Задачи повышенной трудности — с. 209
836. Найдите корни многочлена 2x^5 + x^4 − 10x³ − 5x² + 8x + 4.
Разложим многочлен на множители группировкой.
2x^5 + x^4 − 10x³ − 5x² + 8x + 4 = x^4(2x + 1) − 5x²(2x + 1) + 4(2x + 1) = (2x + 1)(x^4 − 5x² + 4).
Биквадратный множитель: x^4 − 5x² + 4 = (x² − 1)(x² − 4) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2).
Приравниваем каждый множитель к нулю: 2x + 1 = 0 даёт x = −0,5; x = ±1; x = ±2.
Ответ: −2; −1; −0,5; 1; 2.
2x^5 + x^4 − 10x³ − 5x² + 8x + 4 = x^4(2x + 1) − 5x²(2x + 1) + 4(2x + 1) = (2x + 1)(x^4 − 5x² + 4).
Биквадратный множитель: x^4 − 5x² + 4 = (x² − 1)(x² − 4) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2).
Приравниваем каждый множитель к нулю: 2x + 1 = 0 даёт x = −0,5; x = ±1; x = ±2.
Ответ: −2; −1; −0,5; 1; 2.
837. Если в многочлен ax³ + bx² + cx + d вместо a, b, c и d подставлять числа −7, 4, −3 и 6 в каком угодно порядке, будут получаться многочлены с одной переменной, например: −7x³ + 4x² − 3x + 6, 4x³ − 7x² + 6x − 3 и т. д. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень.
Подставим в многочлен ax³ + bx² + cx + d значение x = 1: получим a + b + c + d. Какой бы порядок чисел ни выбрали, коэффициентами всегда служат те же четыре числа, поэтому a + b + c + d = −7 + 4 − 3 + 6 = 0.
Значит, при x = 1 каждый из таких многочленов равен нулю, то есть число 1 — общий корень всех этих многочленов. Что и требовалось доказать.
Значит, при x = 1 каждый из таких многочленов равен нулю, то есть число 1 — общий корень всех этих многочленов. Что и требовалось доказать.
838. Докажите, что многочлен x^4 − 4x³ − 6x² − 3x + 9 не имеет отрицательных корней.
Пусть x < 0. Положим t = −x > 0; тогда многочлен принимает вид P = t^4 + 4t³ − 6t² + 3t + 9.
1) Если 0 < t ≤ 1, то 6t² ≤ 6 < 9, поэтому 9 − 6t² > 0, а остальные слагаемые t^4, 4t³, 3t положительны. Значит, P > 0.
2) Если t > 1, преобразуем: (t² + 2t − 5)² = t^4 + 4t³ − 6t² − 20t + 25, откуда P = (t² + 2t − 5)² + 23t − 16. Здесь квадрат неотрицателен, а 23t − 16 > 7 > 0, значит, P > 0.
Итак, при любом x < 0 значение многочлена положительно, отрицательных корней нет. Что и требовалось доказать.
1) Если 0 < t ≤ 1, то 6t² ≤ 6 < 9, поэтому 9 − 6t² > 0, а остальные слагаемые t^4, 4t³, 3t положительны. Значит, P > 0.
2) Если t > 1, преобразуем: (t² + 2t − 5)² = t^4 + 4t³ − 6t² − 20t + 25, откуда P = (t² + 2t − 5)² + 23t − 16. Здесь квадрат неотрицателен, а 23t − 16 > 7 > 0, значит, P > 0.
Итак, при любом x < 0 значение многочлена положительно, отрицательных корней нет. Что и требовалось доказать.
839. При каком значении a сумма квадратов корней квадратного трёхчлена x² − (a − 2)x − a − 1 принимает наименьшее значение?
Уравнение x² − (a − 2)x − (a + 1) = 0. Его дискриминант D = (a − 2)² + 4(a + 1) = a² + 8 > 0 при любом a, поэтому корни x1 и x2 существуют всегда.
По теореме Виета x1 + x2 = a − 2, x1x2 = −(a + 1).
x1² + x2² = (x1 + x2)² − 2x1x2 = (a − 2)² + 2(a + 1) = a² − 4a + 4 + 2a + 2 = a² − 2a + 6 = (a − 1)² + 5.
Наименьшее значение 5 достигается при a = 1.
Ответ: при a = 1.
По теореме Виета x1 + x2 = a − 2, x1x2 = −(a + 1).
x1² + x2² = (x1 + x2)² − 2x1x2 = (a − 2)² + 2(a + 1) = a² − 4a + 4 + 2a + 2 = a² − 2a + 6 = (a − 1)² + 5.
Наименьшее значение 5 достигается при a = 1.
Ответ: при a = 1.
840. Докажите, что при любых значениях a, b и c график функции y = (x − a)(x − b) − c² имеет хотя бы одну общую точку с осью x.
Общие точки с осью x — это корни уравнения (x − a)(x − b) − c² = 0, то есть x² − (a + b)x + ab − c² = 0.
Дискриминант D = (a + b)² − 4(ab − c²) = a² + 2ab + b² − 4ab + 4c² = (a − b)² + 4c² ≥ 0 при любых a, b, c.
Значит, уравнение всегда имеет хотя бы один корень, и график пересекает ось x хотя бы в одной точке. Что и требовалось доказать.
Дискриминант D = (a + b)² − 4(ab − c²) = a² + 2ab + b² − 4ab + 4c² = (a − b)² + 4c² ≥ 0 при любых a, b, c.
Значит, уравнение всегда имеет хотя бы один корень, и график пересекает ось x хотя бы в одной точке. Что и требовалось доказать.
841. Постройте график функции: а) y = 2x² − 3|x| − 2; б) y = |½x² − x| − 4.
а) Функция чётная (y(−x) = y(x)), поэтому строим график при x ≥ 0 и отражаем его относительно оси y. При x ≥ 0: y = 2x² − 3x − 2 — парабола с вершиной в точке x = 0,75, y = −3,125; нули x = 2 (и x = −0,5, но он не годится), y(0) = −2. Контрольные точки: (0; −2), (0,75; −3,125), (2; 0), (3; 7). Отражаем кривую влево.
б) Сначала график y = ½x² − x = ½x(x − 2): парабола с нулями 0 и 2, вершина (1; −0,5). Часть графика под осью x (при 0 < x < 2) отражаем вверх: получаем y = |½x² − x| с вершиной (1; 0,5). Затем сдвигаем всё на 4 единицы вниз. Ключевые точки: (0; −4), (2; −4), (1; −3,5), (−2; 0), (4; 0), (6; 8). Левее 0 и правее 2 это парабола y = ½x² − x − 4, на отрезке [0; 2] — дуга y = −½x² + x − 4.
б) Сначала график y = ½x² − x = ½x(x − 2): парабола с нулями 0 и 2, вершина (1; −0,5). Часть графика под осью x (при 0 < x < 2) отражаем вверх: получаем y = |½x² − x| с вершиной (1; 0,5). Затем сдвигаем всё на 4 единицы вниз. Ключевые точки: (0; −4), (2; −4), (1; −3,5), (−2; 0), (4; 0), (6; 8). Левее 0 и правее 2 это парабола y = ½x² − x − 4, на отрезке [0; 2] — дуга y = −½x² + x − 4.
842. Найдите координаты общих точек оси x и графика функции y = x² − 4x + |2x − 8|.
Общие точки с осью x — решения уравнения x² − 4x + |2x − 8| = 0.
1) Если x ≥ 4, то |2x − 8| = 2x − 8: x² − 4x + 2x − 8 = 0, x² − 2x − 8 = 0, x = 4 или x = −2. Условию x ≥ 4 подходит x = 4.
2) Если x < 4, то |2x − 8| = 8 − 2x: x² − 4x + 8 − 2x = 0, x² − 6x + 8 = 0, x = 2 или x = 4. Условию x < 4 подходит x = 2.
Ответ: (2; 0) и (4; 0).
1) Если x ≥ 4, то |2x − 8| = 2x − 8: x² − 4x + 2x − 8 = 0, x² − 2x − 8 = 0, x = 4 или x = −2. Условию x ≥ 4 подходит x = 4.
2) Если x < 4, то |2x − 8| = 8 − 2x: x² − 4x + 8 − 2x = 0, x² − 6x + 8 = 0, x = 2 или x = 4. Условию x < 4 подходит x = 2.
Ответ: (2; 0) и (4; 0).
843. При каком значении a графики функций y = x² − 7x + a и y = −3x² + 5x − 6 имеют единственную общую точку?
Найдите её координаты.
Приравняем функции: x² − 7x + a = −3x² + 5x − 6, откуда 4x² − 12x + a + 6 = 0.
Общая точка единственна, если уравнение имеет один корень: D = 144 − 16(a + 6) = 0, a + 6 = 9, a = 3.
Тогда 4x² − 12x + 9 = 0, (2x − 3)² = 0, x = 1,5. Ордината: y = −3 · 2,25 + 5 · 1,5 − 6 = −6,75 + 7,5 − 6 = −5,25.
Ответ: при a = 3; общая точка (1,5; −5,25).
Общая точка единственна, если уравнение имеет один корень: D = 144 − 16(a + 6) = 0, a + 6 = 9, a = 3.
Тогда 4x² − 12x + 9 = 0, (2x − 3)² = 0, x = 1,5. Ордината: y = −3 · 2,25 + 5 · 1,5 − 6 = −6,75 + 7,5 − 6 = −5,25.
Ответ: при a = 3; общая точка (1,5; −5,25).
844. Докажите, что многочлен x^8 + x^6 − 4x^4 + x² + 1 не принимает отрицательных значений.
Обозначим t = x² ≥ 0. Многочлен равен t^4 + t³ − 4t² + t + 1.
Проверкой убеждаемся, что t^4 + t³ − 4t² + t + 1 = (t − 1)²(t² + 3t + 1): действительно, (t² − 2t + 1)(t² + 3t + 1) = t^4 + 3t³ + t² − 2t³ − 6t² − 2t + t² + 3t + 1 = t^4 + t³ − 4t² + t + 1.
При t ≥ 0 имеем (t − 1)² ≥ 0 и t² + 3t + 1 > 0, поэтому произведение неотрицательно. Значит, многочлен не принимает отрицательных значений. Что и требовалось доказать.
Проверкой убеждаемся, что t^4 + t³ − 4t² + t + 1 = (t − 1)²(t² + 3t + 1): действительно, (t² − 2t + 1)(t² + 3t + 1) = t^4 + 3t³ + t² − 2t³ − 6t² − 2t + t² + 3t + 1 = t^4 + t³ − 4t² + t + 1.
При t ≥ 0 имеем (t − 1)² ≥ 0 и t² + 3t + 1 > 0, поэтому произведение неотрицательно. Значит, многочлен не принимает отрицательных значений. Что и требовалось доказать.
845. При каких значениях m квадратный трёхчлен mx² + (m − 1)x + m − 1 принимает только отрицательные значения?
Трёхчлен принимает только отрицательные значения, если ветви параболы направлены вниз (m < 0) и парабола не имеет общих точек с осью x (D < 0).
D = (m − 1)² − 4m(m − 1) = (m − 1)(m − 1 − 4m) = (m − 1)(−3m − 1) = −(m − 1)(3m + 1).
D < 0 означает (m − 1)(3m + 1) > 0, то есть m < −1/3 или m > 1.
С условием m < 0 получаем m < −1/3. (При m = 0 трёхчлен превращается в −x − 1, который принимает и положительные значения.)
Ответ: при m < −1/3.
D = (m − 1)² − 4m(m − 1) = (m − 1)(m − 1 − 4m) = (m − 1)(−3m − 1) = −(m − 1)(3m + 1).
D < 0 означает (m − 1)(3m + 1) > 0, то есть m < −1/3 или m > 1.
С условием m < 0 получаем m < −1/3. (При m = 0 трёхчлен превращается в −x − 1, который принимает и положительные значения.)
Ответ: при m < −1/3.