Глава IV. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 8 — с. 148
515. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: а) y − 2x > 2; б) x + y < −1.
а) Перепишем: y > 2x + 2. Граница — прямая y = 2x + 2 (через точки (0; 2) и (−1; 0)), в решение не входит (строгий знак), чертим пунктиром. Проверка точкой (0; 0): 0 − 0 > 2 неверно, значит, решения лежат в полуплоскости выше прямой (не содержащей начала координат).
б) Перепишем: y < −x − 1. Граница — прямая x + y = −1 (через точки (0; −1) и (−1; 0)), пунктиром. Проверка точкой (0; 0): 0 < −1 неверно, значит, решения лежат ниже прямой.
Множества решений заштрихованы на рисунке.
б) Перепишем: y < −x − 1. Граница — прямая x + y = −1 (через точки (0; −1) и (−1; 0)), пунктиром. Проверка точкой (0; 0): 0 < −1 неверно, значит, решения лежат ниже прямой.
Множества решений заштрихованы на рисунке.
516. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством: а) (x − 3)² + (y + 3)² ≤ 4; б) y ≤ x² − 5x + 6.
а) Уравнение (x − 3)² + (y + 3)² = 4 задаёт окружность с центром (3; −3) и радиусом 2. Неравенство ≤ описывает точки, расстояние от которых до центра не больше 2, то есть круг с границей.
б) Граница — парабола y = x² − 5x + 6 = (x − 2,5)² − 0,25; ветви вверх, вершина (2,5; −0,25), нули x = 2 и x = 3 (корни x² − 5x + 6 = 0), точка пересечения с осью y — (0; 6). Проверка точкой (0; 0): 0 ≤ 6 верно, значит, решения — точки на параболе и ниже неё (вне «внутренней» области параболы).
Множества решений заштрихованы на рисунке.
б) Граница — парабола y = x² − 5x + 6 = (x − 2,5)² − 0,25; ветви вверх, вершина (2,5; −0,25), нули x = 2 и x = 3 (корни x² − 5x + 6 = 0), точка пересечения с осью y — (0; 6). Проверка точкой (0; 0): 0 ≤ 6 верно, значит, решения — точки на параболе и ниже неё (вне «внутренней» области параболы).
Множества решений заштрихованы на рисунке.
517. Где на координатной плоскости расположены точки, у которых: а) абсцисса больше ординаты; б) ордината больше абсциссы?
а) Абсцисса больше ординаты: x > y, то есть y < x. Границей служит прямая y = x (биссектриса первой и третьей координатных четвертей), на ней абсцисса равна ординате, поэтому её точки не входят. Искомые точки лежат ниже прямой y = x (например, (1; 0): 1 > 0).
б) Ордината больше абсциссы: y > x. Искомые точки лежат выше прямой y = x, сама прямая не входит (например, (0; 1): 1 > 0).
Множества заштрихованы на рисунке.
б) Ордината больше абсциссы: y > x. Искомые точки лежат выше прямой y = x, сама прямая не входит (например, (0; 1): 1 > 0).
Множества заштрихованы на рисунке.
518. Какое множество точек координатной плоскости задаётся неравенством: а) x² + y² − 4x − 8y ≤ 0; б) x² − 6x + y + 4 > 0?
а) Выделим полные квадраты: (x² − 4x + 4) + (y² − 8y + 16) ≤ 4 + 16, то есть (x − 2)² + (y − 4)² ≤ 20. Это круг с центром (2; 4) и радиусом √20 = 2√5 ≈ 4,5, включая границу-окружность.
б) Выразим y: y > −x² + 6x − 4 = −(x² − 6x + 9) + 9 − 4 = −(x − 3)² + 5. Граница — парабола y = −(x − 3)² + 5 с вершиной (3; 5), ветви вниз (пунктиром, так как знак строгий). Проверка точкой (3; 6): 9 − 18 + 6 + 4 = 1 > 0 верно. Множество — точки, расположенные выше этой параболы (внутри её «чаши»), без самой параболы.
Множества заштрихованы на рисунке.
б) Выразим y: y > −x² + 6x − 4 = −(x² − 6x + 9) + 9 − 4 = −(x − 3)² + 5. Граница — парабола y = −(x − 3)² + 5 с вершиной (3; 5), ветви вниз (пунктиром, так как знак строгий). Проверка точкой (3; 6): 9 − 18 + 6 + 4 = 1 > 0 верно. Множество — точки, расположенные выше этой параболы (внутри её «чаши»), без самой параболы.
Множества заштрихованы на рисунке.
519. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: а) y ≥ |x|; б) y ≤ |x − 2|.
а) График y = |x| — угол с вершиной (0; 0): для x ≥ 0 это прямая y = x, для x < 0 — прямая y = −x. Условие y ≥ |x| выполняется для точек на этом угле и выше него (например, (0; 1): 1 ≥ 0). Это прямой угол с вершиной в начале координат, ограниченный лучами y = x и y = −x (x ≤ 0) и содержащий положительную полуось y.
б) График y = |x − 2| получается из графика y = |x| сдвигом на 2 единицы вправо: угол с вершиной (2; 0), сторонами y = x − 2 при x ≥ 2 и y = 2 − x при x < 2. Условие y ≤ |x − 2| выполняется для точек на этом угле и ниже него (например, (2; −1): −1 ≤ 0). Это множество — всё, что лежит не выше угла: область под графиком, включая сам график.
Множества решений заштрихованы на рисунке.
б) График y = |x − 2| получается из графика y = |x| сдвигом на 2 единицы вправо: угол с вершиной (2; 0), сторонами y = x − 2 при x ≥ 2 и y = 2 − x при x < 2. Условие y ≤ |x − 2| выполняется для точек на этом угле и ниже него (например, (2; −1): −1 ≤ 0). Это множество — всё, что лежит не выше угла: область под графиком, включая сам график.
Множества решений заштрихованы на рисунке.
520. Какое множество точек задаёт на координатной плоскости неравенство: а) (x − 1)(y − 1) ≥ 0; б) x² − y² > 0?
а) Произведение двух множителей неотрицательно, если оба множителя неотрицательны или оба неположительны: {x − 1 ≥ 0, y − 1 ≥ 0} или {x − 1 ≤ 0, y − 1 ≤ 0}. То есть x ≥ 1 и y ≥ 1, либо x ≤ 1 и y ≤ 1. Множество — объединение двух прямых углов с общей вершиной (1; 1): угла, содержащего точку (2; 2), и угла, содержащего точку (0; 0); границы (лучи прямых x = 1 и y = 1) входят.
б) x² − y² = (x − y)(x + y) > 0, значит, x − y и x + y одного знака: {x − y > 0, x + y > 0} (то есть y < x и y > −x) или {x − y < 0, x + y < 0} (y > x и y < −x). Прямые y = x и y = −x делят плоскость на четыре угла; множество — два вертикальных угла, содержащие положительную и отрицательную полуоси x (например, точка (1; 0): 1 > 0). Границы y = ±x не входят (пунктир).
Множества заштрихованы на рисунке.
б) x² − y² = (x − y)(x + y) > 0, значит, x − y и x + y одного знака: {x − y > 0, x + y > 0} (то есть y < x и y > −x) или {x − y < 0, x + y < 0} (y > x и y < −x). Прямые y = x и y = −x делят плоскость на четыре угла; множество — два вертикальных угла, содержащие положительную и отрицательную полуоси x (например, точка (1; 0): 1 > 0). Границы y = ±x не входят (пунктир).
Множества заштрихованы на рисунке.
521. Докажите, что неравенством |x| + |y| ≤ 1 на координатной плоскости задаётся фигура, изображённая на рисунке 66. [рисунок 66: заштрихованный квадрат с вершинами (1; 0), (0; 1), (−1; 0), (0; −1)]
Рассмотрим неравенство по координатным четвертям (раскрываем модули).
1) x ≥ 0, y ≥ 0: x + y ≤ 1, то есть y ≤ 1 − x. Это треугольник с вершинами (0; 0), (1; 0), (0; 1) в первой четверти.
2) x ≤ 0, y ≥ 0: −x + y ≤ 1, y ≤ 1 + x. Треугольник с вершинами (0; 0), (−1; 0), (0; 1) во второй четверти.
3) x ≤ 0, y ≤ 0: −x − y ≤ 1, y ≥ −1 − x. Треугольник с вершинами (0; 0), (−1; 0), (0; −1) в третьей четверти.
4) x ≥ 0, y ≤ 0: x − y ≤ 1, y ≥ x − 1. Треугольник с вершинами (0; 0), (1; 0), (0; −1) в четвёртой четверти.
Границы лежат на прямых x + y = 1, −x + y = 1, −x − y = 1, x − y = 1. Эти четыре треугольника имеют общую вершину (0; 0), соседние из них примыкают по общим сторонам на осях и вместе образуют четырёхугольник с вершинами (1; 0), (0; 1), (−1; 0), (0; −1). У него все стороны равны √2 и диагонали равны 2 и перпендикулярны, значит, это квадрат. Именно эта фигура (вместе с границей) изображена на рисунке 66. Что и требовалось доказать.
1) x ≥ 0, y ≥ 0: x + y ≤ 1, то есть y ≤ 1 − x. Это треугольник с вершинами (0; 0), (1; 0), (0; 1) в первой четверти.
2) x ≤ 0, y ≥ 0: −x + y ≤ 1, y ≤ 1 + x. Треугольник с вершинами (0; 0), (−1; 0), (0; 1) во второй четверти.
3) x ≤ 0, y ≤ 0: −x − y ≤ 1, y ≥ −1 − x. Треугольник с вершинами (0; 0), (−1; 0), (0; −1) в третьей четверти.
4) x ≥ 0, y ≤ 0: x − y ≤ 1, y ≥ x − 1. Треугольник с вершинами (0; 0), (1; 0), (0; −1) в четвёртой четверти.
Границы лежат на прямых x + y = 1, −x + y = 1, −x − y = 1, x − y = 1. Эти четыре треугольника имеют общую вершину (0; 0), соседние из них примыкают по общим сторонам на осях и вместе образуют четырёхугольник с вершинами (1; 0), (0; 1), (−1; 0), (0; −1). У него все стороны равны √2 и диагонали равны 2 и перпендикулярны, значит, это квадрат. Именно эта фигура (вместе с границей) изображена на рисунке 66. Что и требовалось доказать.
522. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств: а) x² + y² ≤ 25, xy ≤ 0; б) x² + y² ≥ 9, xy ≥ 0.
а) x² + y² ≤ 25 — круг радиуса 5 с центром (0; 0) вместе с границей. xy ≤ 0 — точки, у которых координаты имеют разные знаки или хотя бы одна равна нулю: вторая и четвёртая координатные четверти вместе с осями координат. Решение — часть круга, лежащая во второй и четвёртой четвертях (две четверти круга), с границами, в том числе с отрезками осей x и y внутри круга.
б) x² + y² ≥ 9 — точки вне круга радиуса 3 и на его окружности. xy ≥ 0 — первая и третья четверти вместе с осями. Решение — части первой и третьей четвертей вне круга радиуса 3, включая дуги окружности и лучи осей (x ≥ 3, x ≤ −3, y ≥ 3, y ≤ −3); при этом точки осей внутри круга не входят.
Множества решений заштрихованы на рисунке.
б) x² + y² ≥ 9 — точки вне круга радиуса 3 и на его окружности. xy ≥ 0 — первая и третья четверти вместе с осями. Решение — части первой и третьей четвертей вне круга радиуса 3, включая дуги окружности и лучи осей (x ≥ 3, x ≤ −3, y ≥ 3, y ≤ −3); при этом точки осей внутри круга не входят.
Множества решений заштрихованы на рисунке.
523. Укажите какие-нибудь значения k и b, при которых система неравенств y ≤ 2x + 3, y ≥ kx + b задаёт на координатной плоскости: а) полосу; б) угол.
Первое неравенство задаёт полуплоскость ниже прямой y = 2x + 3 (с границей), второе — выше прямой y = kx + b (с границей).
а) Полоса получается, если прямые параллельны, то есть k = 2, и прямая y = 2x + b лежит ниже прямой y = 2x + 3, то есть b < 3. Например, k = 2, b = 0: система 2x ≤ y ≤ 2x + 3 задаёт полосу между прямыми y = 2x и y = 2x + 3.
б) Угол получается, если прямые пересекаются, то есть k ≠ 2 (b любое). Например, k = 0, b = 0: система y ≤ 2x + 3, y ≥ 0 задаёт угол с вершиной (−1,5; 0), расположенный выше оси x и ниже прямой y = 2x + 3.
Ответ: например, а) k = 2, b = 0; б) k = 0, b = 0 (подходят любые k = 2, b < 3 в пункте а) и любые k ≠ 2 в пункте б)).
а) Полоса получается, если прямые параллельны, то есть k = 2, и прямая y = 2x + b лежит ниже прямой y = 2x + 3, то есть b < 3. Например, k = 2, b = 0: система 2x ≤ y ≤ 2x + 3 задаёт полосу между прямыми y = 2x и y = 2x + 3.
б) Угол получается, если прямые пересекаются, то есть k ≠ 2 (b любое). Например, k = 0, b = 0: система y ≤ 2x + 3, y ≥ 0 задаёт угол с вершиной (−1,5; 0), расположенный выше оси x и ниже прямой y = 2x + 3.
Ответ: например, а) k = 2, b = 0; б) k = 0, b = 0 (подходят любые k = 2, b < 3 в пункте а) и любые k ≠ 2 в пункте б)).
524. Каким множеством точек изображается множество решений неравенства: а) y(x² + y² − 1) ≥ 0; б) x(x² − y) ≤ 0?
а) Произведение неотрицательно, если множители одного знака (или один равен нулю): {y ≥ 0, x² + y² − 1 ≥ 0} или {y ≤ 0, x² + y² − 1 ≤ 0}.
Первая система — верхняя полуплоскость y ≥ 0 вне круга x² + y² < 1 (точки окружности входят). Вторая — нижняя половина круга x² + y² ≤ 1 (y ≤ 0) с границей. Итак, множество — объединение двух областей: верхней полуплоскости, из которой удалён открытый полукруг радиуса 1 (с центром в начале координат), и нижнего полукруга радиуса 1 с границей. Ось x и окружность x² + y² = 1 целиком входят в множество.
б) Произведение неположительно: {x ≥ 0, x² − y ≤ 0} или {x ≤ 0, x² − y ≥ 0}. Первая система: x ≥ 0 и y ≥ x² — часть плоскости правее оси y и не ниже параболы y = x² (внутри параболы, при x ≥ 0). Вторая: x ≤ 0 и y ≤ x² — часть плоскости левее оси y и не выше параболы (вне параболы, при x ≤ 0). Граница — парабола y = x² и ось y; обе входят в множество.
Множества заштрихованы на рисунке.
Первая система — верхняя полуплоскость y ≥ 0 вне круга x² + y² < 1 (точки окружности входят). Вторая — нижняя половина круга x² + y² ≤ 1 (y ≤ 0) с границей. Итак, множество — объединение двух областей: верхней полуплоскости, из которой удалён открытый полукруг радиуса 1 (с центром в начале координат), и нижнего полукруга радиуса 1 с границей. Ось x и окружность x² + y² = 1 целиком входят в множество.
б) Произведение неположительно: {x ≥ 0, x² − y ≤ 0} или {x ≤ 0, x² − y ≥ 0}. Первая система: x ≥ 0 и y ≥ x² — часть плоскости правее оси y и не ниже параболы y = x² (внутри параболы, при x ≥ 0). Вторая: x ≤ 0 и y ≤ x² — часть плоскости левее оси y и не выше параболы (вне параболы, при x ≤ 0). Граница — парабола y = x² и ось y; обе входят в множество.
Множества заштрихованы на рисунке.