Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Функции — с. 206
816. Функция y = f(x), областью определения которой является промежуток [−4; 5], задана графиком (рис. 73). Каково множество значений функции?
Найдите f(−3), f(−1,5), f(−1), f(1), f(3,5). Найдите координаты точек, в которых график функции пересекает оси координат. [рисунок 73: плавная кривая на сетке с шагом 0,5; начинается в точке (−4; −2), поднимается, пересекает ось x в точке (−2; 0), достигает наибольшего значения 3 в точке (0; 3), затем опускается, пересекает ось x в точке (2; 0), достигает наименьшего значения −1,5 в точке (3; −1,5), поднимается, пересекает ось x в точке (4; 0) и заканчивается в точке (5; 2)]
Значения читаем по графику (клетка сетки — 0,5).
Наименьшее значение функции равно −2 (у левого конца графика, f(−4) = −2; в нижней точке (3; −1,5) значение больше). Наибольшее значение равно 3 (при x = 0). Функция непрерывна, поэтому принимает все значения между ними: E(f) = [−2; 3].
По графику: f(−3) = −1,5; f(−1,5) = 1,5; f(−1) = 2,5; f(1) = 2,5; f(3,5) = −1.
График пересекает ось x в точках (−2; 0), (2; 0), (4; 0), ось y — в точке (0; 3).
Ответ: [−2; 3]; f(−3) = −1,5; f(−1,5) = 1,5; f(−1) = 2,5; f(1) = 2,5; f(3,5) = −1; точки пересечения с осями (−2; 0), (2; 0), (4; 0), (0; 3).
Оговорка: значения сняты с рисунка с точностью до половины клетки.
Наименьшее значение функции равно −2 (у левого конца графика, f(−4) = −2; в нижней точке (3; −1,5) значение больше). Наибольшее значение равно 3 (при x = 0). Функция непрерывна, поэтому принимает все значения между ними: E(f) = [−2; 3].
По графику: f(−3) = −1,5; f(−1,5) = 1,5; f(−1) = 2,5; f(1) = 2,5; f(3,5) = −1.
График пересекает ось x в точках (−2; 0), (2; 0), (4; 0), ось y — в точке (0; 3).
Ответ: [−2; 3]; f(−3) = −1,5; f(−1,5) = 1,5; f(−1) = 2,5; f(1) = 2,5; f(3,5) = −1; точки пересечения с осями (−2; 0), (2; 0), (4; 0), (0; 3).
Оговорка: значения сняты с рисунка с точностью до половины клетки.
817. Найдите по графику функции y = f(x) (рис. 73) значения аргумента, при которых: а) f(x) = 0; б) f(x) > 0; в) f(x) < 0.
По графику рисунка 73: график пересекает ось x при x = −2, x = 2, x = 4; выше оси x он лежит на промежутках (−2; 2) и (4; 5], ниже оси x — на промежутках [−4; −2) и (2; 4).
Ответ: а) x = −2; 2; 4; б) −2 < x < 2 и 4 < x ≤ 5; в) −4 ≤ x < −2 и 2 < x < 4.
Ответ: а) x = −2; 2; 4; б) −2 < x < 2 и 4 < x ≤ 5; в) −4 ≤ x < −2 и 2 < x < 4.
818. Ломаная ABCDE является графиком функции y = f(x) (рис. 74). На каких промежутках эта функция принимает положительные значения и на каких — отрицательные? [рисунок 74: ломаная ABCDE с вершинами A(−3,5; 2), B(−1; −3), C(1; 1), D(2,5; −2), E(5; 3)]
Найдём точки пересечения ломаной с осью x.
Звено AB проходит через A(−3,5; 2) и B(−1; −3): y = −2x − 5, y = 0 при x = −2,5.
Звено BC через B(−1; −3) и C(1; 1): y = 2x − 1, y = 0 при x = 0,5.
Звено CD через C(1; 1) и D(2,5; −2): y = −2x + 3, y = 0 при x = 1,5.
Звено DE через D(2,5; −2) и E(5; 3): y = 2x − 7, y = 0 при x = 3,5.
Функция определена на промежутке [−3,5; 5]. Знаки: на [−3,5; −2,5) значения положительны (в точке A значение 2), на (−2,5; 0,5) отрицательны, на (0,5; 1,5) положительны, на (1,5; 3,5) отрицательны, на (3,5; 5] положительны.
Ответ: f(x) > 0 при −3,5 ≤ x < −2,5, 0,5 < x < 1,5, 3,5 < x ≤ 5; f(x) < 0 при −2,5 < x < 0,5 и 1,5 < x < 3,5.
Оговорка: координаты вершин сняты с рисунка 74 (клетка сетки — 0,5).
Звено AB проходит через A(−3,5; 2) и B(−1; −3): y = −2x − 5, y = 0 при x = −2,5.
Звено BC через B(−1; −3) и C(1; 1): y = 2x − 1, y = 0 при x = 0,5.
Звено CD через C(1; 1) и D(2,5; −2): y = −2x + 3, y = 0 при x = 1,5.
Звено DE через D(2,5; −2) и E(5; 3): y = 2x − 7, y = 0 при x = 3,5.
Функция определена на промежутке [−3,5; 5]. Знаки: на [−3,5; −2,5) значения положительны (в точке A значение 2), на (−2,5; 0,5) отрицательны, на (0,5; 1,5) положительны, на (1,5; 3,5) отрицательны, на (3,5; 5] положительны.
Ответ: f(x) > 0 при −3,5 ≤ x < −2,5, 0,5 < x < 1,5, 3,5 < x ≤ 5; f(x) < 0 при −2,5 < x < 0,5 и 1,5 < x < 3,5.
Оговорка: координаты вершин сняты с рисунка 74 (клетка сетки — 0,5).
819. Постройте график функции: а) y = −2,5x; б) y = 2x − 3; в) y = −5; г) y = −x + 4; д) y = 1/2 x + 3; е) y = (2 − x)/4.
Графиком линейной функции является прямая; для построения достаточно двух точек.
а) y = −2,5x: при x = 0 y = 0; при x = 2 y = −5. Прямая через (0; 0) и (2; −5).
б) y = 2x − 3: при x = 0 y = −3; при x = 2 y = 1. Прямая через (0; −3) и (2; 1).
в) y = −5: прямая, параллельная оси x и проходящая через точку (0; −5).
г) y = −x + 4: при x = 0 y = 4; при x = 4 y = 0. Прямая через (0; 4) и (4; 0).
д) y = x/2 + 3: при x = 0 y = 3; при x = −6 y = 0. Прямая через (0; 3) и (−6; 0).
е) y = (2 − x)/4 = −x/4 + 0,5: при x = 2 y = 0; при x = −2 y = 1. Прямая через (2; 0) и (−2; 1).
Ответ: графики построены на рисунке.
а) y = −2,5x: при x = 0 y = 0; при x = 2 y = −5. Прямая через (0; 0) и (2; −5).
б) y = 2x − 3: при x = 0 y = −3; при x = 2 y = 1. Прямая через (0; −3) и (2; 1).
в) y = −5: прямая, параллельная оси x и проходящая через точку (0; −5).
г) y = −x + 4: при x = 0 y = 4; при x = 4 y = 0. Прямая через (0; 4) и (4; 0).
д) y = x/2 + 3: при x = 0 y = 3; при x = −6 y = 0. Прямая через (0; 3) и (−6; 0).
е) y = (2 − x)/4 = −x/4 + 0,5: при x = 2 y = 0; при x = −2 y = 1. Прямая через (2; 0) и (−2; 1).
Ответ: графики построены на рисунке.
820. Функция y = f(x) задана формулой y = (6 − 2x)/3. При каких значениях аргумента x: а) f(x) = 0; б) f(x) < 0; в) f(x) ≥ 0?
Постройте график этой функции.
Функция y = (6 − 2x)/3 = 2 − (2/3)x — линейная, убывающая (коэффициент −2/3 < 0).
а) (6 − 2x)/3 = 0, 6 − 2x = 0, x = 3.
б) (6 − 2x)/3 < 0, 6 − 2x < 0, x > 3.
в) (6 − 2x)/3 ≥ 0, 6 − 2x ≥ 0, x ≤ 3.
График — прямая через точки (0; 2) и (3; 0).
Ответ: а) x = 3; б) x > 3; в) x ≤ 3.
а) (6 − 2x)/3 = 0, 6 − 2x = 0, x = 3.
б) (6 − 2x)/3 < 0, 6 − 2x < 0, x > 3.
в) (6 − 2x)/3 ≥ 0, 6 − 2x ≥ 0, x ≤ 3.
График — прямая через точки (0; 2) и (3; 0).
Ответ: а) x = 3; б) x > 3; в) x ≤ 3.
821. Какие из линейных функций y = −3x + 9, y = 5x, y = −7, y = 9x − 1, y = −x − 100, y = 1 + 5x являются: а) возрастающими; б) убывающими?
Линейная функция y = kx + b возрастает при k > 0 и убывает при k < 0; при k = 0 функция постоянна.
y = −3x + 9: k = −3 < 0 — убывает. y = 5x: k = 5 > 0 — возрастает. y = −7: k = 0 — постоянная. y = 9x − 1: k = 9 > 0 — возрастает. y = −x − 100: k = −1 < 0 — убывает. y = 1 + 5x: k = 5 > 0 — возрастает.
Ответ: а) y = 5x, y = 9x − 1, y = 1 + 5x; б) y = −3x + 9, y = −x − 100 (функция y = −7 постоянна и не относится ни к возрастающим, ни к убывающим).
y = −3x + 9: k = −3 < 0 — убывает. y = 5x: k = 5 > 0 — возрастает. y = −7: k = 0 — постоянная. y = 9x − 1: k = 9 > 0 — возрастает. y = −x − 100: k = −1 < 0 — убывает. y = 1 + 5x: k = 5 > 0 — возрастает.
Ответ: а) y = 5x, y = 9x − 1, y = 1 + 5x; б) y = −3x + 9, y = −x − 100 (функция y = −7 постоянна и не относится ни к возрастающим, ни к убывающим).