Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Функции — с. 208
831. Задайте формулой функцию, график которой симметричен графику функции y = 2x − 4: а) относительно оси y; б) относительно оси x; в) относительно начала координат.
Точка (x; y) графика переходит при симметрии: относительно оси y — в (−x; y); относительно оси x — в (x; −y); относительно начала координат — в (−x; −y).
а) Заменим x на −x: y = 2(−x) − 4 = −2x − 4.
б) Заменим y на −y: −y = 2x − 4, y = −2x + 4.
в) Заменим x на −x и y на −y: −y = −2x − 4, y = 2x + 4.
Ответ: а) y = −2x − 4; б) y = −2x + 4; в) y = 2x + 4.
а) Заменим x на −x: y = 2(−x) − 4 = −2x − 4.
б) Заменим y на −y: −y = 2x − 4, y = −2x + 4.
в) Заменим x на −x и y на −y: −y = −2x − 4, y = 2x + 4.
Ответ: а) y = −2x − 4; б) y = −2x + 4; в) y = 2x + 4.
832. Постройте график функции: а) y = (x² − 4)/(x − 2); б) y = (x² − 2x)/x; в) y = (x² − 3x + 2)/(2 − x).
Находим область определения, сокращаем дробь и строим график получившейся функции, выкалывая точку с недопустимой абсциссой.
а) x ≠ 2. y = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2. График — прямая y = x + 2 с выколотой точкой (2; 4).
б) x ≠ 0. y = x(x − 2)/x = x − 2. График — прямая y = x − 2 с выколотой точкой (0; −2).
в) x ≠ 2. x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), 2 − x = −(x − 2), поэтому y = −(x − 1) = 1 − x. График — прямая y = 1 − x с выколотой точкой (2; −1).
Ответ: а) прямая y = x + 2 без точки (2; 4); б) прямая y = x − 2 без точки (0; −2); в) прямая y = 1 − x без точки (2; −1).
а) x ≠ 2. y = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2. График — прямая y = x + 2 с выколотой точкой (2; 4).
б) x ≠ 0. y = x(x − 2)/x = x − 2. График — прямая y = x − 2 с выколотой точкой (0; −2).
в) x ≠ 2. x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), 2 − x = −(x − 2), поэтому y = −(x − 1) = 1 − x. График — прямая y = 1 − x с выколотой точкой (2; −1).
Ответ: а) прямая y = x + 2 без точки (2; 4); б) прямая y = x − 2 без точки (0; −2); в) прямая y = 1 − x без точки (2; −1).
833. Постройте график функции: а) y = {0,5x, если x ≥ 0; −x, если x < 0; б) y = {2 + x, если x ≤ −1; 1, если −1 < x ≤ 1; 2 − x, если x > 1; в) y = {2x², если x ≥ 0; −x² + 1, если x < 0; г) y = {x², если x < 1; −x² + 2x + 1, если x ≥ 1.
Строим график каждой части на своём промежутке.
а) При x ≥ 0 — луч y = 0,5x (точки (0; 0), (4; 2)); при x < 0 — луч y = −x (точки (−2; 2), (−4; 4)). Части смыкаются в начале координат.
б) При x ≤ −1 — луч y = 2 + x с концом (−1; 1); при −1 < x ≤ 1 — отрезок y = 1; при x > 1 — луч y = 2 − x, начинающийся в точке (1; 1). График непрерывен.
в) При x ≥ 0 — правая ветвь параболы y = 2x² (точки (0; 0), (1; 2), (2; 8)); при x < 0 — левая ветвь параболы y = −x² + 1 (точки (−1; 0), (−2; −3)), точка (0; 1) выколота (при x = 0 значение 0). График имеет разрыв при x = 0.
г) При x < 1 — ветвь параболы y = x² (точки (−2; 4), (0; 0)), точка (1; 1) выколота; при x ≥ 1 — часть параболы y = −x² + 2x + 1 с вершиной (1; 2) (точки (2; 1), (3; −2)). График имеет разрыв при x = 1.
Ответ: графики построены на рисунке.
а) При x ≥ 0 — луч y = 0,5x (точки (0; 0), (4; 2)); при x < 0 — луч y = −x (точки (−2; 2), (−4; 4)). Части смыкаются в начале координат.
б) При x ≤ −1 — луч y = 2 + x с концом (−1; 1); при −1 < x ≤ 1 — отрезок y = 1; при x > 1 — луч y = 2 − x, начинающийся в точке (1; 1). График непрерывен.
в) При x ≥ 0 — правая ветвь параболы y = 2x² (точки (0; 0), (1; 2), (2; 8)); при x < 0 — левая ветвь параболы y = −x² + 1 (точки (−1; 0), (−2; −3)), точка (0; 1) выколота (при x = 0 значение 0). График имеет разрыв при x = 0.
г) При x < 1 — ветвь параболы y = x² (точки (−2; 4), (0; 0)), точка (1; 1) выколота; при x ≥ 1 — часть параболы y = −x² + 2x + 1 с вершиной (1; 2) (точки (2; 1), (3; −2)). График имеет разрыв при x = 1.
Ответ: графики построены на рисунке.
834. Пересекаются ли парабола y = x² − 6x и прямая y − 8x = 0?
Если да, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте ответ с помощью схематического рисунка.
Прямая задана уравнением y = 8x. Приравняем: x² − 6x = 8x, x² − 14x = 0, x(x − 14) = 0, x = 0 или x = 14. Тогда y = 0 и y = 8 · 14 = 112.
Парабола с вершиной (3; −9), ветви вверх, проходит через начало координат и (6; 0); прямая проходит через начало координат и (14; 112).
Ответ: да, пересекаются в точках (0; 0) и (14; 112).
Парабола с вершиной (3; −9), ветви вверх, проходит через начало координат и (6; 0); прямая проходит через начало координат и (14; 112).
Ответ: да, пересекаются в точках (0; 0) и (14; 112).
835. Найдите область определения и множество значений функции: а) f(x) = x² − 10x − 17; б) g(x) = 1/(|x| − x).
а) Выражение определено при любом x: D(f) = (−∞; +∞). Выделим полный квадрат: f(x) = (x − 5)² − 42 ≥ −42, наименьшее значение −42 при x = 5; значения принимаются все от −42 и выше: E(f) = [−42; +∞).
б) Знаменатель |x| − x: при x ≥ 0 он равен 0 (функция не определена); при x < 0 он равен −x − x = −2x > 0. Область определения D(g) = (−∞; 0). Тогда g(x) = 1/(−2x), x < 0: при x < 0 величина −2x принимает все положительные значения, а значит 1/(−2x) принимает все положительные значения: E(g) = (0; +∞).
Ответ: а) D(f) = (−∞; +∞), E(f) = [−42; +∞); б) D(g) = (−∞; 0), E(g) = (0; +∞).
б) Знаменатель |x| − x: при x ≥ 0 он равен 0 (функция не определена); при x < 0 он равен −x − x = −2x > 0. Область определения D(g) = (−∞; 0). Тогда g(x) = 1/(−2x), x < 0: при x < 0 величина −2x принимает все положительные значения, а значит 1/(−2x) принимает все положительные значения: E(g) = (0; +∞).
Ответ: а) D(f) = (−∞; +∞), E(f) = [−42; +∞); б) D(g) = (−∞; 0), E(g) = (0; +∞).