Глава IV. § 7. п. 19 Уравнение с двумя переменными и его график — с. 116
370. Что является графиком уравнения (2x + y)²/4 − (x − 0,5y)² = 24?
Выберите верный ответ.
1. Окружность 2. Гипербола 3. Парабола 4. Пара прямых
Преобразуем левую часть. (2x + y)²/4 = ((2x + y)/2)² = (x + 0,5y)². Тогда уравнение имеет вид
(x + 0,5y)² − (x − 0,5y)² = 24.
По формуле разности квадратов: ((x + 0,5y) − (x − 0,5y))·((x + 0,5y) + (x − 0,5y)) = 24, то есть y·2x = 24, откуда 2xy = 24, xy = 12, y = 12/x.
Это уравнение обратной пропорциональности, его график — гипербола.
Ответ: 2 (гипербола).
(x + 0,5y)² − (x − 0,5y)² = 24.
По формуле разности квадратов: ((x + 0,5y) − (x − 0,5y))·((x + 0,5y) + (x − 0,5y)) = 24, то есть y·2x = 24, откуда 2xy = 24, xy = 12, y = 12/x.
Это уравнение обратной пропорциональности, его график — гипербола.
Ответ: 2 (гипербола).
371. При каких значениях m графиком уравнения (x − 4)² + (y + m)² = 15 является окружность, центр которой расположен в четвёртой координатной четверти?
Данное уравнение при любом m — уравнение окружности радиуса √15 с центром в точке (4; −m).
В четвёртой четверти x > 0 и y < 0. Абсцисса центра 4 > 0 при любом m, а ордината −m должна быть отрицательной: −m < 0, откуда m > 0.
Ответ: при m > 0.
В четвёртой четверти x > 0 и y < 0. Абсцисса центра 4 > 0 при любом m, а ордината −m должна быть отрицательной: −m < 0, откуда m > 0.
Ответ: при m > 0.
372. При каких значениях r окружность (x − 5)² + (y − 7)² = r²: а) касается оси x; б) касается оси y?
Центр окружности — точка (5; 7). Окружность касается прямой, если расстояние от центра до прямой равно радиусу.
а) Расстояние от центра до оси x равно ординате центра 7. Значит, r = 7.
б) Расстояние от центра до оси y равно абсциссе центра 5. Значит, r = 5.
(Радиус положителен, поэтому отрицательные значения r не рассматриваем.)
Ответ: а) r = 7; б) r = 5.
а) Расстояние от центра до оси x равно ординате центра 7. Значит, r = 7.
б) Расстояние от центра до оси y равно абсциссе центра 5. Значит, r = 5.
(Радиус положителен, поэтому отрицательные значения r не рассматриваем.)
Ответ: а) r = 7; б) r = 5.
373. Составьте уравнение окружности с центром в точке (3; 8), зная, что она касается: а) оси x; б) оси y.
Уравнение окружности с центром (3; 8): (x − 3)² + (y − 8)² = r².
а) Окружность касается оси x, если радиус равен расстоянию от центра до оси x, то есть r = 8. Уравнение: (x − 3)² + (y − 8)² = 64.
б) Окружность касается оси y, если радиус равен расстоянию от центра до оси y, то есть r = 3. Уравнение: (x − 3)² + (y − 8)² = 9.
Ответ: а) (x − 3)² + (y − 8)² = 64; б) (x − 3)² + (y − 8)² = 9.
а) Окружность касается оси x, если радиус равен расстоянию от центра до оси x, то есть r = 8. Уравнение: (x − 3)² + (y − 8)² = 64.
б) Окружность касается оси y, если радиус равен расстоянию от центра до оси y, то есть r = 3. Уравнение: (x − 3)² + (y − 8)² = 9.
Ответ: а) (x − 3)² + (y − 8)² = 64; б) (x − 3)² + (y − 8)² = 9.
374. Постройте графики уравнений: а) (x − 1)² + (y − 2)² = 16; б) (x + 2)² + y² = 4; в) x² + (y − 3) = 25; г) (x + 5)² + (y + 7)² = 49.
Уравнение (x − a)² + (y − b)² = r² задаёт окружность с центром (a; b) и радиусом r.
а) Центр (1; 2), радиус 4.
б) Центр (−2; 0), радиус 2.
в) Центр (0; 3), радиус 5 (уравнение читаем как x² + (y − 3)² = 25).
г) Центр (−5; −7), радиус 7.
Строим окружности циркулем с найденными центрами и радиусами (рисунок).
Ответ: а) окружность с центром (1; 2) и радиусом 4; б) с центром (−2; 0) и радиусом 2; в) с центром (0; 3) и радиусом 5; г) с центром (−5; −7) и радиусом 7.
Оговорка: в условии пункта в) в учебнике у выражения (y − 3) нет знака квадрата; считаем опечаткой и решаем уравнение x² + (y − 3)² = 25.
а) Центр (1; 2), радиус 4.
б) Центр (−2; 0), радиус 2.
в) Центр (0; 3), радиус 5 (уравнение читаем как x² + (y − 3)² = 25).
г) Центр (−5; −7), радиус 7.
Строим окружности циркулем с найденными центрами и радиусами (рисунок).
Ответ: а) окружность с центром (1; 2) и радиусом 4; б) с центром (−2; 0) и радиусом 2; в) с центром (0; 3) и радиусом 5; г) с центром (−5; −7) и радиусом 7.
Оговорка: в условии пункта в) в учебнике у выражения (y − 3) нет знака квадрата; считаем опечаткой и решаем уравнение x² + (y − 3)² = 25.
375. Проходит ли через точку A(0,1; −0,1) график уравнения: а) x² + y² = 0,02; б) x² − y² = 0?
Подставляем x = 0,1 и y = −0,1.
а) 0,1² + (−0,1)² = 0,01 + 0,01 = 0,02. Равенство верно, график проходит через точку A.
б) 0,1² − (−0,1)² = 0,01 − 0,01 = 0. Равенство верно, график проходит через точку A.
Ответ: а) да; б) да.
а) 0,1² + (−0,1)² = 0,01 + 0,01 = 0,02. Равенство верно, график проходит через точку A.
б) 0,1² − (−0,1)² = 0,01 − 0,01 = 0. Равенство верно, график проходит через точку A.
Ответ: а) да; б) да.
376. При каком значении a точка B(a; 1 − a) принадлежит графику уравнения: а) x² − y² = 14; б) x² + y² = 1?
Подставляем x = a, y = 1 − a.
а) a² − (1 − a)² = 14; a² − 1 + 2a − a² = 14; 2a = 15; a = 7,5.
б) a² + (1 − a)² = 1; a² + 1 − 2a + a² = 1; 2a² − 2a = 0; 2a(a − 1) = 0; a = 0 или a = 1.
Ответ: а) a = 7,5; б) a = 0 или a = 1.
а) a² − (1 − a)² = 14; a² − 1 + 2a − a² = 14; 2a = 15; a = 7,5.
б) a² + (1 − a)² = 1; a² + 1 − 2a + a² = 1; 2a² − 2a = 0; 2a(a − 1) = 0; a = 0 или a = 1.
Ответ: а) a = 7,5; б) a = 0 или a = 1.
377. Составьте уравнения окружностей, симметричных окружности (x − 2)² + (y + 3)² = 9 относительно оси абсцисс; относительно оси ординат; относительно начала координат.
Данная окружность имеет центр (2; −3) и радиус 3. Симметричная окружность имеет тот же радиус 3, а центр симметричен центру (2; −3).
Относительно оси абсцисс: центр (2; 3), уравнение (x − 2)² + (y − 3)² = 9.
Относительно оси ординат: центр (−2; −3), уравнение (x + 2)² + (y + 3)² = 9.
Относительно начала координат: центр (−2; 3), уравнение (x + 2)² + (y − 3)² = 9.
Ответ: (x − 2)² + (y − 3)² = 9; (x + 2)² + (y + 3)² = 9; (x + 2)² + (y − 3)² = 9.
Относительно оси абсцисс: центр (2; 3), уравнение (x − 2)² + (y − 3)² = 9.
Относительно оси ординат: центр (−2; −3), уравнение (x + 2)² + (y + 3)² = 9.
Относительно начала координат: центр (−2; 3), уравнение (x + 2)² + (y − 3)² = 9.
Ответ: (x − 2)² + (y − 3)² = 9; (x + 2)² + (y + 3)² = 9; (x + 2)² + (y − 3)² = 9.
378. Дана окружность с центром в точке (5; 8) и радиусом, равным 4. а) Составьте её уравнение. б) Составьте уравнение окружностей, симметричных данной окружности относительно оси ординат; относительно оси абсцисс; относительно начала координат.
а) Уравнение окружности с центром (5; 8) и радиусом 4: (x − 5)² + (y − 8)² = 16.
б) Симметричные окружности имеют радиус 4 и центры, симметричные точке (5; 8).
Относительно оси ординат: центр (−5; 8), уравнение (x + 5)² + (y − 8)² = 16.
Относительно оси абсцисс: центр (5; −8), уравнение (x − 5)² + (y + 8)² = 16.
Относительно начала координат: центр (−5; −8), уравнение (x + 5)² + (y + 8)² = 16.
Ответ: а) (x − 5)² + (y − 8)² = 16; б) (x + 5)² + (y − 8)² = 16; (x − 5)² + (y + 8)² = 16; (x + 5)² + (y + 8)² = 16.
б) Симметричные окружности имеют радиус 4 и центры, симметричные точке (5; 8).
Относительно оси ординат: центр (−5; 8), уравнение (x + 5)² + (y − 8)² = 16.
Относительно оси абсцисс: центр (5; −8), уравнение (x − 5)² + (y + 8)² = 16.
Относительно начала координат: центр (−5; −8), уравнение (x + 5)² + (y + 8)² = 16.
Ответ: а) (x − 5)² + (y − 8)² = 16; б) (x + 5)² + (y − 8)² = 16; (x − 5)² + (y + 8)² = 16; (x + 5)² + (y + 8)² = 16.
379. Составьте уравнение двух концентрических окружностей, радиусы которых равны 2 и 5 и общий центр которых находится: а) в начале координат; б) в точке (3; 0); в) в точке (0; 4); г) в точке (−1; 2).
Концентрические окружности имеют общий центр (a; b); их уравнения (x − a)² + (y − b)² = 2² и (x − a)² + (y − b)² = 5², то есть правые части равны 4 и 25.
а) Центр (0; 0): x² + y² = 4 и x² + y² = 25.
б) Центр (3; 0): (x − 3)² + y² = 4 и (x − 3)² + y² = 25.
в) Центр (0; 4): x² + (y − 4)² = 4 и x² + (y − 4)² = 25.
г) Центр (−1; 2): (x + 1)² + (y − 2)² = 4 и (x + 1)² + (y − 2)² = 25.
Ответ: см. выше.
а) Центр (0; 0): x² + y² = 4 и x² + y² = 25.
б) Центр (3; 0): (x − 3)² + y² = 4 и (x − 3)² + y² = 25.
в) Центр (0; 4): x² + (y − 4)² = 4 и x² + (y − 4)² = 25.
г) Центр (−1; 2): (x + 1)² + (y − 2)² = 4 и (x + 1)² + (y − 2)² = 25.
Ответ: см. выше.
380. Две концентрические окружности, заданные уравнениями x² + y² = 9 и x² + y² = 16, делят плоскость на три области: кольцо, ограниченное окружностями, часть плоскости, ограниченную малой окружностью, и часть плоскости, находящуюся за пределами круга, ограниченного большой окружностью. В какой из трёх областей расположены точки: M(5; 5), N(1; −2), P(3,6; 0), Q(4,001; −0,5)?
Сделайте схематический рисунок.
Окружности имеют центр в начале координат и радиусы 3 и 4. Расстояние от точки (x; y) до начала координат равно √(x² + y²). Поэтому: если x² + y² < 9, точка внутри малой окружности; если 9 < x² + y² < 16, точка в кольце; если x² + y² > 16, точка за пределами большого круга.
M(5; 5): x² + y² = 25 + 25 = 50 > 16 — вне большого круга.
N(1; −2): x² + y² = 1 + 4 = 5 < 9 — внутри малой окружности.
P(3,6; 0): x² + y² = 12,96; 9 < 12,96 < 16 — в кольце.
Q(4,001; −0,5): x² + y² = 16,008001 + 0,25 = 16,258001 > 16 — вне большого круга.
Рисунок показан: кольцо закрашено.
Ответ: M и Q — в области за пределами большого круга; N — в области, ограниченной малой окружностью; P — в кольце.
M(5; 5): x² + y² = 25 + 25 = 50 > 16 — вне большого круга.
N(1; −2): x² + y² = 1 + 4 = 5 < 9 — внутри малой окружности.
P(3,6; 0): x² + y² = 12,96; 9 < 12,96 < 16 — в кольце.
Q(4,001; −0,5): x² + y² = 16,008001 + 0,25 = 16,258001 > 16 — вне большого круга.
Рисунок показан: кольцо закрашено.
Ответ: M и Q — в области за пределами большого круга; N — в области, ограниченной малой окружностью; P — в кольце.