Глава IV. §7. п.22 Решение задач с помощью систем уравнений второй степени — с. 128
426. От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?
Пусть скорости тел x м/с и y м/с. Через 15 с они прошли 15x м и 15y м, расстояние между ними (гипотенуза): (15x)² + (15y)² = 3², откуда x² + y² = 9/225 = 0,04. По условию 6x = 8y, x = 4y/3.
(4y/3)² + y² = 0,04, 16y²/9 + y² = 25y²/9 = 0,04, y² = 0,0144, y = 0,12 (скорость положительна). Тогда x = 0,16.
Проверка: 0,16² + 0,12² = 0,0256 + 0,0144 = 0,04; 6·0,16 = 0,96 = 8·0,12.
Ответ: 0,16 м/с и 0,12 м/с.
(4y/3)² + y² = 0,04, 16y²/9 + y² = 25y²/9 = 0,04, y² = 0,0144, y = 0,12 (скорость положительна). Тогда x = 0,16.
Проверка: 0,16² + 0,12² = 0,0256 + 0,0144 = 0,04; 6·0,16 = 0,96 = 8·0,12.
Ответ: 0,16 м/с и 0,12 м/с.
427. На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см². Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 30 см².
Пусть стороны прямоугольника x см и y см. Квадраты построены на всех четырёх сторонах: две стороны x и две стороны y, сумма площадей 2x² + 2y² = 122, то есть x² + y² = 61. Площадь xy = 30.
(x + y)² = x² + y² + 2xy = 61 + 60 = 121, x + y = 11. Тогда x и y — корни уравнения t² − 11t + 30 = 0: t₁ = 5, t₂ = 6.
Проверка: 25 + 36 = 61, 5·6 = 30.
Ответ: 5 см и 6 см.
(x + y)² = x² + y² + 2xy = 61 + 60 = 121, x + y = 11. Тогда x и y — корни уравнения t² − 11t + 30 = 0: t₁ = 5, t₂ = 6.
Проверка: 25 + 36 = 61, 5·6 = 30.
Ответ: 5 см и 6 см.
428. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?
Пусть катеты x см и y см. Площадь xy/2 = 24, xy = 48; по теореме Пифагора x² + y² = 100.
(x + y)² = 100 + 96 = 196, x + y = 14. Числа x и y — корни уравнения t² − 14t + 48 = 0: t₁ = 6, t₂ = 8.
Ответ: 6 см и 8 см.
(x + y)² = 100 + 96 = 196, x + y = 14. Числа x и y — корни уравнения t² − 14t + 48 = 0: t₁ = 6, t₂ = 8.
Ответ: 6 см и 8 см.
429. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.
Пусть катеты x см и y см, и увеличивается катет x. Тогда x² + y² = 13² = 169 и (x + 4)² + y² = 15² = 225.
Вычтем первое уравнение из второго: 8x + 16 = 56, x = 5. Тогда y² = 169 − 25 = 144, y = 12.
Проверка: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15².
Ответ: 5 см и 12 см.
Вычтем первое уравнение из второго: 8x + 16 = 56, x = 5. Тогда y² = 169 − 25 = 144, y = 12.
Проверка: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15².
Ответ: 5 см и 12 см.
430. Один комбайнёр может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая через 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнёру, чтобы одному убрать урожай?
Пусть первому комбайнёру нужно x ч, тогда второму x + 24 ч. За 1 ч они убирают 1/x и 1/(x + 24) участка, вместе за 1 ч — 1/35 участка:
1/x + 1/(x + 24) = 1/35.
Умножим на 35x(x + 24): 35(x + 24) + 35x = x(x + 24), 70x + 840 = x² + 24x, x² − 46x − 840 = 0. D = 2116 + 3360 = 5476 = 74², x = (46 + 74)/2 = 60 (корень (46 − 74)/2 < 0 не подходит).
Первому нужно 60 ч, второму 84 ч. Проверка: 1/60 + 1/84 = 7/420 + 5/420 = 12/420 = 1/35.
Ответ: 60 ч и 84 ч.
1/x + 1/(x + 24) = 1/35.
Умножим на 35x(x + 24): 35(x + 24) + 35x = x(x + 24), 70x + 840 = x² + 24x, x² − 46x − 840 = 0. D = 2116 + 3360 = 5476 = 74², x = (46 + 74)/2 = 60 (корень (46 − 74)/2 < 0 не подходит).
Первому нужно 60 ч, второму 84 ч. Проверка: 1/60 + 1/84 = 7/420 + 5/420 = 12/420 = 1/35.
Ответ: 60 ч и 84 ч.
431. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада, если за 24 ч совместной работы они заасфальтировали бы 5 таких участков?
Пусть первой бригаде нужно x ч на один участок, второй x + 4 ч. За 1 ч бригады делают 1/x и 1/(x + 4) участка. За 24 ч вместе — 5 участков:
24(1/x + 1/(x + 4)) = 5.
Умножим на x(x + 4): 24(x + 4) + 24x = 5x(x + 4), 48x + 96 = 5x² + 20x, 5x² − 28x − 96 = 0. D = 784 + 1920 = 2704 = 52², x = (28 + 52)/10 = 8 (корень (28 − 52)/10 < 0 не подходит).
Первая бригада — 8 ч, вторая — 12 ч. Проверка: 24·(1/8 + 1/12) = 3 + 2 = 5.
Ответ: 8 ч и 12 ч.
24(1/x + 1/(x + 4)) = 5.
Умножим на x(x + 4): 24(x + 4) + 24x = 5x(x + 4), 48x + 96 = 5x² + 20x, 5x² − 28x − 96 = 0. D = 784 + 1920 = 2704 = 52², x = (28 + 52)/10 = 8 (корень (28 − 52)/10 < 0 не подходит).
Первая бригада — 8 ч, вторая — 12 ч. Проверка: 24·(1/8 + 1/12) = 3 + 2 = 5.
Ответ: 8 ч и 12 ч.
432. Положив в банк некоторую сумму денег, вкладчик получил через год на 40 000 р. больше. Оставив эти деньги в банке ещё на год под такой же процент, он снял со своего счёта всю сумму, которая составила 583 200 р. Какая сумма денег была положена в банк и сколько процентов годовых начислял банк?
Пусть положено S р., банк начисляет p% годовых; обозначим r = p/100. Через год прибавка Sr = 40 000. Через два года на счёте S(1 + r)² = 583 200.
Разделим второе уравнение на первое: (1 + r)²/r = 583200/40000 = 14,58. Отсюда 1 + 2r + r² = 14,58r, r² − 12,58r + 1 = 0. D = 158,2564 − 4 = 154,2564 = 12,42², r = (12,58 ± 12,42)/2: r₁ = 0,08, r₂ = 12,5.
Корень r = 12,5 (1250% годовых) для банка нереален, поэтому r = 0,08, то есть 8%. Тогда S = 40000/0,08 = 500 000.
Проверка: 500000·1,08² = 500000·1,1664 = 583 200.
Ответ: 500 000 р. под 8% годовых.
Разделим второе уравнение на первое: (1 + r)²/r = 583200/40000 = 14,58. Отсюда 1 + 2r + r² = 14,58r, r² − 12,58r + 1 = 0. D = 158,2564 − 4 = 154,2564 = 12,42², r = (12,58 ± 12,42)/2: r₁ = 0,08, r₂ = 12,5.
Корень r = 12,5 (1250% годовых) для банка нереален, поэтому r = 0,08, то есть 8%. Тогда S = 40000/0,08 = 500 000.
Проверка: 500000·1,08² = 500000·1,1664 = 583 200.
Ответ: 500 000 р. под 8% годовых.
433. Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?
3 ч 45 мин = 3,75 ч = 15/4 ч. Пусть первому экскаватору нужно x ч, второму x + 4 ч. За 1 ч вместе они выполняют 1/x + 1/(x + 4) работы, а это 4/15:
1/x + 1/(x + 4) = 4/15.
Умножим на 15x(x + 4): 15(2x + 4) = 4x(x + 4), 30x + 60 = 4x² + 16x, 4x² − 14x − 60 = 0, 2x² − 7x − 30 = 0. D = 49 + 240 = 289 = 17², x = (7 + 17)/4 = 6 (корень (7 − 17)/4 < 0 не подходит).
Первому нужно 6 ч, второму 10 ч. Проверка: 1/6 + 1/10 = 8/30 = 4/15.
Ответ: 6 ч и 10 ч.
1/x + 1/(x + 4) = 4/15.
Умножим на 15x(x + 4): 15(2x + 4) = 4x(x + 4), 30x + 60 = 4x² + 16x, 4x² − 14x − 60 = 0, 2x² − 7x − 30 = 0. D = 49 + 240 = 289 = 17², x = (7 + 17)/4 = 6 (корень (7 − 17)/4 < 0 не подходит).
Первому нужно 6 ч, второму 10 ч. Проверка: 1/6 + 1/10 = 8/30 = 4/15.
Ответ: 6 ч и 10 ч.
434. Груз массой 30 кг производит давление на опору. Если массу груза уменьшить на 2 кг, а площадь опоры уменьшить на 1 дм², то масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, увеличится на 1 кг. Найдите площадь опоры.
Пусть площадь опоры S дм². На каждый дм² приходится 30/S кг. После изменений масса 28 кг, площадь S − 1 дм², на 1 дм² приходится 28/(S − 1) кг, и это на 1 кг больше:
28/(S − 1) = 30/S + 1 = (30 + S)/S.
28S = (S + 30)(S − 1) = S² + 29S − 30, S² + S − 30 = 0, S₁ = 5, S₂ = −6 (не подходит, площадь положительна).
Проверка: 30/5 = 6 кг/дм², 28/4 = 7 кг/дм².
Ответ: 5 дм².
28/(S − 1) = 30/S + 1 = (30 + S)/S.
28S = (S + 30)(S − 1) = S² + 29S − 30, S² + S − 30 = 0, S₁ = 5, S₂ = −6 (не подходит, площадь положительна).
Проверка: 30/5 = 6 кг/дм², 28/4 = 7 кг/дм².
Ответ: 5 дм².
435. Рационализаторы цеха внедрили в производство усовершенствованный тип детали. Определите массу детали нового и старого типов, если известно, что деталь нового типа на 0,2 кг легче детали старого типа, причём из 22 кг металла стали делать деталей нового типа на две больше, чем делали деталей старого типа из 24 кг металла.
Пусть масса новой детали x кг, тогда старой x + 0,2 кг. Из 22 кг металла получают 22/x новых деталей, из 24 кг — 24/(x + 0,2) старых деталей, и первых на 2 больше:
22/x − 24/(x + 0,2) = 2.
Умножим на x(x + 0,2): 22(x + 0,2) − 24x = 2x(x + 0,2), 4,4 − 2x = 2x² + 0,4x, 2x² + 2,4x − 4,4 = 0, x² + 1,2x − 2,2 = 0. D = 1,44 + 8,8 = 10,24 = 3,2², x = (−1,2 + 3,2)/2 = 1 (отрицательный корень не подходит).
Новая деталь — 1 кг, старая — 1,2 кг. Проверка: 22/1 = 22 детали, 24/1,2 = 20 деталей, разница 2.
Ответ: 1 кг и 1,2 кг.
22/x − 24/(x + 0,2) = 2.
Умножим на x(x + 0,2): 22(x + 0,2) − 24x = 2x(x + 0,2), 4,4 − 2x = 2x² + 0,4x, 2x² + 2,4x − 4,4 = 0, x² + 1,2x − 2,2 = 0. D = 1,44 + 8,8 = 10,24 = 3,2², x = (−1,2 + 3,2)/2 = 1 (отрицательный корень не подходит).
Новая деталь — 1 кг, старая — 1,2 кг. Проверка: 22/1 = 22 детали, 24/1,2 = 20 деталей, разница 2.
Ответ: 1 кг и 1,2 кг.