Глава IV. § 7. п. 20 Решение систем уравнений с двумя переменными — с. 122
394. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения: а) окружности x² + y² = 36 и параболы y = x² + 6; б) окружностей x² + y² = 16 и (x − 2)² + y² = 6²; в) окружности x² + y² = 25 и прямой 4x − y = 0.
Координаты точек пересечения — решения системы из уравнений обеих линий.
а) x² = y − 6. Подставим в первое уравнение: y − 6 + y² = 36; y² + y − 42 = 0; y = 6 или y = −7. При y = −7 получаем x² = −13 — решений нет. При y = 6: x² = 0, x = 0. Точка (0; 6) — парабола касается окружности в верхней точке.
б) Вычтем из второго уравнения первое: (x − 2)² − x² = 36 − 16; −4x + 4 = 20; x = −4. Тогда y² = 16 − 16 = 0, y = 0. Точка (−4; 0) — окружности касаются.
в) y = 4x. Тогда x² + 16x² = 25; 17x² = 25; x = ±5/√17. Тогда y = ±20/√17. Точки (5/√17; 20/√17) и (−5/√17; −20/√17), то есть (5√17/17; 20√17/17) и (−5√17/17; −20√17/17).
Ответ: а) (0; 6); б) (−4; 0); в) (5√17/17; 20√17/17), (−5√17/17; −20√17/17).
а) x² = y − 6. Подставим в первое уравнение: y − 6 + y² = 36; y² + y − 42 = 0; y = 6 или y = −7. При y = −7 получаем x² = −13 — решений нет. При y = 6: x² = 0, x = 0. Точка (0; 6) — парабола касается окружности в верхней точке.
б) Вычтем из второго уравнения первое: (x − 2)² − x² = 36 − 16; −4x + 4 = 20; x = −4. Тогда y² = 16 − 16 = 0, y = 0. Точка (−4; 0) — окружности касаются.
в) y = 4x. Тогда x² + 16x² = 25; 17x² = 25; x = ±5/√17. Тогда y = ±20/√17. Точки (5/√17; 20/√17) и (−5/√17; −20/√17), то есть (5√17/17; 20√17/17) и (−5√17/17; −20√17/17).
Ответ: а) (0; 6); б) (−4; 0); в) (5√17/17; 20√17/17), (−5√17/17; −20√17/17).
395. Окружность (x − 4)² + (y − 6)² = 25 и прямая y = kx имеют общую точку M(1; 2). Найдите координаты другой общей точки, если такая существует.
Так как M(1; 2) лежит на прямой y = kx, то 2 = k·1, k = 2, прямая y = 2x. (Точка M лежит и на окружности: (1 − 4)² + (2 − 6)² = 9 + 16 = 25.)
Найдём общие точки: (x − 4)² + (2x − 6)² = 25; x² − 8x + 16 + 4x² − 24x + 36 = 25; 5x² − 32x + 27 = 0. Один корень x = 1 (точка M), по теореме Виета произведение корней 27/5, значит второй корень x = 27/5 = 5,4. Тогда y = 2·5,4 = 10,8.
Ответ: (5,4; 10,8).
Найдём общие точки: (x − 4)² + (2x − 6)² = 25; x² − 8x + 16 + 4x² − 24x + 36 = 25; 5x² − 32x + 27 = 0. Один корень x = 1 (точка M), по теореме Виета произведение корней 27/5, значит второй корень x = 27/5 = 5,4. Тогда y = 2·5,4 = 10,8.
Ответ: (5,4; 10,8).
396. Покажите с помощью графиков, что система уравнений {x² + y² = 25, y = x² − 6 имеет четыре решения, и найдите их.
Строим в одной системе координат окружность x² + y² = 25 (центр в начале координат, радиус 5) и параболу y = x² − 6 (вершина (0; −6), ветви вверх; точки (±1; −5), (±2; −2), (±3; 3), (±√6; 0)). Парабола пересекает окружность в четырёх точках: две в верхней половине плоскости и две в нижней (рисунок). Значит, система имеет четыре решения.
По рисунку: (3,1; 3,9), (−3,1; 3,9), (1,1; −4,9), (−1,1; −4,9).
Проверка аналитически: из второго уравнения x² = y + 6, тогда y + 6 + y² = 25; y² + y − 19 = 0; y = (−1 ± √77)/2 ≈ 3,89 или ≈ −4,89. Оба значения больше −6, поэтому x² = y + 6 > 0 и для каждого y получаем по два значения x: x² ≈ 9,89 (x ≈ ±3,14) и x² ≈ 1,11 (x ≈ ±1,05). Всего четыре решения.
Ответ: приближённо (±3,1; 3,9) и (±1,1; −4,9).
По рисунку: (3,1; 3,9), (−3,1; 3,9), (1,1; −4,9), (−1,1; −4,9).
Проверка аналитически: из второго уравнения x² = y + 6, тогда y + 6 + y² = 25; y² + y − 19 = 0; y = (−1 ± √77)/2 ≈ 3,89 или ≈ −4,89. Оба значения больше −6, поэтому x² = y + 6 > 0 и для каждого y получаем по два значения x: x² ≈ 9,89 (x ≈ ±3,14) и x² ≈ 1,11 (x ≈ ±1,05). Всего четыре решения.
Ответ: приближённо (±3,1; 3,9) и (±1,1; −4,9).
397. Решите графически систему уравнений {x² + y² = 100, y = (1/2)x² − 10.
Первое уравнение — окружность с центром в начале координат и радиусом 10. Второе — парабола y = 0,5x² − 10 с вершиной (0; −10); её точки: (±2; −8), (±4; −2), (±6; 8), (±√20; 0).
Построив обе линии (рисунок), видим три общие точки: (0; −10) — вершина параболы лежит на окружности, и точки (6; 8), (−6; 8).
Проверка: (0; −10): 0 + 100 = 100, −10 = 0 − 10. (6; 8): 36 + 64 = 100, 0,5·36 − 10 = 8. (−6; 8) — аналогично.
Ответ: (0; −10), (6; 8), (−6; 8).
Построив обе линии (рисунок), видим три общие точки: (0; −10) — вершина параболы лежит на окружности, и точки (6; 8), (−6; 8).
Проверка: (0; −10): 0 + 100 = 100, −10 = 0 − 10. (6; 8): 36 + 64 = 100, 0,5·36 − 10 = 8. (−6; 8) — аналогично.
Ответ: (0; −10), (6; 8), (−6; 8).
398. (Для работы в парах.) С помощью графиков решите систему уравнений: а) {xy = 6, 2x − 3y = 6; б) {(x − 3)² + (y − 4)² = 4, y − x² = 0.
1. Обсудите, какое множество точек задаёт на плоскости каждое уравнение системы в заданиях а) и б).
2. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3. Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики уравнений и определены координаты точек пересечения графиков.
1) Множества точек, задаваемых уравнениями: в задании а) xy = 6 — гипербола y = 6/x (ветви в I и III четвертях), 2x − 3y = 6 — прямая y = (2x − 6)/3 через точки (3; 0) и (0; −2). В задании б) (x − 3)² + (y − 4)² = 4 — окружность с центром (3; 4) и радиусом 2, y − x² = 0 — парабола y = x² с вершиной в начале координат.
2) Задание а). Строим гиперболу по точкам (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1), (−1; −6), (−2; −3), (−3; −2), (−6; −1) и прямую. Они пересекаются в двух точках: по рисунку (4,85; 1,24) и (−1,85; −3,24).
Задание б). Строим окружность и параболу по точкам (0; 0), (1; 1), (2; 4), (−1; 1), (1,5; 2,25). Пересекаются в двух точках: по рисунку (1,6; 2,6) и (2,4; 5,9).
3) Проверка. Для а): из xy = 6 и y = (2x − 6)/3 получаем x(2x − 6) = 18; x² − 3x − 9 = 0; x = (3 ± 3√5)/2 ≈ 4,85 или −1,85; y = x·... находим y = (2x − 6)/3 = √5 − 1 ≈ 1,24 или −√5 − 1 ≈ −3,24; значит, точки найдены верно. Для б): подставляя y = x² в уравнение окружности, получаем x⁴ − 7x² − 6x + 21 = 0; уравнение имеет два действительных корня x ≈ 1,60 и x ≈ 2,43, откуда y ≈ 2,57 и y ≈ 5,92, что согласуется с рисунком.
Ответ: а) (4,85; 1,24), (−1,85; −3,24) (точно ((3 + 3√5)/2; √5 − 1) и ((3 − 3√5)/2; −√5 − 1)); б) (1,6; 2,6), (2,4; 5,9).
Оговорка: точки пересечения найдены приближённо по графику, как этого требует задание.
2) Задание а). Строим гиперболу по точкам (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1), (−1; −6), (−2; −3), (−3; −2), (−6; −1) и прямую. Они пересекаются в двух точках: по рисунку (4,85; 1,24) и (−1,85; −3,24).
Задание б). Строим окружность и параболу по точкам (0; 0), (1; 1), (2; 4), (−1; 1), (1,5; 2,25). Пересекаются в двух точках: по рисунку (1,6; 2,6) и (2,4; 5,9).
3) Проверка. Для а): из xy = 6 и y = (2x − 6)/3 получаем x(2x − 6) = 18; x² − 3x − 9 = 0; x = (3 ± 3√5)/2 ≈ 4,85 или −1,85; y = x·... находим y = (2x − 6)/3 = √5 − 1 ≈ 1,24 или −√5 − 1 ≈ −3,24; значит, точки найдены верно. Для б): подставляя y = x² в уравнение окружности, получаем x⁴ − 7x² − 6x + 21 = 0; уравнение имеет два действительных корня x ≈ 1,60 и x ≈ 2,43, откуда y ≈ 2,57 и y ≈ 5,92, что согласуется с рисунком.
Ответ: а) (4,85; 1,24), (−1,85; −3,24) (точно ((3 + 3√5)/2; √5 − 1) и ((3 − 3√5)/2; −√5 − 1)); б) (1,6; 2,6), (2,4; 5,9).
Оговорка: точки пересечения найдены приближённо по графику, как этого требует задание.
399. Решите графически систему уравнений: а) {x² + y² = 16, x + y + 2 = 0; б) {xy = 8, x + y + 3 = 0; в) {xy − 3 = 0, 2y − 3x = 3; г) {x² − y = 0, (9x + 4)(y − 9) = 0.
а) Окружность радиуса 4 с центром в начале координат и прямая y = −x − 2 (через (−2; 0) и (0; −2)) пересекаются в двух точках. По рисунку (1,6; −3,6) и (−3,6; 1,6). Точно: x² + (x + 2)² = 16; x² + 2x − 6 = 0; x = −1 ± √7; y = −x − 2 = −1 ∓ √7.
б) Гипербола y = 8/x (ветви в I и III четвертях) и прямая y = −x − 3 (через (−3; 0) и (0; −3)) общих точек не имеют: прямая проходит ниже ветви в III четверти и не достигает I четверти. Проверка: x(−x − 3) = 8, x² + 3x + 8 = 0, D = 9 − 32 < 0. Решений нет.
в) Гипербола y = 3/x и прямая y = 1,5x + 1,5 (через (−1; 0) и (1; 3)) пересекаются в точках (1; 3) и (−2; −1,5). Проверка: 1·3 = 3, 2·3 − 3·1 = 3; (−2)(−1,5) = 3, 2·(−1,5) − 3·(−2) = 3.
г) Первая линия — парабола y = x². Второе уравнение распадается: 9x + 4 = 0 (вертикальная прямая x = −4/9) или y = 9 (горизонтальная прямая). Парабола пересекает y = 9 в точках (3; 9) и (−3; 9), прямую x = −4/9 в точке (−4/9; 16/81). Три решения.
Ответ: а) (−1 + √7; −1 − √7) ≈ (1,6; −3,6), (−1 − √7; −1 + √7) ≈ (−3,6; 1,6); б) решений нет; в) (1; 3), (−2; −1,5); г) (3; 9), (−3; 9), (−4/9; 16/81).
б) Гипербола y = 8/x (ветви в I и III четвертях) и прямая y = −x − 3 (через (−3; 0) и (0; −3)) общих точек не имеют: прямая проходит ниже ветви в III четверти и не достигает I четверти. Проверка: x(−x − 3) = 8, x² + 3x + 8 = 0, D = 9 − 32 < 0. Решений нет.
в) Гипербола y = 3/x и прямая y = 1,5x + 1,5 (через (−1; 0) и (1; 3)) пересекаются в точках (1; 3) и (−2; −1,5). Проверка: 1·3 = 3, 2·3 − 3·1 = 3; (−2)(−1,5) = 3, 2·(−1,5) − 3·(−2) = 3.
г) Первая линия — парабола y = x². Второе уравнение распадается: 9x + 4 = 0 (вертикальная прямая x = −4/9) или y = 9 (горизонтальная прямая). Парабола пересекает y = 9 в точках (3; 9) и (−3; 9), прямую x = −4/9 в точке (−4/9; 16/81). Три решения.
Ответ: а) (−1 + √7; −1 − √7) ≈ (1,6; −3,6), (−1 − √7; −1 + √7) ≈ (−3,6; 1,6); б) решений нет; в) (1; 3), (−2; −1,5); г) (3; 9), (−3; 9), (−4/9; 16/81).
400. Изобразите схематически графики уравнений, выясните, сколько решений имеет система уравнений {x² + y² = 9, (x − 10)² + y² = 16.
Первое уравнение задаёт окружность с центром O(0; 0) и радиусом 3, второе — окружность с центром O₁(10; 0) и радиусом 4. Расстояние между центрами равно 10. Сумма радиусов 3 + 4 = 7 < 10, поэтому окружности лежат одна вне другой и не имеют общих точек (рисунок).
Проверка вычитанием: из второго уравнения вычтем первое: −20x + 100 = 7, x = 4,65. Тогда из первого y² = 9 − 21,6225 < 0, действительных решений нет.
Ответ: система не имеет решений.
Проверка вычитанием: из второго уравнения вычтем первое: −20x + 100 = 7, x = 4,65. Тогда из первого y² = 9 − 21,6225 < 0, действительных решений нет.
Ответ: система не имеет решений.