Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Функции — с. 207
822. Каково взаимное расположение графиков линейных функций: а) y = 7x + 16 и y = 7x − 25; б) y = 3,5x − 4 и y = −5x − 4; в) y = −2,8x и y = −2,8x + 11; г) y = 0,6x + 8 и y = −0,6x?
В каждом случае изобразите схематически графики этих линейных функций.
Графики линейных функций y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ параллельны, если k₁ = k₂ и b₁ ≠ b₂; совпадают, если k₁ = k₂ и b₁ = b₂; пересекаются, если k₁ ≠ k₂.
а) k₁ = k₂ = 7, b₁ = 16 ≠ b₂ = −25 — прямые параллельны.
б) k₁ = 3,5 ≠ k₂ = −5 — прямые пересекаются. Приравняем: 3,5x − 4 = −5x − 4, 8,5x = 0, x = 0, y = −4: точка пересечения (0; −4) лежит на оси y (у обеих функций b = −4).
в) k₁ = k₂ = −2,8, b₁ = 0 ≠ b₂ = 11 — прямые параллельны.
г) k₁ = 0,6 ≠ k₂ = −0,6 — прямые пересекаются. 0,6x + 8 = −0,6x, 1,2x = −8, x = −20/3 = −6 2/3, y = 4; точка пересечения (−6 2/3; 4).
Ответ: а) параллельны; б) пересекаются в точке (0; −4); в) параллельны; г) пересекаются в точке (−6 2/3; 4).
а) k₁ = k₂ = 7, b₁ = 16 ≠ b₂ = −25 — прямые параллельны.
б) k₁ = 3,5 ≠ k₂ = −5 — прямые пересекаются. Приравняем: 3,5x − 4 = −5x − 4, 8,5x = 0, x = 0, y = −4: точка пересечения (0; −4) лежит на оси y (у обеих функций b = −4).
в) k₁ = k₂ = −2,8, b₁ = 0 ≠ b₂ = 11 — прямые параллельны.
г) k₁ = 0,6 ≠ k₂ = −0,6 — прямые пересекаются. 0,6x + 8 = −0,6x, 1,2x = −8, x = −20/3 = −6 2/3, y = 4; точка пересечения (−6 2/3; 4).
Ответ: а) параллельны; б) пересекаются в точке (0; −4); в) параллельны; г) пересекаются в точке (−6 2/3; 4).
823. Функция задана формулой y = −x² + 3. Какова область определения этой функции?
Найдётся ли такое значение аргумента, при котором значение этой функции равно −1; 1; 5?
Постройте график этой функции и укажите множество её значений.
Область определения — все действительные числа, так как выражение −x² + 3 имеет смысл при любом x.
Значение −1: −x² + 3 = −1, x² = 4, x = ±2 — найдётся.
Значение 1: −x² + 3 = 1, x² = 2, x = ±√2 — найдётся.
Значение 5: −x² + 3 = 5, x² = −2 — уравнение не имеет корней, такого значения аргумента нет.
График — парабола y = −x² с вершиной, сдвинутая на 3 единицы вверх: вершина (0; 3), ветви вниз, точки (±1; 2), (±2; −1). Так как x² ≥ 0, то −x² + 3 ≤ 3, и наибольшее значение 3 достигается при x = 0; все значения от 3 вниз принимаются.
Ответ: D(y) = (−∞; +∞); при значениях −1 и 1 — да, при 5 — нет; E(y) = (−∞; 3].
Значение −1: −x² + 3 = −1, x² = 4, x = ±2 — найдётся.
Значение 1: −x² + 3 = 1, x² = 2, x = ±√2 — найдётся.
Значение 5: −x² + 3 = 5, x² = −2 — уравнение не имеет корней, такого значения аргумента нет.
График — парабола y = −x² с вершиной, сдвинутая на 3 единицы вверх: вершина (0; 3), ветви вниз, точки (±1; 2), (±2; −1). Так как x² ≥ 0, то −x² + 3 ≤ 3, и наибольшее значение 3 достигается при x = 0; все значения от 3 вниз принимаются.
Ответ: D(y) = (−∞; +∞); при значениях −1 и 1 — да, при 5 — нет; E(y) = (−∞; 3].
824. Постройте график функции y = −0,5x² + x + 1,5. При каких значениях x значение y равно нулю; больше нуля; меньше нуля?
На каком промежутке эта функция возрастает и на каком убывает?
Каково наибольшее значение этой функции?
Парабола ветвями вниз (a = −0,5 < 0). Абсцисса вершины x₀ = −b/(2a) = −1/(−1) = 1, y₀ = −0,5 + 1 + 1,5 = 2. Вершина (1; 2). С осью y: (0; 1,5). Нули: −0,5x² + x + 1,5 = 0, x² − 2x − 3 = 0, x = −1 или x = 3. Точки (−2; −2,5), (4; −2,5) симметричны (0; 1,5) и (2; 1,5) относительно оси x = 1.
y = 0 при x = −1 и x = 3; y > 0 при −1 < x < 3; y < 0 при x < −1 и при x > 3.
Функция возрастает на промежутке (−∞; 1] и убывает на промежутке [1; +∞). Наибольшее значение равно 2 (при x = 1).
Ответ: y = 0 при x = −1, 3; y > 0 при −1 < x < 3; y < 0 при x < −1 и x > 3; возрастает на (−∞; 1], убывает на [1; +∞); наибольшее значение 2.
y = 0 при x = −1 и x = 3; y > 0 при −1 < x < 3; y < 0 при x < −1 и при x > 3.
Функция возрастает на промежутке (−∞; 1] и убывает на промежутке [1; +∞). Наибольшее значение равно 2 (при x = 1).
Ответ: y = 0 при x = −1, 3; y > 0 при −1 < x < 3; y < 0 при x < −1 и x > 3; возрастает на (−∞; 1], убывает на [1; +∞); наибольшее значение 2.
825. Постройте график функции y = x² − 4x − 5. При каких значениях x функция принимает отрицательные значения?
Какие значения принимает функция, если 0 ≤ x ≤ 4?
Парабола ветвями вверх. Абсцисса вершины x₀ = 4/2 = 2, y₀ = 4 − 8 − 5 = −9; вершина (2; −9). Нули: x² − 4x − 5 = 0, x = −1 или x = 5. С осью y: (0; −5). Дополнительные точки: (1; −8), (3; −8), (4; −5).
Функция принимает отрицательные значения между нулями: −1 < x < 5.
При 0 ≤ x ≤ 4: y(0) = −5, y(4) = −5, наименьшее значение на этом отрезке — в вершине, y(2) = −9; наибольшее — на концах, −5. Значит, −9 ≤ y ≤ −5.
Ответ: y < 0 при −1 < x < 5; при 0 ≤ x ≤ 4 функция принимает значения от −9 до −5, то есть [−9; −5].
Функция принимает отрицательные значения между нулями: −1 < x < 5.
При 0 ≤ x ≤ 4: y(0) = −5, y(4) = −5, наименьшее значение на этом отрезке — в вершине, y(2) = −9; наибольшее — на концах, −5. Значит, −9 ≤ y ≤ −5.
Ответ: y < 0 при −1 < x < 5; при 0 ≤ x ≤ 4 функция принимает значения от −9 до −5, то есть [−9; −5].
826. Постройте график функции: а) y = 2x² − 2; б) y = −x² + 1,5; в) y = x² − 4x; г) y = 1,5x² + 6x; д) y = x² + x − 6; е) y = 3x² − 6x + 5. В каждом случае укажите наименьшее (или наибольшее) значение функции.
Во всех случаях графиком является парабола; находим вершину x₀ = −b/(2a), y₀ = y(x₀), нули (если есть) и несколько точек.
а) Вершина (0; −2), ветви вверх; нули x = ±1; точки (±2; 6). Наименьшее значение −2.
б) Вершина (0; 1,5), ветви вниз; точки (±1; 0,5), (±2; −2,5). Наибольшее значение 1,5.
в) x₀ = 2, y₀ = 4 − 8 = −4; нули x = 0 и x = 4; точки (1; −3), (3; −3). Ветви вверх, наименьшее значение −4.
г) x₀ = −6/3 = −2, y₀ = 1,5 · 4 − 12 = −6; нули x = 0 и x = −4; точки (−1; −4,5), (−3; −4,5). Ветви вверх, наименьшее значение −6.
д) x₀ = −0,5, y₀ = 0,25 − 0,5 − 6 = −6,25; нули x = −3 и x = 2; с осью y (0; −6). Ветви вверх, наименьшее значение −6,25.
е) x₀ = 1, y₀ = 3 − 6 + 5 = 2; ось x не пересекает (D = 36 − 60 < 0); с осью y (0; 5); точки (2; 5), (−1; 14). Ветви вверх, наименьшее значение 2.
Ответ: а) наименьшее −2; б) наибольшее 1,5; в) наименьшее −4; г) наименьшее −6; д) наименьшее −6,25; е) наименьшее 2.
а) Вершина (0; −2), ветви вверх; нули x = ±1; точки (±2; 6). Наименьшее значение −2.
б) Вершина (0; 1,5), ветви вниз; точки (±1; 0,5), (±2; −2,5). Наибольшее значение 1,5.
в) x₀ = 2, y₀ = 4 − 8 = −4; нули x = 0 и x = 4; точки (1; −3), (3; −3). Ветви вверх, наименьшее значение −4.
г) x₀ = −6/3 = −2, y₀ = 1,5 · 4 − 12 = −6; нули x = 0 и x = −4; точки (−1; −4,5), (−3; −4,5). Ветви вверх, наименьшее значение −6.
д) x₀ = −0,5, y₀ = 0,25 − 0,5 − 6 = −6,25; нули x = −3 и x = 2; с осью y (0; −6). Ветви вверх, наименьшее значение −6,25.
е) x₀ = 1, y₀ = 3 − 6 + 5 = 2; ось x не пересекает (D = 36 − 60 < 0); с осью y (0; 5); точки (2; 5), (−1; 14). Ветви вверх, наименьшее значение 2.
Ответ: а) наименьшее −2; б) наибольшее 1,5; в) наименьшее −4; г) наименьшее −6; д) наименьшее −6,25; е) наименьшее 2.
827. На каком промежутке возрастает и на каком убывает квадратичная функция: а) y = 2x² + 10x − 7; б) y = −3x² + x + 5; в) y = 4x² + 2x; г) y = 3x − 5x²?
Квадратичная функция y = ax² + bx + c меняет характер монотонности в точке x₀ = −b/(2a): при a > 0 она убывает на (−∞; x₀] и возрастает на [x₀; +∞), при a < 0 — наоборот.
а) a = 2 > 0, x₀ = −10/4 = −2,5: убывает на (−∞; −2,5], возрастает на [−2,5; +∞).
б) a = −3 < 0, x₀ = −1/(−6) = 1/6: возрастает на (−∞; 1/6], убывает на [1/6; +∞).
в) a = 4 > 0, x₀ = −2/8 = −1/4: убывает на (−∞; −1/4], возрастает на [−1/4; +∞).
г) a = −5 < 0, x₀ = −3/(−10) = 0,3: возрастает на (−∞; 0,3], убывает на [0,3; +∞).
Ответ: а) убывает на (−∞; −2,5], возрастает на [−2,5; +∞); б) возрастает на (−∞; 1/6], убывает на [1/6; +∞); в) убывает на (−∞; −1/4], возрастает на [−1/4; +∞); г) возрастает на (−∞; 0,3], убывает на [0,3; +∞).
а) a = 2 > 0, x₀ = −10/4 = −2,5: убывает на (−∞; −2,5], возрастает на [−2,5; +∞).
б) a = −3 < 0, x₀ = −1/(−6) = 1/6: возрастает на (−∞; 1/6], убывает на [1/6; +∞).
в) a = 4 > 0, x₀ = −2/8 = −1/4: убывает на (−∞; −1/4], возрастает на [−1/4; +∞).
г) a = −5 < 0, x₀ = −3/(−10) = 0,3: возрастает на (−∞; 0,3], убывает на [0,3; +∞).
Ответ: а) убывает на (−∞; −2,5], возрастает на [−2,5; +∞); б) возрастает на (−∞; 1/6], убывает на [1/6; +∞); в) убывает на (−∞; −1/4], возрастает на [−1/4; +∞); г) возрастает на (−∞; 0,3], убывает на [0,3; +∞).
828. Постройте график функции: а) y = 8/x; б) y = −3/x. В каждом случае укажите значения x, при которых y > 0; y < 0.
Графиком обратной пропорциональности y = k/x является гипербола.
а) y = 8/x, k = 8 > 0: ветви в I и III четвертях. Точки: (1; 8), (2; 4), (4; 2), (8; 1), (−1; −8), (−2; −4), (−4; −2), (−8; −1). Дробь 8/x положительна при x > 0 и отрицательна при x < 0.
б) y = −3/x, k = −3 < 0: ветви во II и IV четвертях. Точки: (1; −3), (3; −1), (−1; 3), (−3; 1). Дробь −3/x положительна при x < 0 и отрицательна при x > 0.
Ответ: а) y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0; б) y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0.
а) y = 8/x, k = 8 > 0: ветви в I и III четвертях. Точки: (1; 8), (2; 4), (4; 2), (8; 1), (−1; −8), (−2; −4), (−4; −2), (−8; −1). Дробь 8/x положительна при x > 0 и отрицательна при x < 0.
б) y = −3/x, k = −3 < 0: ветви во II и IV четвертях. Точки: (1; −3), (3; −1), (−1; 3), (−3; 1). Дробь −3/x положительна при x < 0 и отрицательна при x > 0.
Ответ: а) y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0; б) y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0.
829. Изобразите схематически график функции: а) y = ax + 5 при a < 0; б) y = 10x + b при b > 0; в) y = k/x при k > 0; г) y = k/x при k < 0; д) y = ax² − 3 при a > 0; е) y = ax² + 2 при a < 0; ж) y = ax² + bx при a > 0, b > 0; з) y = ax² + bx при a < 0, b > 0.
а) Прямая, пересекающая ось y в точке (0; 5); при a < 0 она убывает (идёт сверху вниз).
б) Прямая, пересекающая ось y в точке (0; b) выше начала координат (b > 0); угловой коэффициент 10 > 0, прямая возрастает, довольно круто.
в) Гипербола, ветви которой лежат в I и III четвертях.
г) Гипербола, ветви которой лежат во II и IV четвертях.
д) Парабола с вершиной (0; −3) на оси y, ветви направлены вверх (a > 0); пересекает ось x в точках ±√(3/a).
е) Парабола с вершиной (0; 2), ветви направлены вниз (a < 0); пересекает ось x в точках ±√(−2/a).
ж) Парабола ветвями вверх, проходит через начало координат и через точку (−b/a; 0); абсцисса вершины −b/(2a) < 0, вершина лежит левее оси y и ниже оси x.
з) Парабола ветвями вниз, проходит через начало координат и точку (−b/a; 0), где −b/a > 0; абсцисса вершины −b/(2a) > 0, вершина правее оси y и выше оси x.
Ответ: графики изображены на рисунке.
б) Прямая, пересекающая ось y в точке (0; b) выше начала координат (b > 0); угловой коэффициент 10 > 0, прямая возрастает, довольно круто.
в) Гипербола, ветви которой лежат в I и III четвертях.
г) Гипербола, ветви которой лежат во II и IV четвертях.
д) Парабола с вершиной (0; −3) на оси y, ветви направлены вверх (a > 0); пересекает ось x в точках ±√(3/a).
е) Парабола с вершиной (0; 2), ветви направлены вниз (a < 0); пересекает ось x в точках ±√(−2/a).
ж) Парабола ветвями вверх, проходит через начало координат и через точку (−b/a; 0); абсцисса вершины −b/(2a) < 0, вершина лежит левее оси y и ниже оси x.
з) Парабола ветвями вниз, проходит через начало координат и точку (−b/a; 0), где −b/a > 0; абсцисса вершины −b/(2a) > 0, вершина правее оси y и выше оси x.
Ответ: графики изображены на рисунке.
830. Вычислите координаты точек пересечения графиков функций: а) y = 2x − 11 и y = −5x + 3; б) y = −3x − 10 и y = x² − 13x + 6; в) y = −3x² + x − 3 и y = −x² + x − 5; г) y = 4x² + 3x + 6 и y = 3x² − 3x − 3.
Приравниваем правые части, находим абсциссы, затем ординаты.
а) 2x − 11 = −5x + 3, 7x = 14, x = 2, y = 4 − 11 = −7. Точка (2; −7).
б) −3x − 10 = x² − 13x + 6, x² − 10x + 16 = 0, x = 2 или x = 8. y(2) = −16, y(8) = −34. Точки (2; −16) и (8; −34).
в) −3x² + x − 3 = −x² + x − 5, −2x² + 2 = 0, x = ±1. y(1) = −1 + 1 − 5 = −5, y(−1) = −1 − 1 − 5 = −7. Точки (1; −5) и (−1; −7).
г) 4x² + 3x + 6 = 3x² − 3x − 3, x² + 6x + 9 = 0, (x + 3)² = 0, x = −3, y = 3 · 9 + 9 − 3 = 33. Точка (−3; 33. (графики касаются).
Ответ: а) (2; −7); б) (2; −16), (8; −34); в) (−1; −7), (1; −5); г) (−3; 33).
а) 2x − 11 = −5x + 3, 7x = 14, x = 2, y = 4 − 11 = −7. Точка (2; −7).
б) −3x − 10 = x² − 13x + 6, x² − 10x + 16 = 0, x = 2 или x = 8. y(2) = −16, y(8) = −34. Точки (2; −16) и (8; −34).
в) −3x² + x − 3 = −x² + x − 5, −2x² + 2 = 0, x = ±1. y(1) = −1 + 1 − 5 = −5, y(−1) = −1 − 1 − 5 = −7. Точки (1; −5) и (−1; −7).
г) 4x² + 3x + 6 = 3x² − 3x − 3, x² + 6x + 9 = 0, (x + 3)² = 0, x = −3, y = 3 · 9 + 9 − 3 = 33. Точка (−3; 33. (графики касаются).
Ответ: а) (2; −7); б) (2; −16), (8; −34); в) (−1; −7), (1; −5); г) (−3; 33).