Глава IV. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 7 — с. 144
481. Докажите, что уравнение не имеет решений: а) x² + 4xy + 4y² + 5 = 0; б) x² − 2xy + 8 + y² = 0; в) x² − 2x + y² − 4y + 6 = 0; г) x²y² − 2xy + 3 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат и покажем, что она всегда положительна.
а) x² + 4xy + 4y² + 5 = (x + 2y)² + 5 ≥ 5 > 0.
б) x² − 2xy + y² + 8 = (x − y)² + 8 ≥ 8 > 0.
в) x² − 2x + y² − 4y + 6 = (x² − 2x + 1) + (y² − 4y + 4) + 1 = (x − 1)² + (y − 2)² + 1 ≥ 1 > 0.
г) x²y² − 2xy + 3 = (xy − 1)² + 2 ≥ 2 > 0.
В каждом случае левая часть при любых x и y больше нуля, значит, равенство нулю невозможно и уравнение решений не имеет.
а) x² + 4xy + 4y² + 5 = (x + 2y)² + 5 ≥ 5 > 0.
б) x² − 2xy + y² + 8 = (x − y)² + 8 ≥ 8 > 0.
в) x² − 2x + y² − 4y + 6 = (x² − 2x + 1) + (y² − 4y + 4) + 1 = (x − 1)² + (y − 2)² + 1 ≥ 1 > 0.
г) x²y² − 2xy + 3 = (xy − 1)² + 2 ≥ 2 > 0.
В каждом случае левая часть при любых x и y больше нуля, значит, равенство нулю невозможно и уравнение решений не имеет.
482. Докажите, что уравнение имеет единственное решение: а) x² + y² + 2x + 1 = 0; б) x² − 2x + y² + 4y + 5 = 0.
а) x² + 2x + 1 + y² = (x + 1)² + y² = 0. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое равно нулю: x + 1 = 0 и y = 0. Единственное решение (−1; 0).
б) (x² − 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = (x − 1)² + (y + 2)² = 0, так как 1 + 4 = 5. Тогда x − 1 = 0 и y + 2 = 0. Единственное решение (1; −2).
б) (x² − 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = (x − 1)² + (y + 2)² = 0, так как 1 + 4 = 5. Тогда x − 1 = 0 и y + 2 = 0. Единственное решение (1; −2).
483. Составьте уравнение, графиком которого является: а) пара прямых y = x + 5 и y = x − 5; б) окружность x² + y² = 4 и пара прямых y = −3 и y = 3; в) гипербола xy = 6 и окружность x² + y² = 1.
Если график уравнения P = 0 — одна линия, а график Q = 0 — другая, то объединению этих линий соответствует уравнение P · Q = 0 (произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю).
а) Прямые: y − x − 5 = 0 и y − x + 5 = 0. Уравнение (y − x − 5)(y − x + 5) = 0, то есть (y − x)² − 25 = 0, или x² − 2xy + y² = 25.
б) Окружность: x² + y² − 4 = 0; прямые: (y − 3)(y + 3) = y² − 9 = 0. Уравнение (x² + y² − 4)(y² − 9) = 0, после раскрытия скобок x²y² + y⁴ − 9x² − 13y² + 36 = 0.
в) Гипербола: xy − 6 = 0; окружность: x² + y² − 1 = 0. Уравнение (xy − 6)(x² + y² − 1) = 0, после раскрытия скобок x³y + xy³ − xy − 6x² − 6y² + 6 = 0.
Ответ: а) (y − x − 5)(y − x + 5) = 0; б) (x² + y² − 4)(y² − 9) = 0; в) (xy − 6)(x² + y² − 1) = 0.
Оговорка: в ответах учебника к пункту а) указано x² − y² = 25, это уравнение гиперболы, а не пары прямых y = x ± 5; условие проверено по тексту задачи дважды.
а) Прямые: y − x − 5 = 0 и y − x + 5 = 0. Уравнение (y − x − 5)(y − x + 5) = 0, то есть (y − x)² − 25 = 0, или x² − 2xy + y² = 25.
б) Окружность: x² + y² − 4 = 0; прямые: (y − 3)(y + 3) = y² − 9 = 0. Уравнение (x² + y² − 4)(y² − 9) = 0, после раскрытия скобок x²y² + y⁴ − 9x² − 13y² + 36 = 0.
в) Гипербола: xy − 6 = 0; окружность: x² + y² − 1 = 0. Уравнение (xy − 6)(x² + y² − 1) = 0, после раскрытия скобок x³y + xy³ − xy − 6x² − 6y² + 6 = 0.
Ответ: а) (y − x − 5)(y − x + 5) = 0; б) (x² + y² − 4)(y² − 9) = 0; в) (xy − 6)(x² + y² − 1) = 0.
Оговорка: в ответах учебника к пункту а) указано x² − y² = 25, это уравнение гиперболы, а не пары прямых y = x ± 5; условие проверено по тексту задачи дважды.
484. Постройте график уравнения: а) x² + y² − 2x − 4y + 5 = 0; б) y² − x⁴ = 0.
а) Выделим полные квадраты: (x² − 2x + 1) + (y² − 4y + 4) = 0, то есть (x − 1)² + (y − 2)² = 0. Сумма квадратов равна нулю только при x − 1 = 0 и y − 2 = 0. График — одна точка (1; 2).
б) y² − x⁴ = (y − x²)(y + x²) = 0, откуда y = x² или y = −x². График — две параболы с общей вершиной в начале координат: y = x² (ветви вверх) и y = −x² (ветви вниз). Они касаются друг друга в точке (0; 0). Графики показаны на рисунке.
б) y² − x⁴ = (y − x²)(y + x²) = 0, откуда y = x² или y = −x². График — две параболы с общей вершиной в начале координат: y = x² (ветви вверх) и y = −x² (ветви вниз). Они касаются друг друга в точке (0; 0). Графики показаны на рисунке.
485. Постройте график уравнения: а) (y − x)/(x − 2) = 0; б) (y − x²)/(x² − 1) = 0; в) (x² + y² − 16)/(y² − 4) = 0; г) (x² + y² − 1)/(x² − y²) = 0.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
а) y − x = 0, то есть y = x, при x ≠ 2. График — прямая y = x без точки (2; 2).
б) y = x² при x² − 1 ≠ 0, то есть x ≠ ±1. График — парабола y = x² без точек (1; 1) и (−1; 1).
в) x² + y² = 16 при y² ≠ 4, то есть y ≠ ±2. График — окружность с центром (0; 0) радиуса 4 без точек, у которых y = ±2: x² = 16 − 4 = 12, x = ±2√3. Выколоты четыре точки (±2√3; ±2).
г) x² + y² = 1 при x² ≠ y², то есть y ≠ ±x. Подставим y² = x² в уравнение окружности: 2x² = 1, x = ±√2/2. График — окружность радиуса 1 с центром (0; 0) без четырёх точек (±√2/2; ±√2/2) (в них окружность пересекает прямые y = x и y = −x).
Выколотые точки показаны на рисунке пустыми кружками.
а) y − x = 0, то есть y = x, при x ≠ 2. График — прямая y = x без точки (2; 2).
б) y = x² при x² − 1 ≠ 0, то есть x ≠ ±1. График — парабола y = x² без точек (1; 1) и (−1; 1).
в) x² + y² = 16 при y² ≠ 4, то есть y ≠ ±2. График — окружность с центром (0; 0) радиуса 4 без точек, у которых y = ±2: x² = 16 − 4 = 12, x = ±2√3. Выколоты четыре точки (±2√3; ±2).
г) x² + y² = 1 при x² ≠ y², то есть y ≠ ±x. Подставим y² = x² в уравнение окружности: 2x² = 1, x = ±√2/2. График — окружность радиуса 1 с центром (0; 0) без четырёх точек (±√2/2; ±√2/2) (в них окружность пересекает прямые y = x и y = −x).
Выколотые точки показаны на рисунке пустыми кружками.
486. При каком значении a окружность (x − a)² + (y − 3)² = 16 проходит через точку: а) A(2; 3); б) B(7; −1); в) C(−2; 7); г) D(1; 5)?
Окружность проходит через точку, если координаты точки удовлетворяют уравнению.
а) (2 − a)² + (3 − 3)² = 16, (2 − a)² = 16, 2 − a = ±4, a = −2 или a = 6.
б) (7 − a)² + (−1 − 3)² = 16, (7 − a)² + 16 = 16, (7 − a)² = 0, a = 7.
в) (−2 − a)² + (7 − 3)² = 16, (a + 2)² = 0, a = −2.
г) (1 − a)² + (5 − 3)² = 16, (1 − a)² = 12, 1 − a = ±2√3, a = 1 − 2√3 или a = 1 + 2√3.
Ответ: а) −2 и 6; б) 7; в) −2; г) 1 − 2√3 и 1 + 2√3.
а) (2 − a)² + (3 − 3)² = 16, (2 − a)² = 16, 2 − a = ±4, a = −2 или a = 6.
б) (7 − a)² + (−1 − 3)² = 16, (7 − a)² + 16 = 16, (7 − a)² = 0, a = 7.
в) (−2 − a)² + (7 − 3)² = 16, (a + 2)² = 0, a = −2.
г) (1 − a)² + (5 − 3)² = 16, (1 − a)² = 12, 1 − a = ±2√3, a = 1 − 2√3 или a = 1 + 2√3.
Ответ: а) −2 и 6; б) 7; в) −2; г) 1 − 2√3 и 1 + 2√3.
487. Найдите целые решения уравнения: а) x² − y² = 5; б) x² − y² = 8.
Разложим левую часть: x² − y² = (x − y)(x + y). Числа x − y и x + y должны быть целыми делителями правой части.
а) (x − y)(x + y) = 5. Возможные пары (x − y; x + y): (1; 5), (5; 1), (−1; −5), (−5; −1).
(1; 5): x = 3, y = 2. (5; 1): x = 3, y = −2. (−1; −5): x = −3, y = −2. (−5; −1): x = −3, y = 2.
б) (x − y)(x + y) = 8. Числа x − y и x + y имеют одинаковую чётность (их сумма 2x чётна), а произведение 8 чётно, значит, оба числа чётны. Подходят пары (2; 4), (4; 2), (−2; −4), (−4; −2); пары (1; 8), (8; 1) и им противоположные не подходят (разной чётности).
(2; 4): x = 3, y = 1. (4; 2): x = 3, y = −1. (−2; −4): x = −3, y = −1. (−4; −2): x = −3, y = 1.
Ответ: а) (3; 2), (3; −2), (−3; −2), (−3; 2); б) (3; 1), (3; −1), (−3; −1), (−3; 1).
а) (x − y)(x + y) = 5. Возможные пары (x − y; x + y): (1; 5), (5; 1), (−1; −5), (−5; −1).
(1; 5): x = 3, y = 2. (5; 1): x = 3, y = −2. (−1; −5): x = −3, y = −2. (−5; −1): x = −3, y = 2.
б) (x − y)(x + y) = 8. Числа x − y и x + y имеют одинаковую чётность (их сумма 2x чётна), а произведение 8 чётно, значит, оба числа чётны. Подходят пары (2; 4), (4; 2), (−2; −4), (−4; −2); пары (1; 8), (8; 1) и им противоположные не подходят (разной чётности).
(2; 4): x = 3, y = 1. (4; 2): x = 3, y = −1. (−2; −4): x = −3, y = −1. (−4; −2): x = −3, y = 1.
Ответ: а) (3; 2), (3; −2), (−3; −2), (−3; 2); б) (3; 1), (3; −1), (−3; −1), (−3; 1).
488. Решите графически систему уравнений: а) y + x + x² = 0, x − y = 10; б) (x − 2)² + y² = 9, y = x² − 4x + 4; в) x² + y² = 25, y = 2x² − 14; г) x² + y² = 10, xy = 3; д) x + y = 8, (x + 1)² + y² = 81; е) y = −x² + 4, y = |x|.
Строим в одной системе координат графики обоих уравнений; координаты точек пересечения — решения системы. Найденные по рисунку значения уточняем вычислением.
а) Графики: парабола y = −x² − x и прямая y = x − 10. Две точки пересечения. Из −x − x² = x − 10 получаем x² + 2x − 10 = 0, x = −1 ± √11. Приближённо (2,3; −7,7) и (−4,3; −14,3).
б) Графики: окружность с центром (2; 0) радиуса 3 и парабола y = (x − 2)², вершина (2; 0). Две точки пересечения. Приближённо (3,6; 2,5) и (0,4; 2,5). Точнее: при t = x − 2 имеем y = t², t² + y² = 9, y² + y − 9 = 0, y = (−1 + √37)/2 ≈ 2,54, t = ±√y ≈ ±1,59.
в) Графики: окружность радиуса 5 с центром (0; 0) и парабола y = 2x² − 14 (вершина (0; −14)). Четыре точки пересечения: (3; 4), (−3; 4) и (±2,2; −4,5). Проверка: 9 + 16 = 25 и 2·9 − 14 = 4; для второй пары y = −4,5, x² = 4,75, 4,75 + 20,25 = 25 и 2·4,75 − 14 = −4,5.
г) Графики: окружность радиуса √10 с центром (0; 0) и гипербола y = 3/x. Четыре точки пересечения: (3; 1), (1; 3), (−1; −3), (−3; −1). Проверка: 9 + 1 = 10, 3·1 = 3.
д) Графики: прямая y = 8 − x и окружность с центром (−1; 0) радиуса 9. Две точки пересечения (8; 0) и (−1; 9). Проверка: 8 + 0 = 8, 9² + 0 = 81; −1 + 9 = 8, 0 + 81 = 81.
е) Графики: парабола y = 4 − x² (вершина (0; 4)) и график y = |x| (угол с вершиной в начале координат). Две точки пересечения, симметричные относительно оси y; при x ≥ 0 из 4 − x² = x получаем x = (−1 + √17)/2 ≈ 1,56. Приближённо (1,6; 1,6) и (−1,6; 1,6).
Ответ: а) (−1 + √11; −11 + √11) ≈ (2,3; −7,7) и (−1 − √11; −11 − √11) ≈ (−4,3; −14,3); б) приближённо (0,4; 2,5), (3,6; 2,5); в) (3; 4), (−3; 4), (±√19/2; −4,5); г) (3; 1), (1; 3), (−1; −3), (−3; −1); д) (8; 0), (−1; 9); е) приближённо (1,6; 1,6), (−1,6; 1,6).
Оговорка: в пунктах а), б), е) графический метод даёт приближённые значения, указаны уточнённые вычислением; на рисунке в панелях а) и в) масштабы по осям x и y разные, поэтому окружность в пункте в) выглядит вытянутой.
а) Графики: парабола y = −x² − x и прямая y = x − 10. Две точки пересечения. Из −x − x² = x − 10 получаем x² + 2x − 10 = 0, x = −1 ± √11. Приближённо (2,3; −7,7) и (−4,3; −14,3).
б) Графики: окружность с центром (2; 0) радиуса 3 и парабола y = (x − 2)², вершина (2; 0). Две точки пересечения. Приближённо (3,6; 2,5) и (0,4; 2,5). Точнее: при t = x − 2 имеем y = t², t² + y² = 9, y² + y − 9 = 0, y = (−1 + √37)/2 ≈ 2,54, t = ±√y ≈ ±1,59.
в) Графики: окружность радиуса 5 с центром (0; 0) и парабола y = 2x² − 14 (вершина (0; −14)). Четыре точки пересечения: (3; 4), (−3; 4) и (±2,2; −4,5). Проверка: 9 + 16 = 25 и 2·9 − 14 = 4; для второй пары y = −4,5, x² = 4,75, 4,75 + 20,25 = 25 и 2·4,75 − 14 = −4,5.
г) Графики: окружность радиуса √10 с центром (0; 0) и гипербола y = 3/x. Четыре точки пересечения: (3; 1), (1; 3), (−1; −3), (−3; −1). Проверка: 9 + 1 = 10, 3·1 = 3.
д) Графики: прямая y = 8 − x и окружность с центром (−1; 0) радиуса 9. Две точки пересечения (8; 0) и (−1; 9). Проверка: 8 + 0 = 8, 9² + 0 = 81; −1 + 9 = 8, 0 + 81 = 81.
е) Графики: парабола y = 4 − x² (вершина (0; 4)) и график y = |x| (угол с вершиной в начале координат). Две точки пересечения, симметричные относительно оси y; при x ≥ 0 из 4 − x² = x получаем x = (−1 + √17)/2 ≈ 1,56. Приближённо (1,6; 1,6) и (−1,6; 1,6).
Ответ: а) (−1 + √11; −11 + √11) ≈ (2,3; −7,7) и (−1 − √11; −11 − √11) ≈ (−4,3; −14,3); б) приближённо (0,4; 2,5), (3,6; 2,5); в) (3; 4), (−3; 4), (±√19/2; −4,5); г) (3; 1), (1; 3), (−1; −3), (−3; −1); д) (8; 0), (−1; 9); е) приближённо (1,6; 1,6), (−1,6; 1,6).
Оговорка: в пунктах а), б), е) графический метод даёт приближённые значения, указаны уточнённые вычислением; на рисунке в панелях а) и в) масштабы по осям x и y разные, поэтому окружность в пункте в) выглядит вытянутой.
489. Изобразив схематически графики уравнений, определите, имеет ли решения система уравнений и сколько: а) x² − y + 11 = 0, y + x² = 4; б) (x + 3)² + (y + 4)² = 1, (x − 2)² + (y − 1)² = 4; в) y = |x|, (1/2)x³ − y = 0.
а) Первое уравнение: y = x² + 11 — парабола с вершиной (0; 11), ветви вверх. Второе: y = 4 − x² — парабола с вершиной (0; 4), ветви вниз. Для всех x имеем x² + 11 ≥ 11, а 4 − x² ≤ 4, поэтому графики не пересекаются. Алгебраически: вычитание уравнений даёт 2x² + 7 = 0, что невозможно. Решений нет.
б) Окружности: первая с центром (−3; −4) и радиусом 1, вторая с центром (2; 1) и радиусом 2. Расстояние между центрами √(5² + 5²) = √50 ≈ 7,07 больше суммы радиусов 1 + 2 = 3, значит, окружности лежат одна вне другой и не пересекаются. Решений нет.
в) Графики: y = |x| — угол с вершиной в начале координат; y = x³/2 — кубическая парабола, проходящая через (0; 0). При x < 0 имеем y = x³/2 < 0, а |x| > 0, общих точек нет. При x ≥ 0 из x = x³/2 получаем x(x² − 2) = 0, x = 0 или x = √2. Графики пересекаются в двух точках (0; 0) и (√2; √2). Система имеет два решения.
Ответ: а) нет решений; б) нет решений; в) два решения.
б) Окружности: первая с центром (−3; −4) и радиусом 1, вторая с центром (2; 1) и радиусом 2. Расстояние между центрами √(5² + 5²) = √50 ≈ 7,07 больше суммы радиусов 1 + 2 = 3, значит, окружности лежат одна вне другой и не пересекаются. Решений нет.
в) Графики: y = |x| — угол с вершиной в начале координат; y = x³/2 — кубическая парабола, проходящая через (0; 0). При x < 0 имеем y = x³/2 < 0, а |x| > 0, общих точек нет. При x ≥ 0 из x = x³/2 получаем x(x² − 2) = 0, x = 0 или x = √2. Графики пересекаются в двух точках (0; 0) и (√2; √2). Система имеет два решения.
Ответ: а) нет решений; б) нет решений; в) два решения.