первому осталось 50 км, это 50 : 40 = 1,25 ч; второму осталось 40 км, это 40 : 50 = 0,8 ч.
Ответ: 40 км/ч (автомобиль из M) и 50 км/ч (автомобиль из N).
514. Двое туристов идут навстречу друг другу из пунктов A и B. Первый вышел из пункта A на 6 ч позже, чем второй из пункта B, и при встрече оказалось, что он прошёл на 12 км меньше второго. Продолжая движение с той же скоростью, первый пришёл в пункт B через 8 ч, а второй — в пункт A через 9 ч после встречи. Найдите скорость каждого туриста.
Пусть скорость первого туриста v₁ км/ч, второго v₂ км/ч. Обозначим точку встречи C. Первый до встречи прошёл AC, после встречи — CB за 8 ч: CB = 8v₁. Второй до встречи прошёл BC, после встречи — CA за 9 ч: CA = 9v₂. Но BC = CB и CA = AC, поэтому до встречи второй прошёл 8v₁, а первый — 9v₂.
По условию первый прошёл на 12 км меньше: 9v₂ = 8v₁ − 12.
Время до встречи у первого 9v₂/v₁ ч, у второго 8v₁/v₂ ч; второй шёл на 6 ч дольше: 8v₁/v₂ − 9v₂/v₁ = 6.
Пусть r = v₁/v₂, тогда 8r − 9/r = 6, 8r² − 6r − 9 = 0, D = 36 + 288 = 324, r = (6 ± 18)/16, r = 1,5 (отрицательное значение не подходит). Тогда v₁ = 1,5v₂, и 9v₂ = 12v₂ − 12, v₂ = 4, v₁ = 6.
Проверка: до встречи первый шёл 9·4/6 = 6 ч и прошёл 36 км; второй шёл 8·6/4 = 12 ч и прошёл 48 км; 48 − 36 = 12 км, 12 − 6 = 6 ч.
Ответ: 6 км/ч (первый) и 4 км/ч (второй).
По условию первый прошёл на 12 км меньше: 9v₂ = 8v₁ − 12.
Время до встречи у первого 9v₂/v₁ ч, у второго 8v₁/v₂ ч; второй шёл на 6 ч дольше: 8v₁/v₂ − 9v₂/v₁ = 6.
Пусть r = v₁/v₂, тогда 8r − 9/r = 6, 8r² − 6r − 9 = 0, D = 36 + 288 = 324, r = (6 ± 18)/16, r = 1,5 (отрицательное значение не подходит). Тогда v₁ = 1,5v₂, и 9v₂ = 12v₂ − 12, v₂ = 4, v₁ = 6.
Проверка: до встречи первый шёл 9·4/6 = 6 ч и прошёл 36 км; второй шёл 8·6/4 = 12 ч и прошёл 48 км; 48 − 36 = 12 км, 12 − 6 = 6 ч.
Ответ: 6 км/ч (первый) и 4 км/ч (второй).