Задачи повышенной трудности — с. 211
859. Знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата её числителя на 1. Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше 1/4, а если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше 1/10. Найдите такие дроби.
Пусть числитель дроби a (натуральное), знаменатель a² − 1 (он положителен, значит, a ≥ 2). Дробь a/(a² − 1).
Первое условие: (a + 2)/(a² + 1) > 1/4, то есть 4a + 8 > a² + 1, a² − 4a − 7 < 0, откуда a < 2 + √11 ≈ 5,3. Значит, a ≤ 5.
Второе условие: (a − 3)/(a² − 4) < 1/10. При a = 2 знаменатель a² − 1 − 3 = 0, дробь не определена, этот случай отпадает. При a ≥ 3 знаменатель a² − 4 > 0 и условие равносильно 10a − 30 < a² − 4, a² − 10a + 26 > 0, D = 100 − 104 < 0 — верно при всех a.
Остаются a = 3, 4, 5: дроби 3/8, 4/15, 5/24.
Проверка: 5/10 > 1/4 и 0/5 < 1/10 (для 3/8); 6/17 > 1/4 и 1/12 < 1/10 (для 4/15); 7/26 > 1/4 и 2/21 < 1/10 (для 5/24).
Ответ: 3/8; 4/15; 5/24.
Первое условие: (a + 2)/(a² + 1) > 1/4, то есть 4a + 8 > a² + 1, a² − 4a − 7 < 0, откуда a < 2 + √11 ≈ 5,3. Значит, a ≤ 5.
Второе условие: (a − 3)/(a² − 4) < 1/10. При a = 2 знаменатель a² − 1 − 3 = 0, дробь не определена, этот случай отпадает. При a ≥ 3 знаменатель a² − 4 > 0 и условие равносильно 10a − 30 < a² − 4, a² − 10a + 26 > 0, D = 100 − 104 < 0 — верно при всех a.
Остаются a = 3, 4, 5: дроби 3/8, 4/15, 5/24.
Проверка: 5/10 > 1/4 и 0/5 < 1/10 (для 3/8); 6/17 > 1/4 и 1/12 < 1/10 (для 4/15); 7/26 > 1/4 и 2/21 < 1/10 (для 5/24).
Ответ: 3/8; 4/15; 5/24.
860. Решите систему уравнений {x + xy + y = 5, y + yz + z = 11, z + zx + x = 7.
Прибавим к каждому уравнению 1 и разложим левые части: (x + 1)(y + 1) = 6, (y + 1)(z + 1) = 12, (z + 1)(x + 1) = 8.
Перемножим: [(x + 1)(y + 1)(z + 1)]² = 6 · 12 · 8 = 576, откуда (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24 или −24.
Случай 24: делим на каждое из уравнений: z + 1 = 24/6 = 4, x + 1 = 24/12 = 2, y + 1 = 24/8 = 3, то есть x = 1, y = 2, z = 3.
Случай −24: z + 1 = −4, x + 1 = −2, y + 1 = −3, то есть x = −3, y = −4, z = −5.
Проверка (1; 2; 3): 1 + 2 + 2 = 5; 2 + 6 + 3 = 11; 3 + 3 + 1 = 7. Верно.
Ответ: (1; 2; 3), (−3; −4; −5).
Перемножим: [(x + 1)(y + 1)(z + 1)]² = 6 · 12 · 8 = 576, откуда (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24 или −24.
Случай 24: делим на каждое из уравнений: z + 1 = 24/6 = 4, x + 1 = 24/12 = 2, y + 1 = 24/8 = 3, то есть x = 1, y = 2, z = 3.
Случай −24: z + 1 = −4, x + 1 = −2, y + 1 = −3, то есть x = −3, y = −4, z = −5.
Проверка (1; 2; 3): 1 + 2 + 2 = 5; 2 + 6 + 3 = 11; 3 + 3 + 1 = 7. Верно.
Ответ: (1; 2; 3), (−3; −4; −5).
861. Найдите значение m, при котором корни уравнения x³ − 9x² + mx − 15 = 0 образуют арифметическую прогрессию.
Пусть корни a − d, a, a + d. По теореме Виета (для кубического уравнения) их сумма равна 9: 3a = 9, a = 3. Значит, x = 3 — корень: 27 − 81 + 3m − 15 = 0, 3m = 69, m = 23.
Проверка: x³ − 9x² + 23x − 15 = (x − 3)(x² − 6x + 5) = (x − 1)(x − 3)(x − 5); корни 1, 3, 5 образуют арифметическую прогрессию.
Ответ: m = 23.
Проверка: x³ − 9x² + 23x − 15 = (x − 3)(x² − 6x + 5) = (x − 1)(x − 3)(x − 5); корни 1, 3, 5 образуют арифметическую прогрессию.
Ответ: m = 23.
862. Докажите, что при любом a выполняется неравенство 1/3 ≤ (a² − a + 1)/(a² + a + 1) ≤ 3.
Знаменатель a² + a + 1 > 0 при любом a (D = −3 < 0), поэтому можно умножать на него.
Правое неравенство: a² − a + 1 ≤ 3a² + 3a + 3 ⇔ 0 ≤ 2a² + 4a + 2 = 2(a + 1)² — верно.
Левое неравенство: 3(a² − a + 1) ≥ a² + a + 1 ⇔ 2a² − 4a + 2 ≥ 0 ⇔ 2(a − 1)² ≥ 0 — верно.
Оба неравенства верны при любом a. Что и требовалось доказать.
Правое неравенство: a² − a + 1 ≤ 3a² + 3a + 3 ⇔ 0 ≤ 2a² + 4a + 2 = 2(a + 1)² — верно.
Левое неравенство: 3(a² − a + 1) ≥ a² + a + 1 ⇔ 2a² − 4a + 2 ≥ 0 ⇔ 2(a − 1)² ≥ 0 — верно.
Оба неравенства верны при любом a. Что и требовалось доказать.
863. За сколько часов может выполнить работу каждый из трёх рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго?
Известно, что если бы один третий рабочий проработал 48 ч, то для окончания работы одному первому потребовалось бы 10 ч, а одному второму — 15 ч.
Вся работа — 1. Пусть p1, p2, p3 — производительности (доля работы за час). По условию p3 = (p1 + p2)/2.
Третий за 48 ч выполнит 48p3; остаток 1 − 48p3 первый делает за 10 ч, второй за 15 ч: p1 = (1 − 48p3)/10, p2 = (1 − 48p3)/15.
Тогда p3 = (p1 + p2)/2 = (1 − 48p3) · (1/10 + 1/15)/2 = (1 − 48p3)/12, откуда 12p3 = 1 − 48p3, 60p3 = 1, p3 = 1/60.
Значит, 1 − 48p3 = 0,2; p1 = 0,2/10 = 1/50, p2 = 0,2/15 = 1/75.
Времена: первый 50 ч, второй 75 ч, третий 60 ч. Проверка: (1/50 + 1/75)/2 = (3/150 + 2/150)/2 = 1/60.
Ответ: первый за 50 ч, второй за 75 ч, третий за 60 ч.
Третий за 48 ч выполнит 48p3; остаток 1 − 48p3 первый делает за 10 ч, второй за 15 ч: p1 = (1 − 48p3)/10, p2 = (1 − 48p3)/15.
Тогда p3 = (p1 + p2)/2 = (1 − 48p3) · (1/10 + 1/15)/2 = (1 − 48p3)/12, откуда 12p3 = 1 − 48p3, 60p3 = 1, p3 = 1/60.
Значит, 1 − 48p3 = 0,2; p1 = 0,2/10 = 1/50, p2 = 0,2/15 = 1/75.
Времена: первый 50 ч, второй 75 ч, третий 60 ч. Проверка: (1/50 + 1/75)/2 = (3/150 + 2/150)/2 = 1/60.
Ответ: первый за 50 ч, второй за 75 ч, третий за 60 ч.
864. Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?
Пусть число 10a + b (a — цифра десятков, b — цифра единиц). Тогда 10a + b = 2(a² + b²) + 6 и 10a + b = 4ab + 6.
Приравняем правые части: 2a² + 2b² + 6 = 4ab + 6, 2(a − b)² = 0, a = b. Число равно 11a.
Подставим в 11a = 4a² + 6 (так как ab = a²): 4a² − 11a + 6 = 0, D = 121 − 96 = 25, a = (11 ± 5)/8, a = 2 или a = 3/4. Цифра a = 2.
Число 22: 22 = 2 · 8 + 6 (сумма квадратов цифр 4 + 4 = 8) и 22 = 4 · 4 + 6 (произведение цифр 4).
Ответ: существует, это число 22.
Оговорка: остаток 6 при делении на 4 больше делителя, то есть деление с остатком в строгом смысле неполное; ответ получен из равенств 22 = 2 · 8 + 6 и 22 = 4 · 4 + 6 и совпадает с ответом учебника.
Приравняем правые части: 2a² + 2b² + 6 = 4ab + 6, 2(a − b)² = 0, a = b. Число равно 11a.
Подставим в 11a = 4a² + 6 (так как ab = a²): 4a² − 11a + 6 = 0, D = 121 − 96 = 25, a = (11 ± 5)/8, a = 2 или a = 3/4. Цифра a = 2.
Число 22: 22 = 2 · 8 + 6 (сумма квадратов цифр 4 + 4 = 8) и 22 = 4 · 4 + 6 (произведение цифр 4).
Ответ: существует, это число 22.
Оговорка: остаток 6 при делении на 4 больше делителя, то есть деление с остатком в строгом смысле неполное; ответ получен из равенств 22 = 2 · 8 + 6 и 22 = 4 · 4 + 6 и совпадает с ответом учебника.
865. Последовательности (y_n) и (x_n) заданы формулами y_n = n² и x_n = 2n − 1. Если выписать в порядке возрастания все их общие члены, то получится последовательность (c_n). Напишите формулу n-го члена последовательности (c_n).
Члены (x_n) — все нечётные натуральные числа 1, 3, 5, …. Члены (y_n) — квадраты натуральных чисел. Общими членами являются квадраты нечётных чисел (квадрат чётного числа чётен, квадрат нечётного нечётен и поэтому встречается среди нечётных чисел).
Квадраты нечётных чисел в порядке возрастания: 1², 3², 5², …, то есть c_n = (2n − 1)².
Ответ: c_n = (2n − 1)².
Квадраты нечётных чисел в порядке возрастания: 1², 3², 5², …, то есть c_n = (2n − 1)².
Ответ: c_n = (2n − 1)².
866. При каких значениях n члены последовательности, заданной формулой x_n = (n + 4)(n − 5), удовлетворяют условию −18 ≤ x_n ≤ 360?
n — натуральное число. x_n = n² − n − 20.
x_n ≥ −18: n² − n − 2 ≥ 0, (n − 2)(n + 1) ≥ 0; для натуральных n это означает n ≥ 2.
x_n ≤ 360: n² − n − 380 ≤ 0, (n − 20)(n + 19) ≤ 0; для натуральных n это означает n ≤ 20.
Проверка: x_2 = 6 · (−3) = −18; x_20 = 24 · 15 = 360.
Ответ: 2 ≤ n ≤ 20, то есть n = 2, 3, …, 20.
x_n ≥ −18: n² − n − 2 ≥ 0, (n − 2)(n + 1) ≥ 0; для натуральных n это означает n ≥ 2.
x_n ≤ 360: n² − n − 380 ≤ 0, (n − 20)(n + 19) ≤ 0; для натуральных n это означает n ≤ 20.
Проверка: x_2 = 6 · (−3) = −18; x_20 = 24 · 15 = 360.
Ответ: 2 ≤ n ≤ 20, то есть n = 2, 3, …, 20.
867. Найдите сумму первых n членов последовательности (x_n), если x_n = 1/((2n − 1)(2n + 1)).
Разложим член на разность дробей: 1/((2n − 1)(2n + 1)) = (1/2) · (1/(2n − 1) − 1/(2n + 1)), так как 1/(2n − 1) − 1/(2n + 1) = 2/((2n − 1)(2n + 1)).
Тогда S_n = (1/2)[(1 − 1/3) + (1/3 − 1/5) + … + (1/(2n − 1) − 1/(2n + 1))]. Промежуточные слагаемые сокращаются: S_n = (1/2)(1 − 1/(2n + 1)) = (1/2) · 2n/(2n + 1) = n/(2n + 1).
Ответ: n/(2n + 1).
Тогда S_n = (1/2)[(1 − 1/3) + (1/3 − 1/5) + … + (1/(2n − 1) − 1/(2n + 1))]. Промежуточные слагаемые сокращаются: S_n = (1/2)(1 − 1/(2n + 1)) = (1/2) · 2n/(2n + 1) = n/(2n + 1).
Ответ: n/(2n + 1).
868. В последовательности (x_n) каждый член с нечётным номером равен 2a, а с чётным равен 2b. Напишите формулу n-го члена этой последовательности.
Множитель (−1)^n равен −1 при нечётном n и 1 при чётном n. Поэтому (1 − (−1)^n)/2 равно 1 для нечётных n и 0 для чётных, а (1 + (−1)^n)/2 — наоборот.
x_n = 2a · (1 − (−1)^n)/2 + 2b · (1 + (−1)^n)/2 = a(1 − (−1)^n) + b(1 + (−1)^n) = (a + b) + (b − a)(−1)^n.
Проверка: n = 1: a + b − (b − a) = 2a; n = 2: a + b + b − a = 2b.
Ответ: x_n = (a + b) + (b − a)(−1)^n.
x_n = 2a · (1 − (−1)^n)/2 + 2b · (1 + (−1)^n)/2 = a(1 − (−1)^n) + b(1 + (−1)^n) = (a + b) + (b − a)(−1)^n.
Проверка: n = 1: a + b − (b − a) = 2a; n = 2: a + b + b − a = 2b.
Ответ: x_n = (a + b) + (b − a)(−1)^n.