Задачи повышенной трудности — с. 212
869. Известно, что y = f(x) — линейная функция и x1, x2, x3, … — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность f(x1), f(x2), … является арифметической прогрессией.
Пусть f(x) = kx + m, а разность прогрессии (x_n) равна d: x_{n+1} − x_n = d.
Тогда f(x_{n+1}) − f(x_n) = (kx_{n+1} + m) − (kx_n + m) = k(x_{n+1} − x_n) = kd — не зависит от n.
Разность соседних членов последовательности f(x1), f(x2), … постоянна и равна kd, поэтому это арифметическая прогрессия. Что и требовалось доказать.
Тогда f(x_{n+1}) − f(x_n) = (kx_{n+1} + m) − (kx_n + m) = k(x_{n+1} − x_n) = kd — не зависит от n.
Разность соседних членов последовательности f(x1), f(x2), … постоянна и равна kd, поэтому это арифметическая прогрессия. Что и требовалось доказать.
870. В арифметической прогрессии a1, a2, a3, a4, состоящей из целых чисел, наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.
Пусть d > 0 (тогда наибольший член a4); случай d < 0 получается записью членов в обратном порядке. Пусть a1 = a. Условие: a + 3d = a² + (a + d)² + (a + 2d)² = 3a² + 6ad + 5d², то есть 3a² + (6d − 1)a + 5d² − 3d = 0.
Уравнение относительно a имеет решения при D = (6d − 1)² − 12(5d² − 3d) = −24d² + 24d + 1 ≥ 0. При целом d ≥ 2 имеем D ≤ −96 + 48 + 1 < 0, поэтому d = 1: D = 1, a = (−5 ± 1)/6, a = −1 (целое) или a = −2/3 (не целое).
Прогрессия: −1, 0, 1, 2. Проверка: 2 = (−1)² + 0² + 1² = 2.
Ответ: −1, 0, 1, 2 (либо в обратном порядке 2, 1, 0, −1).
Оговорка: вырожденный случай d = 0 (все члены равны) даёт только 0, 0, 0, 0.
Уравнение относительно a имеет решения при D = (6d − 1)² − 12(5d² − 3d) = −24d² + 24d + 1 ≥ 0. При целом d ≥ 2 имеем D ≤ −96 + 48 + 1 < 0, поэтому d = 1: D = 1, a = (−5 ± 1)/6, a = −1 (целое) или a = −2/3 (не целое).
Прогрессия: −1, 0, 1, 2. Проверка: 2 = (−1)² + 0² + 1² = 2.
Ответ: −1, 0, 1, 2 (либо в обратном порядке 2, 1, 0, −1).
Оговорка: вырожденный случай d = 0 (все члены равны) даёт только 0, 0, 0, 0.
871. Пусть a1, a2, … — арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите, что сумма первых n членов последовательности (x_n), где x_n = 1/(√a_n + √a_{n+1}), равна n/(√a_1 + √a_{n+1}).
Пусть d — разность прогрессии. Если d ≠ 0, умножим числитель и знаменатель x_n на √a_{n+1} − √a_n: x_n = (√a_{n+1} − √a_n)/(a_{n+1} − a_n) = (√a_{n+1} − √a_n)/d.
Сумма: x_1 + … + x_n = (1/d)[(√a_2 − √a_1) + (√a_3 − √a_2) + … + (√a_{n+1} − √a_n)] = (√a_{n+1} − √a_1)/d.
Так как a_{n+1} − a_1 = nd, то d = (a_{n+1} − a_1)/n, и сумма равна n(√a_{n+1} − √a_1)/(a_{n+1} − a_1) = n/(√a_{n+1} + √a_1).
Если d = 0, то все a_k равны a_1, x_n = 1/(2√a_1), сумма n членов равна n/(2√a_1) = n/(√a_1 + √a_{n+1}).
Что и требовалось доказать.
Сумма: x_1 + … + x_n = (1/d)[(√a_2 − √a_1) + (√a_3 − √a_2) + … + (√a_{n+1} − √a_n)] = (√a_{n+1} − √a_1)/d.
Так как a_{n+1} − a_1 = nd, то d = (a_{n+1} − a_1)/n, и сумма равна n(√a_{n+1} − √a_1)/(a_{n+1} − a_1) = n/(√a_{n+1} + √a_1).
Если d = 0, то все a_k равны a_1, x_n = 1/(2√a_1), сумма n членов равна n/(2√a_1) = n/(√a_1 + √a_{n+1}).
Что и требовалось доказать.
872. Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию.
Пусть стороны a, b, c образуют геометрическую прогрессию, то есть b² = ac. Пусть S — площадь, h_a, h_b, h_c — высоты к этим сторонам. Так как S = a·h_a/2 = b·h_b/2 = c·h_c/2, то h_a = 2S/a, h_b = 2S/b, h_c = 2S/c.
Тогда h_b² = 4S²/b² = 4S²/(ac) и h_a · h_c = (2S/a)(2S/c) = 4S²/(ac). Значит, h_b² = h_a · h_c, и высоты h_a, h_b, h_c (взятые в том же порядке) образуют геометрическую прогрессию. Что и требовалось доказать.
Тогда h_b² = 4S²/b² = 4S²/(ac) и h_a · h_c = (2S/a)(2S/c) = 4S²/(ac). Значит, h_b² = h_a · h_c, и высоты h_a, h_b, h_c (взятые в том же порядке) образуют геометрическую прогрессию. Что и требовалось доказать.
873. Три различных целых числа составляют геометрическую прогрессию. Их сумма равна −3. Найдите эти числа.
Пусть числа a, b, c — целые, различные, b² = ac, a + b + c = −3. Сократив общий множитель, запишем a = km², b = kmn, c = kn², где m и n взаимно просты (m ≠ n, и числа m, n ненулевые, иначе числа не будут различными), k — целое.
Сумма: k(m² + mn + n²) = −3. Выражение m² + mn + n² положительно и делит 3, поэтому равно 1 или 3.
Если m² + mn + n² = 1, то (m; n) = (1; −1), (−1; 1. (случаи с нулём исключены), и числа a, b, c равны k, −k, k — не различны.
Если m² + mn + n² = 3 (k = −1), то (m; n) = (1; −2), (−1; 2), (2; −1), (−2; 1. (пары (1; 1), (−1; −1) дают одинаковые числа). Получаем числа −1, 2, −4 (знаменатель прогрессии −2) или в обратном порядке −4, 2, −1.
Проверка: −1 + 2 − 4 = −3, 2² = (−1)(−4).
Ответ: −1, 2, −4 (или −4, 2, −1).
Сумма: k(m² + mn + n²) = −3. Выражение m² + mn + n² положительно и делит 3, поэтому равно 1 или 3.
Если m² + mn + n² = 1, то (m; n) = (1; −1), (−1; 1. (случаи с нулём исключены), и числа a, b, c равны k, −k, k — не различны.
Если m² + mn + n² = 3 (k = −1), то (m; n) = (1; −2), (−1; 2), (2; −1), (−2; 1. (пары (1; 1), (−1; −1) дают одинаковые числа). Получаем числа −1, 2, −4 (знаменатель прогрессии −2) или в обратном порядке −4, 2, −1.
Проверка: −1 + 2 − 4 = −3, 2² = (−1)(−4).
Ответ: −1, 2, −4 (или −4, 2, −1).
874. Три целых числа составляют арифметическую прогрессию, первый член которой 1. Если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.
Пусть прогрессия 1, 1 + d, 1 + 2d (d — целое). После изменений получаем числа 1, d + 4, (1 + 2d)², образующие геометрическую прогрессию: (d + 4)² = 1 · (1 + 2d)².
Отсюда d + 4 = 1 + 2d или d + 4 = −(1 + 2d). Первое: d = 3. Второе: 3d = −5, d = −5/3 — не целое.
При d = 3: числа 1, 4, 7; проверка: 1, 7, 49 — геометрическая прогрессия со знаменателем 7.
Ответ: 1, 4, 7.
Отсюда d + 4 = 1 + 2d или d + 4 = −(1 + 2d). Первое: d = 3. Второе: 3d = −5, d = −5/3 — не целое.
При d = 3: числа 1, 4, 7; проверка: 1, 7, 49 — геометрическая прогрессия со знаменателем 7.
Ответ: 1, 4, 7.
875. Докажите, что при любом натуральном значении n > 1 верно неравенство 1/2 < ⁿ√((1 · 3 · 5 · … · (2n − 1))/(2 · 4 · 6 · … · 2n)) < 1.
Обозначим P = (1/2) · (3/4) · (5/6) · … · ((2n − 1)/(2n)); n-й корень из P надо оценить.
Каждый множитель (2k − 1)/(2k) меньше 1, поэтому P < 1 и ⁿ√P < 1.
Первый множитель равен 1/2, а остальные n − 1 ≥ 1 множителей (2k − 1)/(2k) при k ≥ 2 не меньше 3/4 и потому больше 1/2. Следовательно, P > (1/2)^n, и ⁿ√P > 1/2.
Итак, 1/2 < ⁿ√P < 1. Что и требовалось доказать.
Каждый множитель (2k − 1)/(2k) меньше 1, поэтому P < 1 и ⁿ√P < 1.
Первый множитель равен 1/2, а остальные n − 1 ≥ 1 множителей (2k − 1)/(2k) при k ≥ 2 не меньше 3/4 и потому больше 1/2. Следовательно, P > (1/2)^n, и ⁿ√P > 1/2.
Итак, 1/2 < ⁿ√P < 1. Что и требовалось доказать.
876. Упростите выражение: а) ∛(5√2 + 7) − ∛(5√2 − 7); б) ∛(2 + √5) + ∛(2 − √5).
а) (1 + √2)³ = 1 + 3√2 + 3 · 2 + 2√2 = 7 + 5√2, значит, ∛(5√2 + 7) = 1 + √2. (√2 − 1)³ = 2√2 − 3 · 2 + 3√2 − 1 = 5√2 − 7, значит, ∛(5√2 − 7) = √2 − 1. Разность: (1 + √2) − (√2 − 1) = 2.
б) ((1 + √5)/2)³ = (1 + 3√5 + 15 + 5√5)/8 = (16 + 8√5)/8 = 2 + √5, поэтому ∛(2 + √5) = (1 + √5)/2. Аналогично ((1 − √5)/2)³ = (1 − 3√5 + 15 − 5√5)/8 = 2 − √5, поэтому ∛(2 − √5) = (1 − √5)/2. Сумма: (1 + √5)/2 + (1 − √5)/2 = 1.
Ответ: а) 2; б) 1.
б) ((1 + √5)/2)³ = (1 + 3√5 + 15 + 5√5)/8 = (16 + 8√5)/8 = 2 + √5, поэтому ∛(2 + √5) = (1 + √5)/2. Аналогично ((1 − √5)/2)³ = (1 − 3√5 + 15 − 5√5)/8 = 2 − √5, поэтому ∛(2 − √5) = (1 − √5)/2. Сумма: (1 + √5)/2 + (1 − √5)/2 = 1.
Ответ: а) 2; б) 1.
877. Докажите, что если x² + y² + z² = xy + yz + zx, то x = y = z.
Умножим равенство на 2 и перенесём всё в левую часть: 2x² + 2y² + 2z² − 2xy − 2yz − 2zx = 0, то есть (x − y)² + (y − z)² + (z − x)² = 0.
Сумма трёх неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое равно нулю: x − y = 0, y − z = 0, z − x = 0. Значит, x = y = z. Что и требовалось доказать.
Сумма трёх неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое равно нулю: x − y = 0, y − z = 0, z − x = 0. Значит, x = y = z. Что и требовалось доказать.
878. Решите уравнение с двумя переменными x² + 2√3x + y − 4√y + 7 = 0.
Область определения: y ≥ 0. Выделим полные квадраты: x² + 2√3x = (x + √3)² − 3 и y − 4√y = (√y − 2)² − 4.
Уравнение принимает вид (x + √3)² − 3 + (√y − 2)² − 4 + 7 = 0, то есть (x + √3)² + (√y − 2)² = 0.
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое равно нулю: x = −√3, √y = 2, y = 4.
Ответ: x = −√3, y = 4.
Уравнение принимает вид (x + √3)² − 3 + (√y − 2)² − 4 + 7 = 0, то есть (x + √3)² + (√y − 2)² = 0.
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое равно нулю: x = −√3, √y = 2, y = 4.
Ответ: x = −√3, y = 4.
879. Решите систему уравнений {x² + y² − 2z² = 0, x + y + z = 8, xy = −z².
Из первого уравнения x² + y² = 2z², из третьего 2xy = −2z². Сложим: (x + y)² = x² + y² + 2xy = 2z² − 2z² = 0, значит, x + y = 0.
Тогда из второго уравнения z = 8, а из третьего xy = −64. С y = −x: −x² = −64, x = ±8.
Проверка (8; −8; 8): 64 + 64 − 128 = 0; 8 − 8 + 8 = 8; 8 · (−8) = −64. Верно.
Ответ: (8; −8; 8), (−8; 8; 8).
Тогда из второго уравнения z = 8, а из третьего xy = −64. С y = −x: −x² = −64, x = ±8.
Проверка (8; −8; 8): 64 + 64 − 128 = 0; 8 − 8 + 8 = 8; 8 · (−8) = −64. Верно.
Ответ: (8; −8; 8), (−8; 8; 8).
880. Решите в натуральных числах систему уравнений {x + y + z = 14, x + yz = 19.
Вычтем из второго уравнения первое: yz − y − z = 5. Прибавим 1: yz − y − z + 1 = 6, (y − 1)(z − 1) = 6.
У натуральных y, z множители y − 1, z − 1 — неотрицательные целые, и их произведение 6, поэтому пары (y − 1; z − 1) = (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1). Отсюда (y; z) = (2; 7), (3; 4), (4; 3), (7; 2). Тогда x = 14 − y − z равно 5, 7, 7, 5.
Проверка (5; 2; 7): 5 + 14 = 19. (7; 3; 4): 7 + 12 = 19. Верно.
Ответ: (5; 2; 7), (7; 3; 4), (7; 4; 3), (5; 7; 2. (в порядке x; y; z).
У натуральных y, z множители y − 1, z − 1 — неотрицательные целые, и их произведение 6, поэтому пары (y − 1; z − 1) = (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1). Отсюда (y; z) = (2; 7), (3; 4), (4; 3), (7; 2). Тогда x = 14 − y − z равно 5, 7, 7, 5.
Проверка (5; 2; 7): 5 + 14 = 19. (7; 3; 4): 7 + 12 = 19. Верно.
Ответ: (5; 2; 7), (7; 3; 4), (7; 4; 3), (5; 7; 2. (в порядке x; y; z).