Глава IV. §8. п.24 Системы неравенств с двумя переменными — с. 139
Вопрос 1. Что называется решением неравенства с двумя переменными?
Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, которая обращает это неравенство в верное числовое неравенство. Например, пара (3; 1) — решение неравенства x + y > 2, так как 3 + 1 = 4 > 2.
Вопрос 2. Какую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными?
Решением системы неравенств с двумя переменными называют пару значений переменных, которая является решением каждого неравенства системы, то есть обращает в верное неравенство каждое из них. Множество решений системы — общая часть (пересечение) множеств решений её неравенств.
Вопрос 3. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: а) x + y ≥ 4; б) xy ≥ 4.
а) Запишем неравенство как y ≥ 4 − x. Границей служит прямая x + y = 4 (через точки (4; 0) и (0; 4)). Проверка точкой (0; 0): 0 ≥ 4 неверно, значит, решения лежат в полуплоскости, не содержащей начало координат, то есть выше прямой. Прямая входит в множество решений (нестрогий знак).
б) Границей служит гипербола xy = 4, y = 4/x, её ветви лежат в первой и третьей четвертях (точки (1; 4), (2; 2), (4; 1), (−1; −4), (−2; −2), (−4; −1)). Произведение xy ≥ 4 положительно, поэтому x и y одного знака. При x > 0 условие равносильно y ≥ 4/x: решения — точки на правой ветви и выше неё (в первой четверти). При x < 0 условие равносильно y ≤ 4/x: решения — точки на левой ветви и ниже неё (в третьей четверти). Точки между ветвями (в том числе на осях и во второй и четвёртой четвертях) решениями не являются; сами ветви входят.
Множества решений заштрихованы на рисунке.
б) Границей служит гипербола xy = 4, y = 4/x, её ветви лежат в первой и третьей четвертях (точки (1; 4), (2; 2), (4; 1), (−1; −4), (−2; −2), (−4; −1)). Произведение xy ≥ 4 положительно, поэтому x и y одного знака. При x > 0 условие равносильно y ≥ 4/x: решения — точки на правой ветви и выше неё (в первой четверти). При x < 0 условие равносильно y ≤ 4/x: решения — точки на левой ветви и ниже неё (в третьей четверти). Точки между ветвями (в том числе на осях и во второй и четвёртой четвертях) решениями не являются; сами ветви входят.
Множества решений заштрихованы на рисунке.
Вопрос 4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств x² + y² ≤ 36, x + y ≤ 6.
Неравенство x² + y² ≤ 36 задаёт круг с центром в начале координат радиуса 6 (вместе с окружностью). Неравенство x + y ≤ 6 равносильно y ≤ 6 − x и задаёт полуплоскость ниже прямой x + y = 6 (вместе с прямой); начало координат ей принадлежит: 0 ≤ 6.
Прямая x + y = 6 пересекает окружность в точках (6; 0) и (0; 6): из y = 6 − x получаем x² + (6 − x)² = 36, 2x² − 12x = 0, x = 0 или x = 6.
Решение системы — часть круга, лежащая ниже хорды с концами (6; 0) и (0; 6), то есть круг без сегмента над этой хордой; границы входят. Область заштрихована на рисунке.
Прямая x + y = 6 пересекает окружность в точках (6; 0) и (0; 6): из y = 6 − x получаем x² + (6 − x)² = 36, 2x² − 12x = 0, x = 0 или x = 6.
Решение системы — часть круга, лежащая ниже хорды с концами (6; 0) и (0; 6), то есть круг без сегмента над этой хордой; границы входят. Область заштрихована на рисунке.