Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Неравенства — с. 204
805. Решите систему неравенств: а) {2x − 3(x + 1) < x + 8, 6x(x − 1) − (2x + 2)(3x − 3) > 0; б) {10(x − 1) − 5(x + 1) > 4x − 11, x² − (x + 2)(x − 2) < 3x; в) {7 − 3x − 4(3 − 1,5x) < 0, −6(1 + 2,5x) − 10x − 4 > 0; г) {2(1,5x − 1) − (x + 4)(x + 4) ≥ 0, −(2 − x) − 0,75x ≤ 0; д) {x − (4x − 1)/3 < 10, 4x − 1 − x/3 < 10; е) {3y − (2y + 1)/2 > 4 − (2 − y)/3 − y, (5y − 1)/3 − (y − 1) > 3y.
а) Первое: 2x − 3x − 3 < x + 8, −x − 3 < x + 8, 2x > −11, x > −5,5. Второе: 6x² − 6x − 6(x² − 1) > 0, −6x + 6 > 0, x < 1. Решение: −5,5 < x < 1.
б) Первое: 10x − 10 − 5x − 5 > 4x − 11, 5x − 15 > 4x − 11, x > 4. Второе: x² − x² + 4 < 3x, x > 4/3. Общее: x > 4.
в) Первое: 7 − 3x − 12 + 6x < 0, 3x − 5 < 0, x < 5/3. Второе: −6 − 15x − 10x − 4 > 0, −25x > 10, x < −0,4. Общее: x < −0,4.
г) Первое: 3x − 2 − (x² + 8x + 16) ≥ 0, −x² − 5x − 18 ≥ 0, x² + 5x + 18 ≤ 0. Дискриминант 25 − 72 < 0 и старший коэффициент положителен, значит, x² + 5x + 18 > 0 при любом x; первое неравенство решений не имеет, система тоже.
д) Первое: 3x − (4x − 1) < 30, −x + 1 < 30, x > −29. Второе: 12x − 3 − x < 30, 11x < 33, x < 3. Общее: −29 < x < 3.
е) Первое: умножим на 6: 18y − 3(2y + 1) > 24 − 2(2 − y) − 6y, 12y − 3 > 20 − 4y, 16y > 23, y > 23/16. Второе: умножим на 3: 5y − 1 − 3(y − 1) > 9y, 2y + 2 > 9y, y < 2/7. Условия y > 23/16 и y < 2/7 несовместны, решений нет.
Ответ: а) (−5,5; 1); б) (4; +∞); в) (−∞; −0,4); г) решений нет; д) (−29; 3); е) решений нет.
Оговорка: в пункте г) второй множитель во втором слагаемом прочитан как (x + 4); при таком чтении решений нет. В «Ответах» учебника результаты для пунктов в) и г) не приведены.
б) Первое: 10x − 10 − 5x − 5 > 4x − 11, 5x − 15 > 4x − 11, x > 4. Второе: x² − x² + 4 < 3x, x > 4/3. Общее: x > 4.
в) Первое: 7 − 3x − 12 + 6x < 0, 3x − 5 < 0, x < 5/3. Второе: −6 − 15x − 10x − 4 > 0, −25x > 10, x < −0,4. Общее: x < −0,4.
г) Первое: 3x − 2 − (x² + 8x + 16) ≥ 0, −x² − 5x − 18 ≥ 0, x² + 5x + 18 ≤ 0. Дискриминант 25 − 72 < 0 и старший коэффициент положителен, значит, x² + 5x + 18 > 0 при любом x; первое неравенство решений не имеет, система тоже.
д) Первое: 3x − (4x − 1) < 30, −x + 1 < 30, x > −29. Второе: 12x − 3 − x < 30, 11x < 33, x < 3. Общее: −29 < x < 3.
е) Первое: умножим на 6: 18y − 3(2y + 1) > 24 − 2(2 − y) − 6y, 12y − 3 > 20 − 4y, 16y > 23, y > 23/16. Второе: умножим на 3: 5y − 1 − 3(y − 1) > 9y, 2y + 2 > 9y, y < 2/7. Условия y > 23/16 и y < 2/7 несовместны, решений нет.
Ответ: а) (−5,5; 1); б) (4; +∞); в) (−∞; −0,4); г) решений нет; д) (−29; 3); е) решений нет.
Оговорка: в пункте г) второй множитель во втором слагаемом прочитан как (x + 4); при таком чтении решений нет. В «Ответах» учебника результаты для пунктов в) и г) не приведены.
806. Найдите целые решения системы неравенств: а) {(3x + 2)² ≥ (3x − 1)(3x + 1) − 31, (2x − 3)(8x + 5) < (4x − 3)² − 14; б) {(5x − 2)² + 36 > 5x(5x − 3), 3x(4x + 2) + 40 ≤ 4x(3x + 7) − 4.
а) Первое: 9x² + 12x + 4 ≥ 9x² − 1 − 31, 12x ≥ −36, x ≥ −3. Второе: 16x² − 14x − 15 < 16x² − 24x + 9 − 14, −14x − 15 < −24x − 5, 10x < 10, x < 1. Решение: −3 ≤ x < 1; целые: −3, −2, −1, 0.
б) Первое: 25x² − 20x + 40 > 25x² − 15x, 40 > 5x, x < 8. Второе: 12x² + 6x + 40 ≤ 12x² + 28x − 4, 44 ≤ 22x, x ≥ 2. Решение: 2 ≤ x < 8; целые: 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Ответ: а) −3; −2; −1; 0; б) 2; 3; 4; 5; 6; 7.
б) Первое: 25x² − 20x + 40 > 25x² − 15x, 40 > 5x, x < 8. Второе: 12x² + 6x + 40 ≤ 12x² + 28x − 4, 44 ≤ 22x, x ≥ 2. Решение: 2 ≤ x < 8; целые: 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Ответ: а) −3; −2; −1; 0; б) 2; 3; 4; 5; 6; 7.
807. Решите двойное неравенство: а) −5 < (4m − 3)/3 < 7; б) 3 ≤ (1 − 2x)/5 ≤ 11; в) −11 < (2 − 3p)/2 ≤ −8; г) −0,2 ≤ (5x + 2)/4 ≤ 2.
а) Умножим на 3: −15 < 4m − 3 < 21; прибавим 3: −12 < 4m < 24; разделим на 4: −3 < m < 6.
б) Умножим на 5: 15 ≤ 1 − 2x ≤ 55; вычтем 1: 14 ≤ −2x ≤ 54; разделим на −2: −27 ≤ x ≤ −7.
в) Умножим на 2: −22 < 2 − 3p ≤ −16; вычтем 2: −24 < −3p ≤ −18; разделим на −3: 6 ≤ p < 8.
г) Умножим на 4: −0,8 ≤ 5x + 2 ≤ 8; вычтем 2: −2,8 ≤ 5x ≤ 6; разделим на 5: −0,56 ≤ x ≤ 1,2.
Ответ: а) (−3; 6); б) [−27; −7]; в) [6; 8); г) [−0,56; 1,2].
б) Умножим на 5: 15 ≤ 1 − 2x ≤ 55; вычтем 1: 14 ≤ −2x ≤ 54; разделим на −2: −27 ≤ x ≤ −7.
в) Умножим на 2: −22 < 2 − 3p ≤ −16; вычтем 2: −24 < −3p ≤ −18; разделим на −3: 6 ≤ p < 8.
г) Умножим на 4: −0,8 ≤ 5x + 2 ≤ 8; вычтем 2: −2,8 ≤ 5x ≤ 6; разделим на 5: −0,56 ≤ x ≤ 1,2.
Ответ: а) (−3; 6); б) [−27; −7]; в) [6; 8); г) [−0,56; 1,2].
808. При каких значениях переменной x: а) значения двучлена 0,5 − 0,2x принадлежат промежутку [−1/2; 1/2]; б) значения дроби (20x + 40)/3 принадлежат промежутку [−100; 100]?
а) Нужно, чтобы −1/2 ≤ 0,5 − 0,2x ≤ 1/2. Вычтем 0,5: −1 ≤ −0,2x ≤ 0. Разделим на −0,2: 0 ≤ x ≤ 5.
б) −100 ≤ (20x + 40)/3 ≤ 100. Умножим на 3: −300 ≤ 20x + 40 ≤ 300; вычтем 40: −340 ≤ 20x ≤ 260; разделим на 20: −17 ≤ x ≤ 13.
Ответ: а) при 0 ≤ x ≤ 5; б) при −17 ≤ x ≤ 13.
б) −100 ≤ (20x + 40)/3 ≤ 100. Умножим на 3: −300 ≤ 20x + 40 ≤ 300; вычтем 40: −340 ≤ 20x ≤ 260; разделим на 20: −17 ≤ x ≤ 13.
Ответ: а) при 0 ≤ x ≤ 5; б) при −17 ≤ x ≤ 13.
809. Решите неравенство: а) x² + 2x − 15 < 0; б) 5x² − 11x + 2 ≥ 0; в) 10 − 3x² ≤ 5x − 2; г) (2x + 3)(2 − x) > 3; д) 2x² − 0,5 ≤ 0; е) 3x² + 3,6x > 0; ж) (0,2 − x)(0,2 + x) < 0; з) x(3x − 2,4) > 0; и) x² − 0,5x − 5 < 0; к) x² − 2x + 12,5 > 0.
Находим корни квадратного трёхчлена и учитываем направление ветвей параболы.
а) x² + 2x − 15 = 0: x = −5, x = 3; ветви вверх, значения отрицательны между корнями: −5 < x < 3.
б) 5x² − 11x + 2 = 0: D = 121 − 40 = 81, x = (11 ± 9)/10, x = 2 или x = 0,2; ветви вверх, значения неотрицательны вне интервала между корнями: x ≤ 0,2 или x ≥ 2.
в) 3x² + 5x − 12 ≥ 0: D = 25 + 144 = 169, x = (−5 ± 13)/6, x = 4/3 или x = −3; x ≤ −3 или x ≥ 4/3.
г) 4x − 2x² + 6 − 3x > 3, −2x² + x + 3 > 0, 2x² − x − 3 < 0: корни x = −1 и x = 1,5; −1 < x < 1,5.
д) x² ≤ 1/4, −0,5 ≤ x ≤ 0,5.
е) 3x(x + 1,2) > 0: корни 0 и −1,2; ветви вверх; x < −1,2 или x > 0.
ж) 0,04 − x² < 0, x² > 0,04, x < −0,2 или x > 0,2.
з) x(3x − 2,4) > 0: корни 0 и 0,8; ветви вверх; x < 0 или x > 0,8.
и) x² − 0,5x − 5 = 0: D = 0,25 + 20 = 20,25 = 4,5², x = (0,5 ± 4,5)/2, x = 2,5 или x = −2; −2 < x < 2,5.
к) D = 4 − 50 < 0, ветви вверх, трёхчлен положителен при любом x.
Ответ: а) (−5; 3); б) (−∞; 0,2] ∪ [2; +∞); в) (−∞; −3] ∪ [1 1/3; +∞); г) (−1; 1,5); д) [−0,5; 0,5]; е) (−∞; −1,2) ∪ (0; +∞); ж) (−∞; −0,2) ∪ (0,2; +∞); з) (−∞; 0) ∪ (0,8; +∞); и) (−2; 2,5); к) x — любое число.
а) x² + 2x − 15 = 0: x = −5, x = 3; ветви вверх, значения отрицательны между корнями: −5 < x < 3.
б) 5x² − 11x + 2 = 0: D = 121 − 40 = 81, x = (11 ± 9)/10, x = 2 или x = 0,2; ветви вверх, значения неотрицательны вне интервала между корнями: x ≤ 0,2 или x ≥ 2.
в) 3x² + 5x − 12 ≥ 0: D = 25 + 144 = 169, x = (−5 ± 13)/6, x = 4/3 или x = −3; x ≤ −3 или x ≥ 4/3.
г) 4x − 2x² + 6 − 3x > 3, −2x² + x + 3 > 0, 2x² − x − 3 < 0: корни x = −1 и x = 1,5; −1 < x < 1,5.
д) x² ≤ 1/4, −0,5 ≤ x ≤ 0,5.
е) 3x(x + 1,2) > 0: корни 0 и −1,2; ветви вверх; x < −1,2 или x > 0.
ж) 0,04 − x² < 0, x² > 0,04, x < −0,2 или x > 0,2.
з) x(3x − 2,4) > 0: корни 0 и 0,8; ветви вверх; x < 0 или x > 0,8.
и) x² − 0,5x − 5 = 0: D = 0,25 + 20 = 20,25 = 4,5², x = (0,5 ± 4,5)/2, x = 2,5 или x = −2; −2 < x < 2,5.
к) D = 4 − 50 < 0, ветви вверх, трёхчлен положителен при любом x.
Ответ: а) (−5; 3); б) (−∞; 0,2] ∪ [2; +∞); в) (−∞; −3] ∪ [1 1/3; +∞); г) (−1; 1,5); д) [−0,5; 0,5]; е) (−∞; −1,2) ∪ (0; +∞); ж) (−∞; −0,2) ∪ (0,2; +∞); з) (−∞; 0) ∪ (0,8; +∞); и) (−2; 2,5); к) x — любое число.