Глава IV. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 7 — с. 146
496. Решите систему уравнений: а) x + y + xy = 5, xy + x − y = 13; б) x + xy + y = 10, xy − 2x − 2y = 2.
а) Вычтем из второго уравнения первое: (xy + x − y) − (x + y + xy) = 13 − 5, −2y = 8, y = −4. Подставим в первое: x − 4 − 4x = 5, −3x = 9, x = −3. Проверка второго: 12 − 3 + 4 = 13. Решение (−3; −4).
б) Пусть u = x + y, v = xy. Тогда u + v = 10, v − 2u = 2. Вычтем: 3u = 8, u = 8/3, v = 22/3. Числа x и y были бы корнями уравнения t² − (8/3)t + 22/3 = 0, то есть 3t² − 8t + 22 = 0. D = 64 − 264 < 0, корней нет. Решений нет.
Ответ: а) (−3; −4); б) решений нет.
б) Пусть u = x + y, v = xy. Тогда u + v = 10, v − 2u = 2. Вычтем: 3u = 8, u = 8/3, v = 22/3. Числа x и y были бы корнями уравнения t² − (8/3)t + 22/3 = 0, то есть 3t² − 8t + 22 = 0. D = 64 − 264 < 0, корней нет. Решений нет.
Ответ: а) (−3; −4); б) решений нет.
497. Решите систему уравнений: а) (x + y)(x − y) = 0, 2x − y = 1; б) x² + y² = 100, (x − 7y)(x + 7y) = 0; в) x² + y² = 25, (x − 3)(y − 5) = 0; г) x² − y² = 50, x(y + 1) = 0.
а) x + y = 0 или x − y = 0. y = −x: 2x + x = 1, x = 1/3, y = −1/3. y = x: 2x − x = 1, x = 1, y = 1. Решения (1/3; −1/3), (1; 1).
б) x = 7y: 49y² + y² = 100, y² = 2, y = ±√2, x = ±7√2. x = −7y: 49y² + y² = 100, y = ±√2, x = ∓7√2. Решения (7√2; √2), (−7√2; −√2), (−7√2; √2), (7√2; −√2).
в) x = 3: 9 + y² = 25, y = ±4. y = 5: x² + 25 = 25, x = 0. Решения (3; 4), (3; −4), (0; 5).
г) x = 0: −y² = 50, решений нет. y = −1: x² − 1 = 50, x² = 51, x = ±√51. Решения (√51; −1), (−√51; −1).
Ответ: а) (1/3; −1/3), (1; 1); б) (±7√2; ±√2) — все четыре сочетания знаков; в) (3; 4), (3; −4), (0; 5); г) (√51; −1), (−√51; −1).
б) x = 7y: 49y² + y² = 100, y² = 2, y = ±√2, x = ±7√2. x = −7y: 49y² + y² = 100, y = ±√2, x = ∓7√2. Решения (7√2; √2), (−7√2; −√2), (−7√2; √2), (7√2; −√2).
в) x = 3: 9 + y² = 25, y = ±4. y = 5: x² + 25 = 25, x = 0. Решения (3; 4), (3; −4), (0; 5).
г) x = 0: −y² = 50, решений нет. y = −1: x² − 1 = 50, x² = 51, x = ±√51. Решения (√51; −1), (−√51; −1).
Ответ: а) (1/3; −1/3), (1; 1); б) (±7√2; ±√2) — все четыре сочетания знаков; в) (3; 4), (3; −4), (0; 5); г) (√51; −1), (−√51; −1).
498. Решите систему уравнений: а) 1/x + 1/y = 1/6, 2x − y = 5; б) 1/x − 1/y = 1/20, x + 2y = 14; в) x + y = 14, x/y + y/x = 2 1/12; г) x − y = 2, x/y − y/x = 5/6.
а) Допустимо x ≠ 0, y ≠ 0. Из второго уравнения y = 2x − 5. Тогда 1/x + 1/(2x − 5) = 1/6; умножим на 6x(2x − 5): 6(2x − 5) + 6x = x(2x − 5), 18x − 30 = 2x² − 5x, 2x² − 23x + 30 = 0, D = 529 − 240 = 289, x = (23 ± 17)/4, x = 10 или x = 1,5. Тогда y = 15 или y = −2. Решения (10; 15), (1,5; −2).
б) x = 14 − 2y. 1/(14 − 2y) − 1/y = 1/20; умножим на 20y(14 − 2y): 20y − 20(14 − 2y) = y(14 − 2y), 60y − 280 = 14y − 2y², 2y² + 46y − 280 = 0, y² + 23y − 140 = 0, D = 529 + 560 = 1089 = 33², y = (−23 ± 33)/2, y = 5 или y = −28. Тогда x = 4 или x = 70. Решения (4; 5), (70; −28).
в) 2 1/12 = 25/12. Пусть t = x/y, тогда t + 1/t = 25/12, 12t² − 25t + 12 = 0, D = 49, t = (25 ± 7)/24, t = 4/3 или t = 3/4. При t = 4/3: x = 4y/3, 7y/3 = 14, y = 6, x = 8. При t = 3/4: x = 3y/4, 7y/4 = 14, y = 8, x = 6. Решения (8; 6), (6; 8).
г) Пусть t = x/y, тогда t − 1/t = 5/6, 6t² − 5t − 6 = 0, D = 25 + 144 = 169, t = (5 ± 13)/12, t = 3/2 или t = −2/3. При t = 3/2: x = 1,5y, 0,5y = 2, y = 4, x = 6. При t = −2/3: x = −2y/3, −5y/3 = 2, y = −1,2, x = 0,8. Решения (6; 4), (0,8; −1,2).
Ответ: а) (10; 15), (1,5; −2); б) (4; 5), (70; −28); в) (8; 6), (6; 8); г) (6; 4), (0,8; −1,2).
б) x = 14 − 2y. 1/(14 − 2y) − 1/y = 1/20; умножим на 20y(14 − 2y): 20y − 20(14 − 2y) = y(14 − 2y), 60y − 280 = 14y − 2y², 2y² + 46y − 280 = 0, y² + 23y − 140 = 0, D = 529 + 560 = 1089 = 33², y = (−23 ± 33)/2, y = 5 или y = −28. Тогда x = 4 или x = 70. Решения (4; 5), (70; −28).
в) 2 1/12 = 25/12. Пусть t = x/y, тогда t + 1/t = 25/12, 12t² − 25t + 12 = 0, D = 49, t = (25 ± 7)/24, t = 4/3 или t = 3/4. При t = 4/3: x = 4y/3, 7y/3 = 14, y = 6, x = 8. При t = 3/4: x = 3y/4, 7y/4 = 14, y = 8, x = 6. Решения (8; 6), (6; 8).
г) Пусть t = x/y, тогда t − 1/t = 5/6, 6t² − 5t − 6 = 0, D = 25 + 144 = 169, t = (5 ± 13)/12, t = 3/2 или t = −2/3. При t = 3/2: x = 1,5y, 0,5y = 2, y = 4, x = 6. При t = −2/3: x = −2y/3, −5y/3 = 2, y = −1,2, x = 0,8. Решения (6; 4), (0,8; −1,2).
Ответ: а) (10; 15), (1,5; −2); б) (4; 5), (70; −28); в) (8; 6), (6; 8); г) (6; 4), (0,8; −1,2).
499. Имеет ли решения система уравнений 3x − 4y = −2, 3x + y² = 10, x² − y² − x + y = 100?
Сначала найдём общие решения первых двух уравнений. Вычтем второе из первого: −4y − y² = −12, y² + 4y − 12 = 0, y = 2 или y = −6.
При y = 2: 3x = −2 + 8 = 6, x = 2. Проверка третьего уравнения: 4 − 4 − 2 + 2 = 0 ≠ 100.
При y = −6: 3x = −2 − 24 = −26, x = −26/3. Третье уравнение: x² − y² − x + y = 676/9 − 36 + 26/3 − 6 = 754/9 − 42 = 376/9 ≠ 100.
Общими решениями первых двух уравнений являются только пары (2; 2) и (−26/3; −6), а они не удовлетворяют третьему уравнению. Система решений не имеет.
Ответ: нет.
При y = 2: 3x = −2 + 8 = 6, x = 2. Проверка третьего уравнения: 4 − 4 − 2 + 2 = 0 ≠ 100.
При y = −6: 3x = −2 − 24 = −26, x = −26/3. Третье уравнение: x² − y² − x + y = 676/9 − 36 + 26/3 − 6 = 754/9 − 42 = 376/9 ≠ 100.
Общими решениями первых двух уравнений являются только пары (2; 2) и (−26/3; −6), а они не удовлетворяют третьему уравнению. Система решений не имеет.
Ответ: нет.
500. Имеют ли общую точку графики уравнений x + y = 7, 2x − y = 2, x² + xy − y² − y = 1?
Общая точка графиков — решение системы из трёх уравнений. Найдём общую точку первых двух прямых: сложим x + y = 7 и 2x − y = 2, получим 3x = 9, x = 3, y = 4.
Проверим третье уравнение: 3² + 3·4 − 4² − 4 = 9 + 12 − 16 − 4 = 1. Верно.
Значит, точка (3; 4) лежит на всех трёх графиках.
Ответ: да, общая точка (3; 4).
Проверим третье уравнение: 3² + 3·4 − 4² − 4 = 9 + 12 − 16 − 4 = 1. Верно.
Значит, точка (3; 4) лежит на всех трёх графиках.
Ответ: да, общая точка (3; 4).
501. Решите систему уравнений: а) x² + y² + x + y = 18, x² − y² + x − y = 6; б) x²y² + xy = 72, x + y = 6; в) (x + y)² − 2(x + y) = 15, x + xy + y = 11; г) (x + y)² − 4(x + y) = 45, (x − y)² − 2(x − y) = 3.
а) Сложим уравнения: 2x² + 2x = 24, x² + x − 12 = 0, x = 3 или x = −4. Вычтем второе из первого: 2y² + 2y = 12, y² + y − 6 = 0, y = 2 или y = −3. Система равносильна паре этих уравнений, поэтому подходят все сочетания: (3; 2), (3; −3), (−4; 2), (−4; −3).
б) Пусть v = xy: v² + v − 72 = 0, v = 8 или v = −9. При v = 8 и x + y = 6: x и y — корни t² − 6t + 8 = 0, то есть 2 и 4: (2; 4), (4; 2). При v = −9: t² − 6t − 9 = 0, D = 36 + 36 = 72, t = 3 ± 3√2: (3 − 3√2; 3 + 3√2), (3 + 3√2; 3 − 3√2).
в) Пусть u = x + y, v = xy. u² − 2u − 15 = 0, u = 5 или u = −3. Второе уравнение: u + v = 11. При u = 5: v = 6, t² − 5t + 6 = 0, t = 2, 3: (2; 3), (3; 2). При u = −3: v = 14, t² + 3t + 14 = 0, D = 9 − 56 < 0, решений нет.
г) Пусть u = x + y, w = x − y. u² − 4u − 45 = 0, u = 9 или u = −5. w² − 2w − 3 = 0, w = 3 или w = −1. x = (u + w)/2, y = (u − w)/2: (9; 3): (6; 3); (9; −1): (4; 5); (−5; 3): (−1; −4); (−5; −1): (−3; −2).
Ответ: а) (3; 2), (3; −3), (−4; 2), (−4; −3); б) (2; 4), (4; 2), (3 − 3√2; 3 + 3√2), (3 + 3√2; 3 − 3√2); в) (2; 3), (3; 2); г) (6; 3), (4; 5), (−1; −4), (−3; −2).
б) Пусть v = xy: v² + v − 72 = 0, v = 8 или v = −9. При v = 8 и x + y = 6: x и y — корни t² − 6t + 8 = 0, то есть 2 и 4: (2; 4), (4; 2). При v = −9: t² − 6t − 9 = 0, D = 36 + 36 = 72, t = 3 ± 3√2: (3 − 3√2; 3 + 3√2), (3 + 3√2; 3 − 3√2).
в) Пусть u = x + y, v = xy. u² − 2u − 15 = 0, u = 5 или u = −3. Второе уравнение: u + v = 11. При u = 5: v = 6, t² − 5t + 6 = 0, t = 2, 3: (2; 3), (3; 2). При u = −3: v = 14, t² + 3t + 14 = 0, D = 9 − 56 < 0, решений нет.
г) Пусть u = x + y, w = x − y. u² − 4u − 45 = 0, u = 9 или u = −5. w² − 2w − 3 = 0, w = 3 или w = −1. x = (u + w)/2, y = (u − w)/2: (9; 3): (6; 3); (9; −1): (4; 5); (−5; 3): (−1; −4); (−5; −1): (−3; −2).
Ответ: а) (3; 2), (3; −3), (−4; 2), (−4; −3); б) (2; 4), (4; 2), (3 − 3√2; 3 + 3√2), (3 + 3√2; 3 − 3√2); в) (2; 3), (3; 2); г) (6; 3), (4; 5), (−1; −4), (−3; −2).
502. Если умножить квадратный трёхчлен ax² − 2x + b на квадратный трёхчлен x² + ax − 1, то получится многочлен четвёртой степени, в котором коэффициенты при x² и x соответственно равны 8 и −2. Найдите a и b.
Перемножим: (ax² − 2x + b)(x² + ax − 1) = ax⁴ + a²x³ − ax² − 2x³ − 2ax² + 2x + bx² + abx − b = ax⁴ + (a² − 2)x³ + (b − 3a)x² + (2 + ab)x − b.
Коэффициент при x² равен b − 3a = 8, при x равен 2 + ab = −2.
Из первого b = 8 + 3a. Подставим во второе: ab = −4, a(8 + 3a) = −4, 3a² + 8a + 4 = 0, D = 64 − 48 = 16, a = (−8 ± 4)/6, a = −2/3 или a = −2.
При a = −2: b = 8 − 6 = 2. При a = −2/3: b = 8 − 2 = 6. Оба случая дают многочлен четвёртой степени (a ≠ 0).
Ответ: a = −2, b = 2 или a = −2/3, b = 6.
Коэффициент при x² равен b − 3a = 8, при x равен 2 + ab = −2.
Из первого b = 8 + 3a. Подставим во второе: ab = −4, a(8 + 3a) = −4, 3a² + 8a + 4 = 0, D = 64 − 48 = 16, a = (−8 ± 4)/6, a = −2/3 или a = −2.
При a = −2: b = 8 − 6 = 2. При a = −2/3: b = 8 − 2 = 6. Оба случая дают многочлен четвёртой степени (a ≠ 0).
Ответ: a = −2, b = 2 или a = −2/3, b = 6.
503. Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их разности. Найдите эти числа, если известно, что разность их квадратов равна 180.
Пусть x — большее число, y — меньшее, x > y > 0. Тогда x + y = 5(x − y) и x² − y² = 180.
Из первого уравнения 4x = 6y, x = 1,5y. Подставим во второе: 2,25y² − y² = 180, 1,25y² = 180, y² = 144, y = 12 (y > 0), x = 18.
Проверка: 18 + 12 = 30, 5·(18 − 12) = 30; 324 − 144 = 180.
Ответ: 18 и 12.
Из первого уравнения 4x = 6y, x = 1,5y. Подставим во второе: 2,25y² − y² = 180, 1,25y² = 180, y² = 144, y = 12 (y > 0), x = 18.
Проверка: 18 + 12 = 30, 5·(18 − 12) = 30; 324 − 144 = 180.
Ответ: 18 и 12.
504. Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы. Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100. Найдите эти числа.
Пусть x — первое число, y — второе. Тогда xy = 15(x + y) и x + 2y = 100.
Из второго уравнения x = 100 − 2y. Подставим в первое: (100 − 2y)y = 15(100 − y), 100y − 2y² = 1500 − 15y, 2y² − 115y + 1500 = 0, D = 13225 − 12000 = 1225 = 35², y = (115 ± 35)/4, y = 37,5 или y = 20.
При y = 20: x = 60. При y = 37,5: x = 25.
Проверка: 60·20 = 1200 = 15·80; 25·37,5 = 937,5 = 15·62,5.
Ответ: 60 и 20 или 25 и 37,5.
Из второго уравнения x = 100 − 2y. Подставим в первое: (100 − 2y)y = 15(100 − y), 100y − 2y² = 1500 − 15y, 2y² − 115y + 1500 = 0, D = 13225 − 12000 = 1225 = 35², y = (115 ± 35)/4, y = 37,5 или y = 20.
При y = 20: x = 60. При y = 37,5: x = 25.
Проверка: 60·20 = 1200 = 15·80; 25·37,5 = 937,5 = 15·62,5.
Ответ: 60 и 20 или 25 и 37,5.