Задачи повышенной трудности — с. 213
881. Докажите, что при положительных значениях a, b и c верно неравенство (a² + a + 1)(b² + b + 1)(c² + c + 1)/(abc) ≥ 27.
Запишем левую часть как произведение трёх множителей: ((a² + a + 1)/a) · ((b² + b + 1)/b) · ((c² + c + 1)/c).
При a > 0: (a² + a + 1)/a = a + 1 + 1/a = 1 + (a + 1/a). Известно, что a + 1/a ≥ 2 при a > 0 (так как (a − 1)²/a ≥ 0). Поэтому каждый множитель не меньше 3.
Аналогично для b и c. Все множители положительны, поэтому их произведение не меньше 3 · 3 · 3 = 27. Что и требовалось доказать (равенство при a = b = c = 1).
При a > 0: (a² + a + 1)/a = a + 1 + 1/a = 1 + (a + 1/a). Известно, что a + 1/a ≥ 2 при a > 0 (так как (a − 1)²/a ≥ 0). Поэтому каждый множитель не меньше 3.
Аналогично для b и c. Все множители положительны, поэтому их произведение не меньше 3 · 3 · 3 = 27. Что и требовалось доказать (равенство при a = b = c = 1).
882. Найдите при любом натуральном n значение выражения ∛((1 · 2 · 4 + 2 · 4 · 8 + … + n · 2n · 4n)/(1 · 3 · 9 + 2 · 6 · 18 + … + n · 3n · 9n)).
k-е слагаемое числителя: k · 2k · 4k = 8k³; k-е слагаемое знаменателя: k · 3k · 9k = 27k³.
Числитель равен 8(1³ + 2³ + … + n³), знаменатель 27(1³ + 2³ + … + n³); сумма кубов положительна и сокращается.
Дробь равна 8/27, и ∛(8/27) = 2/3.
Ответ: 2/3.
Числитель равен 8(1³ + 2³ + … + n³), знаменатель 27(1³ + 2³ + … + n³); сумма кубов положительна и сокращается.
Дробь равна 8/27, и ∛(8/27) = 2/3.
Ответ: 2/3.
883. Докажите, что значение выражения (5 + 10^(n+1))(1 + 10 + … + 10^n) + 1 при любом натуральном n можно представить в виде квадрата натурального числа.
Пусть t = 10^(n+1). Сумма 1 + 10 + … + 10^n — сумма геометрической прогрессии, она равна (10^(n+1) − 1)/9 = (t − 1)/9.
Выражение: (5 + t)(t − 1)/9 + 1 = (t² + 4t − 5 + 9)/9 = (t² + 4t + 4)/9 = ((t + 2)/3)².
Число t + 2 = 10^(n+1) + 2 записывается цифрами 10…02, сумма цифр равна 3, поэтому оно делится на 3, и (t + 2)/3 — натуральное число (например, для n = 1: 102/3 = 34, и 105 · 11 + 1 = 1156 = 34²).
Значит, выражение — квадрат натурального числа. Что и требовалось доказать.
Выражение: (5 + t)(t − 1)/9 + 1 = (t² + 4t − 5 + 9)/9 = (t² + 4t + 4)/9 = ((t + 2)/3)².
Число t + 2 = 10^(n+1) + 2 записывается цифрами 10…02, сумма цифр равна 3, поэтому оно делится на 3, и (t + 2)/3 — натуральное число (например, для n = 1: 102/3 = 34, и 105 · 11 + 1 = 1156 = 34²).
Значит, выражение — квадрат натурального числа. Что и требовалось доказать.
884. Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое после умножения на 21 станет квадратом натурального числа.
Пусть искомое число k, 21k = m². Так как 21 = 3 · 7 — произведение различных простых, то m² делится на 3 и 7, значит, m делится на 21: m = 21q, и 21k = 441q², откуда k = 21q².
Четырёхзначное число: 21q² ≥ 1000, q² ≥ 47,6…, q ≥ 7. При q = 7 получаем k = 21 · 49 = 1029. При q = 6 было бы 756 — трёхзначное.
Проверка: 1029 · 21 = 21609 = 147².
Ответ: 1029.
Четырёхзначное число: 21q² ≥ 1000, q² ≥ 47,6…, q ≥ 7. При q = 7 получаем k = 21 · 49 = 1029. При q = 6 было бы 756 — трёхзначное.
Проверка: 1029 · 21 = 21609 = 147².
Ответ: 1029.
885. Трёхзначное число x, кратное 5, можно представить в виде суммы куба и квадрата одного и того же натурального числа. Найдите число x.
Пусть x = n³ + n² = n²(n + 1), трёхзначное: 100 ≤ n²(n + 1) ≤ 999. Значения: n = 4: 80 (мало); n = 5: 150; n = 6: 252; n = 7: 392; n = 8: 576; n = 9: 810; n = 10: 1100 (много).
Кратны 5 числа 150 и 810.
Ответ: x = 150 (n = 5) или x = 810 (n = 9).
Кратны 5 числа 150 и 810.
Ответ: x = 150 (n = 5) или x = 810 (n = 9).
886. Взяли два различных натуральных числа. Эти числа сложили, перемножили, вычли из большего данного числа меньшее и разделили большее на меньшее. Оказалось, что сумма всех четырёх результатов равна 441. Найдите эти числа.
Пусть a > b — числа. Сумма: (a + b) + ab + (a − b) + a/b = 441. Все слагаемые, кроме a/b, целые, поэтому a/b — целое число q: a = bq (q ≥ 2).
Получаем 2a + ab + a/b = 2bq + b²q + q = q(b² + 2b + 1) = q(b + 1)² = 441 = 21².
Так как b ≥ 1, (b + 1)² — делитель 441 = 3² · 7², и b + 1 ≥ 2: b + 1 = 3, 7 или 21.
b + 1 = 3: b = 2, q = 49, a = 98. b + 1 = 7: b = 6, q = 9, a = 54. b + 1 = 21: b = 20, q = 1, a = 20 — числа совпадают, не подходит.
Проверка (98; 2): 100 + 196 + 96 + 49 = 441; (54; 6): 60 + 324 + 48 + 9 = 441.
Ответ: 98 и 2 или 54 и 6.
Получаем 2a + ab + a/b = 2bq + b²q + q = q(b² + 2b + 1) = q(b + 1)² = 441 = 21².
Так как b ≥ 1, (b + 1)² — делитель 441 = 3² · 7², и b + 1 ≥ 2: b + 1 = 3, 7 или 21.
b + 1 = 3: b = 2, q = 49, a = 98. b + 1 = 7: b = 6, q = 9, a = 54. b + 1 = 21: b = 20, q = 1, a = 20 — числа совпадают, не подходит.
Проверка (98; 2): 100 + 196 + 96 + 49 = 441; (54; 6): 60 + 324 + 48 + 9 = 441.
Ответ: 98 и 2 или 54 и 6.
887. Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45.
Пусть a² − b² = 45, (a − b)(a + b) = 45, a > b ≥ 1. Разложим 45 на два натуральных множителя с меньшим первым (оба нечётны, так как 45 нечётно): 1 · 45, 3 · 15, 5 · 9.
a − b = 1, a + b = 45: a = 23, b = 22. a − b = 3, a + b = 15: a = 9, b = 6. a − b = 5, a + b = 9: a = 7, b = 2.
Проверка: 23² − 22² = 529 − 484 = 45; 81 − 36 = 45; 49 − 4 = 45.
Ответ: 23 и 22, либо 9 и 6, либо 7 и 2.
a − b = 1, a + b = 45: a = 23, b = 22. a − b = 3, a + b = 15: a = 9, b = 6. a − b = 5, a + b = 9: a = 7, b = 2.
Проверка: 23² − 22² = 529 − 484 = 45; 81 − 36 = 45; 49 − 4 = 45.
Ответ: 23 и 22, либо 9 и 6, либо 7 и 2.
888. Докажите, что не существует натурального числа, которое от перестановки первой цифры в конец числа увеличилось бы в 5 раз.
Пусть у числа N первая цифра d (1 ≤ d ≤ 9), а оставшаяся часть M имеет k цифр: N = d · 10^k + M, M < 10^k. После перестановки получается число 10M + d.
Условие: 10M + d = 5(d · 10^k + M), откуда 5M = d(5 · 10^k − 1) (при k = 0 число однозначно, перестановка ничего не меняет, N = 5N невозможно).
Число 5 · 10^k − 1 оканчивается на 9, поэтому не делится на 5; левая часть делится на 5, значит, d делится на 5, d = 5. Тогда M = 5 · 10^k − 1 > 10^k, что противоречит M < 10^k.
Следовательно, такого натурального числа не существует. Что и требовалось доказать.
Условие: 10M + d = 5(d · 10^k + M), откуда 5M = d(5 · 10^k − 1) (при k = 0 число однозначно, перестановка ничего не меняет, N = 5N невозможно).
Число 5 · 10^k − 1 оканчивается на 9, поэтому не делится на 5; левая часть делится на 5, значит, d делится на 5, d = 5. Тогда M = 5 · 10^k − 1 > 10^k, что противоречит M < 10^k.
Следовательно, такого натурального числа не существует. Что и требовалось доказать.
889. Решите уравнение ∛((65 + x)²) + 4∛((65 − x)²) − 5∛(65² − x²) = 0.
Пусть u = ∛(65 + x), v = ∛(65 − x). Тогда ∛(65² − x²) = uv, и уравнение имеет вид u² + 4v² − 5uv = 0, то есть (u − v)(u − 4v) = 0.
u = v: 65 + x = 65 − x, x = 0.
u = 4v: 65 + x = 64(65 − x), 65x = 63 · 65, x = 63.
Проверка x = 63: 65 + x = 128 = 64 · 2, 65 − x = 2; при w = ∛2 имеем u = 4w, v = w, и u² + 4v² − 5uv = 16w² + 4w² − 20w² = 0. Верно. Проверка x = 0: u = v, 1 + 4 − 5 = 0 (после деления на u²). Верно.
Ответ: 0; 63.
u = v: 65 + x = 65 − x, x = 0.
u = 4v: 65 + x = 64(65 − x), 65x = 63 · 65, x = 63.
Проверка x = 63: 65 + x = 128 = 64 · 2, 65 − x = 2; при w = ∛2 имеем u = 4w, v = w, и u² + 4v² − 5uv = 16w² + 4w² − 20w² = 0. Верно. Проверка x = 0: u = v, 1 + 4 − 5 = 0 (после деления на u²). Верно.
Ответ: 0; 63.
890. Постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) xy² < x; б) y² − x²y + 2x² > 2y; в) x³ + xy² − 4x ≤ 0; г) x²y + y³ − y ≥ 0.
а) xy² − x < 0 ⇔ x(y² − 1) < 0. Либо x > 0 и |y| < 1 (правая полуплоскость между прямыми y = −1 и y = 1), либо x < 0 и |y| > 1 (левая полуплоскость выше y = 1 и ниже y = −1). Границы (оси x = 0 и прямые y = ±1) не входят — они пунктиром.
б) y² − x²y + 2x² − 2y > 0 ⇔ y(y − 2) − x²(y − 2) = (y − 2)(y − x²) > 0. Либо y > 2 и y > x² (выше и прямой, и параболы), либо y < 2 и y < x² (ниже и прямой, и параболы). Линии y = 2 и y = x² (пересекаются при x = ±√2) не входят.
в) x(x² + y² − 4) ≤ 0. Либо x ≥ 0 и x² + y² ≤ 4 (правая половина круга радиуса 2), либо x ≤ 0 и x² + y² ≥ 4 (левая полуплоскость вне круга). Ось y и окружность входят.
г) y(x² + y² − 1) ≥ 0. Либо y ≥ 0 и x² + y² ≥ 1 (верхняя полуплоскость вне единичного круга), либо y ≤ 0 и x² + y² ≤ 1 (нижняя половина единичного круга). Ось x и окружность входят.
Области закрашены на рисунке.
б) y² − x²y + 2x² − 2y > 0 ⇔ y(y − 2) − x²(y − 2) = (y − 2)(y − x²) > 0. Либо y > 2 и y > x² (выше и прямой, и параболы), либо y < 2 и y < x² (ниже и прямой, и параболы). Линии y = 2 и y = x² (пересекаются при x = ±√2) не входят.
в) x(x² + y² − 4) ≤ 0. Либо x ≥ 0 и x² + y² ≤ 4 (правая половина круга радиуса 2), либо x ≤ 0 и x² + y² ≥ 4 (левая полуплоскость вне круга). Ось y и окружность входят.
г) y(x² + y² − 1) ≥ 0. Либо y ≥ 0 и x² + y² ≥ 1 (верхняя полуплоскость вне единичного круга), либо y ≤ 0 и x² + y² ≤ 1 (нижняя половина единичного круга). Ось x и окружность входят.
Области закрашены на рисунке.
891. Изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют системе: а) {x² + y² ≤ 4, |x| ≥ 1; б) {x² + y² ≤ 9, |y| ≥ 2.
а) x² + y² ≤ 4 — круг радиуса 2 с центром в начале координат (с границей); |x| ≥ 1 — это x ≤ −1 или x ≥ 1, то есть плоскость вне полосы −1 < x < 1. Пересечение: круг без полосы вокруг оси y — две части круга (левая и правая) с границами x = ±1.
б) x² + y² ≤ 9 — круг радиуса 3; |y| ≥ 2 — плоскость вне полосы −2 < y < 2. Пересечение: два сегмента круга, верхний (y ≥ 2) и нижний (y ≤ −2); хорды лежат на y = ±2, их концы (±√5; ±2).
б) x² + y² ≤ 9 — круг радиуса 3; |y| ≥ 2 — плоскость вне полосы −2 < y < 2. Пересечение: два сегмента круга, верхний (y ≥ 2) и нижний (y ≤ −2); хорды лежат на y = ±2, их концы (±√5; ±2).