Глава V. §9. п.26 Последовательности — с. 152
527. Пусть (aₙ) — последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые десять членов этой последовательности. Найдите a₂₀, a₄₀, aₙ.
Член последовательности с номером n равен n², то есть aₙ = n².
Первые десять членов: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100.
a₂₀ = 20² = 400; a₄₀ = 40² = 1600; aₙ = n².
Ответ: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; a₂₀ = 400, a₄₀ = 1600, aₙ = n².
Первые десять членов: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100.
a₂₀ = 20² = 400; a₄₀ = 40² = 1600; aₙ = n².
Ответ: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; a₂₀ = 400, a₄₀ = 1600, aₙ = n².
528. Какой член последовательности a₁, a₂, a₃, … : а) следует за членом a₉₉, a₂₀₀, aₙ, aₙ₋₁, aₙ₊₁, a₂ₙ; б) предшествует члену a₇₁, a₁₀₀, aₙ₋₂, aₙ₊₃, a₃ₙ?
За членом с номером m следует член с номером m + 1, а члену с номером m предшествует член с номером m − 1.
а) За a₉₉ следует a₁₀₀; за a₂₀₀ — a₂₀₁; за aₙ — aₙ₊₁; за aₙ₋₁ — aₙ; за aₙ₊₁ — aₙ₊₂; за a₂ₙ — a₂ₙ₊₁.
б) a₇₁ предшествует a₇₀; a₁₀₀ — a₉₉; aₙ₋₂ — aₙ₋₃; aₙ₊₃ — aₙ₊₂; a₃ₙ — a₃ₙ₋₁.
Ответ: а) a₁₀₀, a₂₀₁, aₙ₊₁, aₙ, aₙ₊₂, a₂ₙ₊₁; б) a₇₀, a₉₉, aₙ₋₃, aₙ₊₂, a₃ₙ₋₁.
а) За a₉₉ следует a₁₀₀; за a₂₀₀ — a₂₀₁; за aₙ — aₙ₊₁; за aₙ₋₁ — aₙ; за aₙ₊₁ — aₙ₊₂; за a₂ₙ — a₂ₙ₊₁.
б) a₇₁ предшествует a₇₀; a₁₀₀ — a₉₉; aₙ₋₂ — aₙ₋₃; aₙ₊₃ — aₙ₊₂; a₃ₙ — a₃ₙ₋₁.
Ответ: а) a₁₀₀, a₂₀₁, aₙ₊₁, aₙ, aₙ₊₂, a₂ₙ₊₁; б) a₇₀, a₉₉, aₙ₋₃, aₙ₊₂, a₃ₙ₋₁.
529. Перечислите члены последовательности (xₙ), которые расположены между: а) x₃₁ и x₃₅; б) xₙ и xₙ₊₆; в) xₙ₋₄ и xₙ; г) xₙ₋₂ и xₙ₊₂.
Между членами с номерами p и q (p < q) расположены члены с номерами p + 1, p + 2, …, q − 1.
а) Между x₃₁ и x₃₅: x₃₂, x₃₃, x₃₄.
б) Между xₙ и xₙ₊₆: xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅.
в) Между xₙ₋₄ и xₙ: xₙ₋₃, xₙ₋₂, xₙ₋₁.
г) Между xₙ₋₂ и xₙ₊₂: xₙ₋₁, xₙ, xₙ₊₁.
Ответ: а) x₃₂, x₃₃, x₃₄; б) xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅; в) xₙ₋₃, xₙ₋₂, xₙ₋₁; г) xₙ₋₁, xₙ, xₙ₊₁.
а) Между x₃₁ и x₃₅: x₃₂, x₃₃, x₃₄.
б) Между xₙ и xₙ₊₆: xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅.
в) Между xₙ₋₄ и xₙ: xₙ₋₃, xₙ₋₂, xₙ₋₁.
г) Между xₙ₋₂ и xₙ₊₂: xₙ₋₁, xₙ, xₙ₊₁.
Ответ: а) x₃₂, x₃₃, x₃₄; б) xₙ₊₁, xₙ₊₂, xₙ₊₃, xₙ₊₄, xₙ₊₅; в) xₙ₋₃, xₙ₋₂, xₙ₋₁; г) xₙ₋₁, xₙ, xₙ₊₁.
530. Найдите первые шесть членов последовательности, заданной формулой n-го члена: а) xₙ = 2n − 1; б) xₙ = n² + 1; в) xₙ = n/(n + 1); г) xₙ = (−1)^(n+1) · 2; д) xₙ = 2^(n−3); е) xₙ = 0,5 · 4ⁿ.
Подставляем n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
а) xₙ = 2n − 1: 1; 3; 5; 7; 9; 11.
б) xₙ = n² + 1: 2; 5; 10; 17; 26; 37.
в) xₙ = n/(n + 1): 1/2; 2/3; 3/4; 4/5; 5/6; 6/7.
г) xₙ = (−1)^(n+1) · 2: при нечётном n показатель n + 1 чётный, и член равен 2; при чётном n он равен −2. Получаем 2; −2; 2; −2; 2; −2.
д) xₙ = 2^(n−3): 2⁻² = 1/4; 2⁻¹ = 1/2; 2⁰ = 1; 2; 4; 8.
е) xₙ = 0,5 · 4ⁿ: 0,5·4 = 2; 0,5·16 = 8; 0,5·64 = 32; 0,5·256 = 128; 0,5·1024 = 512; 0,5·4096 = 2048.
Ответ: а) 1; 3; 5; 7; 9; 11; б) 2; 5; 10; 17; 26; 37; в) 1/2; 2/3; 3/4; 4/5; 5/6; 6/7; г) 2; −2; 2; −2; 2; −2; д) 1/4; 1/2; 1; 2; 4; 8; е) 2; 8; 32; 128; 512; 2048.
Оговорка: показатель в пункте д) на скане читается как n − 3 (знак минус плохо различим).
а) xₙ = 2n − 1: 1; 3; 5; 7; 9; 11.
б) xₙ = n² + 1: 2; 5; 10; 17; 26; 37.
в) xₙ = n/(n + 1): 1/2; 2/3; 3/4; 4/5; 5/6; 6/7.
г) xₙ = (−1)^(n+1) · 2: при нечётном n показатель n + 1 чётный, и член равен 2; при чётном n он равен −2. Получаем 2; −2; 2; −2; 2; −2.
д) xₙ = 2^(n−3): 2⁻² = 1/4; 2⁻¹ = 1/2; 2⁰ = 1; 2; 4; 8.
е) xₙ = 0,5 · 4ⁿ: 0,5·4 = 2; 0,5·16 = 8; 0,5·64 = 32; 0,5·256 = 128; 0,5·1024 = 512; 0,5·4096 = 2048.
Ответ: а) 1; 3; 5; 7; 9; 11; б) 2; 5; 10; 17; 26; 37; в) 1/2; 2/3; 3/4; 4/5; 5/6; 6/7; г) 2; −2; 2; −2; 2; −2; д) 1/4; 1/2; 1; 2; 4; 8; е) 2; 8; 32; 128; 512; 2048.
Оговорка: показатель в пункте д) на скане читается как n − 3 (знак минус плохо различим).
531. Последовательность (bₙ) задана формулой bₙ = 2n² + 3n. Найдите: а) b₅; б) b₁₀; в) b₅₀.
а) b₅ = 2·5² + 3·5 = 50 + 15 = 65.
б) b₁₀ = 2·10² + 3·10 = 200 + 30 = 230.
в) b₅₀ = 2·50² + 3·50 = 5000 + 150 = 5150.
Ответ: а) 65; б) 230; в) 5150.
б) b₁₀ = 2·10² + 3·10 = 200 + 30 = 230.
в) b₅₀ = 2·50² + 3·50 = 5000 + 150 = 5150.
Ответ: а) 65; б) 230; в) 5150.
532. Последовательность (aₙ) задана формулой aₙ = n² − n − 20. Укажите номера отрицательных членов последовательности и вычислите эти члены.
Решим неравенство n² − n − 20 < 0. Корни трёхчлена: n² − n − 20 = (n − 5)(n + 4), корни 5 и −4. Неравенство (n − 5)(n + 4) < 0 верно при −4 < n < 5. Номера — натуральные числа, поэтому n = 1, 2, 3, 4.
a₁ = 1 − 1 − 20 = −20; a₂ = 4 − 2 − 20 = −18; a₃ = 9 − 3 − 20 = −14; a₄ = 16 − 4 − 20 = −8. При n = 5 член равен 0 (не отрицательный), далее члены положительны.
Ответ: отрицательные члены имеют номера 1, 2, 3, 4: a₁ = −20, a₂ = −18, a₃ = −14, a₄ = −8.
a₁ = 1 − 1 − 20 = −20; a₂ = 4 − 2 − 20 = −18; a₃ = 9 − 3 − 20 = −14; a₄ = 16 − 4 − 20 = −8. При n = 5 член равен 0 (не отрицательный), далее члены положительны.
Ответ: отрицательные члены имеют номера 1, 2, 3, 4: a₁ = −20, a₂ = −18, a₃ = −14, a₄ = −8.
533. Вычислите второй, третий, четвёртый и пятый члены последовательности (bₙ), если известно, что: а) первый член равен 10, а каждый следующий на 3 больше предыдущего, т. е. b₁ = 10 и bₙ₊₁ = bₙ + 3; б) первый член равен 40, а каждый следующий равен предыдущему, делённому на 2, т. е. b₁ = 40 и bₙ₊₁ = bₙ/2.
а) b₂ = 10 + 3 = 13; b₃ = 13 + 3 = 16; b₄ = 16 + 3 = 19; b₅ = 19 + 3 = 22.
б) b₂ = 40/2 = 20; b₃ = 20/2 = 10; b₄ = 10/2 = 5; b₅ = 5/2 = 2,5.
Ответ: а) 13; 16; 19; 22; б) 20; 10; 5; 2,5.
б) b₂ = 40/2 = 20; b₃ = 20/2 = 10; b₄ = 10/2 = 5; b₅ = 5/2 = 2,5.
Ответ: а) 13; 16; 19; 22; б) 20; 10; 5; 2,5.
534. Выпишите первые пять членов последовательности (aₙ), если: а) a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 1; б) a₁ = 1000, aₙ₊₁ = 0,1aₙ; в) a₁ = 16, aₙ₊₁ = −0,5aₙ; г) a₁ = 3, aₙ₊₁ = aₙ⁻¹.
а) Каждый следующий член на 1 больше предыдущего: 1; 2; 3; 4; 5.
б) Каждый следующий член в 10 раз меньше: 1000; 100; 10; 1; 0,1.
в) Каждый следующий член получается умножением на −0,5: 16; −8; 4; −2; 1.
г) aₙ₊₁ = aₙ⁻¹ — число, обратное предыдущему: a₁ = 3, a₂ = 1/3, a₃ = (1/3)⁻¹ = 3, a₄ = 1/3, a₅ = 3. Получаем 3; 1/3; 3; 1/3; 3.
Ответ: а) 1; 2; 3; 4; 5; б) 1000; 100; 10; 1; 0,1; в) 16; −8; 4; −2; 1; г) 3; 1/3; 3; 1/3; 3.
б) Каждый следующий член в 10 раз меньше: 1000; 100; 10; 1; 0,1.
в) Каждый следующий член получается умножением на −0,5: 16; −8; 4; −2; 1.
г) aₙ₊₁ = aₙ⁻¹ — число, обратное предыдущему: a₁ = 3, a₂ = 1/3, a₃ = (1/3)⁻¹ = 3, a₄ = 1/3, a₅ = 3. Получаем 3; 1/3; 3; 1/3; 3.
Ответ: а) 1; 2; 3; 4; 5; б) 1000; 100; 10; 1; 0,1; в) 16; −8; 4; −2; 1; г) 3; 1/3; 3; 1/3; 3.
535. Выпишите первые четыре члена последовательности (bₙ), если: а) b₁ = 5, bₙ₊₁ = bₙ + 5; б) b₁ = 5, bₙ₊₁ = bₙ · 5.
а) К каждому члену прибавляем 5: 5; 10; 15; 20.
б) Каждый член умножаем на 5: 5; 25; 125; 625.
Ответ: а) 5; 10; 15; 20; б) 5; 25; 125; 625.
б) Каждый член умножаем на 5: 5; 25; 125; 625.
Ответ: а) 5; 10; 15; 20; б) 5; 25; 125; 625.
536. Найдите пару положительных чисел x и y, удовлетворяющих уравнению x² + y² = 45, если известно, что y вдвое больше x.
По условию y = 2x. Подставляем в уравнение: x² + (2x)² = 45, x² + 4x² = 45, 5x² = 45, x² = 9. Так как x > 0, x = 3, тогда y = 2·3 = 6. Проверка: 9 + 36 = 45.
Ответ: x = 3, y = 6.
Ответ: x = 3, y = 6.
537. Решите уравнение: а) 4x⁴ + 4x² − 15 = 0; б) 2x⁴ − x² − 36 = 0.
Уравнения биквадратные: вводим t = x², t ≥ 0.
а) 4t² + 4t − 15 = 0. D = 16 + 240 = 256, √D = 16. t = (−4 + 16)/8 = 1,5 или t = (−4 − 16)/8 = −2,5. Значение −2,5 не подходит (t ≥ 0). Из x² = 1,5 получаем x = ±√1,5.
б) 2t² − t − 36 = 0. D = 1 + 288 = 289, √D = 17. t = (1 + 17)/4 = 4,5 или t = (1 − 17)/4 = −4. Значение −4 не подходит. Из x² = 4,5 получаем x = ±√4,5.
Ответ: а) ±√1,5; б) ±√4,5.
а) 4t² + 4t − 15 = 0. D = 16 + 240 = 256, √D = 16. t = (−4 + 16)/8 = 1,5 или t = (−4 − 16)/8 = −2,5. Значение −2,5 не подходит (t ≥ 0). Из x² = 1,5 получаем x = ±√1,5.
б) 2t² − t − 36 = 0. D = 1 + 288 = 289, √D = 17. t = (1 + 17)/4 = 4,5 или t = (1 − 17)/4 = −4. Значение −4 не подходит. Из x² = 4,5 получаем x = ±√4,5.
Ответ: а) ±√1,5; б) ±√4,5.
538. Решите неравенство: а) x² + x − 42 ≤ 0; б) (x + 11)(x + 4)(x − 1) > 0.
а) x² + x − 42 = (x + 7)(x − 6) (корни −7 и 6). Ветви параболы направлены вверх, значения не больше нуля между корнями включительно: −7 ≤ x ≤ 6.
б) Нули множителей: −11, −4, 1. Применяем метод интервалов. При x > 1 все три множителя положительны, произведение положительно. При переходе через каждый нуль знак меняется: на (−4; 1) знак «−», на (−11; −4) знак «+», при x < −11 знак «−». Нужны промежутки со знаком «+».
Ответ: а) [−7; 6]; б) (−11; −4) ∪ (1; +∞).
б) Нули множителей: −11, −4, 1. Применяем метод интервалов. При x > 1 все три множителя положительны, произведение положительно. При переходе через каждый нуль знак меняется: на (−4; 1) знак «−», на (−11; −4) знак «+», при x < −11 знак «−». Нужны промежутки со знаком «+».
Ответ: а) [−7; 6]; б) (−11; −4) ∪ (1; +∞).