Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Неравенства — с. 205
810. Решите неравенство: а) (2x + 1)(x + 4) − 3x(x + 2) < 0; б) (3x − 2)² − 4x(2x − 3) > 0; в) (1 − 6x)(1 + 6x) + 7x(5x − 2) > 14; г) (5x + 2)(x − 1) − (2x + 1)(2x − 1) < 27; д) (2x − 1)(1 + 2x) − x(x + 4) < 6; е) (3x − 1)x − (6 − x)(x + 6) < 37.
Раскроем скобки и приведём неравенство к виду «квадратный трёхчлен сравнить с нулём».
а) 2x² + 9x + 4 − 3x² − 6x < 0, −x² + 3x + 4 < 0, x² − 3x − 4 > 0, (x − 4)(x + 1) > 0: x < −1 или x > 4.
б) 9x² − 12x + 4 − 8x² + 12x > 0, x² + 4 > 0 — верно при любом x.
в) 1 − 36x² + 35x² − 14x > 14, −x² − 14x − 13 > 0, x² + 14x + 13 < 0, (x + 1)(x + 13) < 0: −13 < x < −1.
г) 5x² − 3x − 2 − 4x² + 1 < 27, x² − 3x − 28 < 0, (x − 7)(x + 4) < 0: −4 < x < 7.
д) 4x² − 1 − x² − 4x < 6, 3x² − 4x − 7 < 0; корни x = (4 ± 10)/6, то есть −1 и 7/3: −1 < x < 7/3.
е) 3x² − x − (36 − x²) < 37, 4x² − x − 73 < 0; D = 1 + 1168 = 1169, корни x = (1 ± √1169)/8 (приблизительно −4,15 и 4,40): (1 − √1169)/8 < x < (1 + √1169)/8.
Ответ: а) (−∞; −1) ∪ (4; +∞); б) (−∞; +∞); в) (−13; −1); г) (−4; 7); д) (−1; 2 1/3); е) ((1 − √1169)/8; (1 + √1169)/8).
Оговорка: в «Ответах» учебника пункты д) и е) не приведены; пункт е) решён по условию, как оно напечатано, получаются иррациональные границы.
а) 2x² + 9x + 4 − 3x² − 6x < 0, −x² + 3x + 4 < 0, x² − 3x − 4 > 0, (x − 4)(x + 1) > 0: x < −1 или x > 4.
б) 9x² − 12x + 4 − 8x² + 12x > 0, x² + 4 > 0 — верно при любом x.
в) 1 − 36x² + 35x² − 14x > 14, −x² − 14x − 13 > 0, x² + 14x + 13 < 0, (x + 1)(x + 13) < 0: −13 < x < −1.
г) 5x² − 3x − 2 − 4x² + 1 < 27, x² − 3x − 28 < 0, (x − 7)(x + 4) < 0: −4 < x < 7.
д) 4x² − 1 − x² − 4x < 6, 3x² − 4x − 7 < 0; корни x = (4 ± 10)/6, то есть −1 и 7/3: −1 < x < 7/3.
е) 3x² − x − (36 − x²) < 37, 4x² − x − 73 < 0; D = 1 + 1168 = 1169, корни x = (1 ± √1169)/8 (приблизительно −4,15 и 4,40): (1 − √1169)/8 < x < (1 + √1169)/8.
Ответ: а) (−∞; −1) ∪ (4; +∞); б) (−∞; +∞); в) (−13; −1); г) (−4; 7); д) (−1; 2 1/3); е) ((1 − √1169)/8; (1 + √1169)/8).
Оговорка: в «Ответах» учебника пункты д) и е) не приведены; пункт е) решён по условию, как оно напечатано, получаются иррациональные границы.
811. Докажите, что при любых x: а) трёхчлен x² − 3x + 200 принимает положительные значения; б) трёхчлен −x² + 22x − 125 принимает отрицательные значения; в) трёхчлен x² − 16x + 64 принимает неотрицательные значения; г) трёхчлен 10x − x² − 25 принимает неположительные значения.
Выделим полный квадрат.
а) x² − 3x + 200 = (x − 1,5)² + 197,75 ≥ 197,75 > 0.
б) −x² + 22x − 125 = −(x² − 22x + 121) − 4 = −(x − 11)² − 4 ≤ −4 < 0.
в) x² − 16x + 64 = (x − 8)² ≥ 0.
г) 10x − x² − 25 = −(x² − 10x + 25) = −(x − 5)² ≤ 0.
Что и требовалось доказать.
а) x² − 3x + 200 = (x − 1,5)² + 197,75 ≥ 197,75 > 0.
б) −x² + 22x − 125 = −(x² − 22x + 121) − 4 = −(x − 11)² − 4 ≤ −4 < 0.
в) x² − 16x + 64 = (x − 8)² ≥ 0.
г) 10x − x² − 25 = −(x² − 10x + 25) = −(x − 5)² ≤ 0.
Что и требовалось доказать.
812. Решите систему неравенств: а) {x² − 2x − 3 ≤ 0, 2x − 5 ≤ 0; б) {x² − 5x + 6 ≥ 0, 2x − 9 ≤ 0; в) {9 − x² ≥ 0, 3 − x ≤ 0; г) {x² + 2x ≥ 0, 5x ≥ 0.
а) x² − 2x − 3 ≤ 0: корни −1 и 3, −1 ≤ x ≤ 3; 2x − 5 ≤ 0: x ≤ 2,5. Общее: −1 ≤ x ≤ 2,5.
б) x² − 5x + 6 ≥ 0: корни 2 и 3, x ≤ 2 или x ≥ 3; 2x − 9 ≤ 0: x ≤ 4,5. Общее: x ≤ 2 или 3 ≤ x ≤ 4,5.
в) 9 − x² ≥ 0: −3 ≤ x ≤ 3; 3 − x ≤ 0: x ≥ 3. Общее: x = 3.
г) x² + 2x ≥ 0: x(x + 2) ≥ 0, x ≤ −2 или x ≥ 0; 5x ≥ 0: x ≥ 0. Общее: x ≥ 0.
Ответ: а) [−1; 2,5]; б) (−∞; 2] ∪ [3; 4,5]; в) 3; г) [0; +∞).
б) x² − 5x + 6 ≥ 0: корни 2 и 3, x ≤ 2 или x ≥ 3; 2x − 9 ≤ 0: x ≤ 4,5. Общее: x ≤ 2 или 3 ≤ x ≤ 4,5.
в) 9 − x² ≥ 0: −3 ≤ x ≤ 3; 3 − x ≤ 0: x ≥ 3. Общее: x = 3.
г) x² + 2x ≥ 0: x(x + 2) ≥ 0, x ≤ −2 или x ≥ 0; 5x ≥ 0: x ≥ 0. Общее: x ≥ 0.
Ответ: а) [−1; 2,5]; б) (−∞; 2] ∪ [3; 4,5]; в) 3; г) [0; +∞).
813. Найдите целые решения системы неравенств: а) {x² − 7x + 6 ≤ 0, x² − 8x + 15 ≥ 0; б) {x² + 1 ≥ 0, x² − 6x + 8 ≤ 0.
а) x² − 7x + 6 ≤ 0: корни 1 и 6, 1 ≤ x ≤ 6; x² − 8x + 15 ≥ 0: корни 3 и 5, x ≤ 3 или x ≥ 5. Общее: 1 ≤ x ≤ 3 или 5 ≤ x ≤ 6. Целые: 1, 2, 3, 5, 6.
б) x² + 1 ≥ 0 верно при любом x; x² − 6x + 8 ≤ 0: корни 2 и 4, 2 ≤ x ≤ 4. Целые: 2, 3, 4.
Ответ: а) 1; 2; 3; 5; 6; б) 2; 3; 4.
б) x² + 1 ≥ 0 верно при любом x; x² − 6x + 8 ≤ 0: корни 2 и 4, 2 ≤ x ≤ 4. Целые: 2, 3, 4.
Ответ: а) 1; 2; 3; 5; 6; б) 2; 3; 4.
814. При каких значениях x имеет смысл выражение: а) √(12x − 4); б) √(3 − 0,6x); в) √(15 + 2x − x²); г) √(2x² + x − 6); д) √(12 − 5x) + √(2x − 1); е) √(x² + 4) + √(3x − 17)?
Выражение √A имеет смысл при A ≥ 0.
а) 12x − 4 ≥ 0, x ≥ 1/3.
б) 3 − 0,6x ≥ 0, x ≤ 5.
в) 15 + 2x − x² ≥ 0, x² − 2x − 15 ≤ 0; корни −3 и 5; −3 ≤ x ≤ 5.
г) 2x² + x − 6 ≥ 0; D = 1 + 48 = 49, корни (−1 ± 7)/4: 1,5 и −2; x ≤ −2 или x ≥ 1,5.
д) 12 − 5x ≥ 0 и 2x − 1 ≥ 0: x ≤ 2,4 и x ≥ 0,5; 0,5 ≤ x ≤ 2,4.
е) x² + 4 > 0 при любом x; 3x − 17 ≥ 0, x ≥ 17/3 = 5 2/3.
Ответ: а) x ≥ 1/3; б) x ≤ 5; в) −3 ≤ x ≤ 5; г) x ≤ −2 или x ≥ 1,5; д) 0,5 ≤ x ≤ 2,4; е) x ≥ 5 2/3.
а) 12x − 4 ≥ 0, x ≥ 1/3.
б) 3 − 0,6x ≥ 0, x ≤ 5.
в) 15 + 2x − x² ≥ 0, x² − 2x − 15 ≤ 0; корни −3 и 5; −3 ≤ x ≤ 5.
г) 2x² + x − 6 ≥ 0; D = 1 + 48 = 49, корни (−1 ± 7)/4: 1,5 и −2; x ≤ −2 или x ≥ 1,5.
д) 12 − 5x ≥ 0 и 2x − 1 ≥ 0: x ≤ 2,4 и x ≥ 0,5; 0,5 ≤ x ≤ 2,4.
е) x² + 4 > 0 при любом x; 3x − 17 ≥ 0, x ≥ 17/3 = 5 2/3.
Ответ: а) x ≥ 1/3; б) x ≤ 5; в) −3 ≤ x ≤ 5; г) x ≤ −2 или x ≥ 1,5; д) 0,5 ≤ x ≤ 2,4; е) x ≥ 5 2/3.
815. Найдите область определения каждого из выражений: а) 2x − 5, 1/(2x − 5) и √(2x − 5); б) 2x² + 7x − 4, 1/(2x² + 7x − 4) и √(1/(2x² + 7x − 4)); в) x² + 1, √(x² + 1) и 1/(x² + 1).
а) 2x − 5 определено при любом x. 1/(2x − 5): 2x − 5 ≠ 0, x ≠ 2,5. √(2x − 5): 2x − 5 ≥ 0, x ≥ 2,5.
б) 2x² + 7x − 4 определено при любом x. Корни трёхчлена: D = 49 + 32 = 81, x = (−7 ± 9)/4, то есть 0,5 и −4. 1/(2x² + 7x − 4): x ≠ −4 и x ≠ 0,5. √(1/(2x² + 7x − 4)): дробь должна быть неотрицательной и знаменатель не равен нулю, то есть 2x² + 7x − 4 > 0; ветви вверх, значит, x < −4 или x > 0,5.
в) x² + 1 > 0 при любом x, поэтому все три выражения определены при любом x.
Ответ: а) любое число; x ≠ 2,5; x ≥ 2,5; б) любое число; x ≠ −4 и x ≠ 0,5; x < −4 и x > 0,5; в) любое число для каждого выражения.
б) 2x² + 7x − 4 определено при любом x. Корни трёхчлена: D = 49 + 32 = 81, x = (−7 ± 9)/4, то есть 0,5 и −4. 1/(2x² + 7x − 4): x ≠ −4 и x ≠ 0,5. √(1/(2x² + 7x − 4)): дробь должна быть неотрицательной и знаменатель не равен нулю, то есть 2x² + 7x − 4 > 0; ветви вверх, значит, x < −4 или x > 0,5.
в) x² + 1 > 0 при любом x, поэтому все три выражения определены при любом x.
Ответ: а) любое число; x ≠ 2,5; x ≥ 2,5; б) любое число; x ≠ −4 и x ≠ 0,5; x < −4 и x > 0,5; в) любое число для каждого выражения.