Упражнения для повторения курса 7–9 классов. Арифметическая и геометрическая прогрессии — с. 202
788. В арифметической прогрессии третий член равен 150, а тринадцатый член равен 110. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если их сумма оказалась равной нулю?
a₁₃ − a₃ = 10d = 110 − 150 = −40, d = −4. a₁ = a₃ − 2d = 150 + 8 = 158.
Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n = 0, n ≠ 0, поэтому 2a₁ + (n − 1)d = 0: 316 − 4(n − 1) = 0, n − 1 = 79, n = 80.
Проверка: a₈₀ = 158 − 4 · 79 = −158, a₁ + a₈₀ = 0.
Ответ: 80 членов.
Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n = 0, n ≠ 0, поэтому 2a₁ + (n − 1)d = 0: 316 − 4(n − 1) = 0, n − 1 = 79, n = 80.
Проверка: a₈₀ = 158 − 4 · 79 = −158, a₁ + a₈₀ = 0.
Ответ: 80 членов.
789. Последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите: а) x₁, если x₈ = −128 и q = −4; б) q, если x₁ = 162 и x₉ = 2.
а) x₈ = x₁q⁷, поэтому x₁ = x₈/q⁷ = −128/(−4)⁷ = −128/(−16 384) = 1/128.
б) x₉ = x₁q⁸, откуда q⁸ = 2/162 = 1/81 = (1/3)⁴. Значит, (q²)⁴ = (1/3)⁴, q² = 1/3, q = ±1/√3 = ±√3/3.
Ответ: а) 1/128; б) q = ±√3/3.
б) x₉ = x₁q⁸, откуда q⁸ = 2/162 = 1/81 = (1/3)⁴. Значит, (q²)⁴ = (1/3)⁴, q² = 1/3, q = ±1/√3 = ±√3/3.
Ответ: а) 1/128; б) q = ±√3/3.
790. Найдите пятый член геометрической прогрессии (bₙ), если известно, что b₁ = 6 и b₃ = 2/3.
b₃ = b₁q², поэтому q² = (2/3)/6 = 1/9 (q = ±1/3). b₅ = b₃q² = 2/3 · 1/9 = 2/27.
Ответ: 2/27.
Ответ: 2/27.
791. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой b₆ = 1/2 и q = 1/2.
b₆ = b₁q⁵, откуда b₁ = (1/2)/(1/32) = 16.
S₆ = b₁(1 − q⁶)/(1 − q) = 16 · (1 − 1/64)/(1/2) = 32 · 63/64 = 31,5.
Ответ: 31,5.
S₆ = b₁(1 − q⁶)/(1 − q) = 16 · (1 − 1/64)/(1/2) = 32 · 63/64 = 31,5.
Ответ: 31,5.
792. Пятый член геометрической прогрессии (bₙ) равен 1 1/2, а знаменатель прогрессии равен −1/2. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.
b₅ = b₁q⁴, откуда b₁ = 1,5 : (1/16) = 24.
S₅ = b₁(1 − q⁵)/(1 − q) = 24 · (1 + 1/32)/(3/2) = 24 · (33/32) · (2/3) = 16,5.
Проверка: 24 − 12 + 6 − 3 + 1,5 = 16,5.
Ответ: 16,5.
S₅ = b₁(1 − q⁵)/(1 − q) = 24 · (1 + 1/32)/(3/2) = 24 · (33/32) · (2/3) = 16,5.
Проверка: 24 − 12 + 6 − 3 + 1,5 = 16,5.
Ответ: 16,5.
793. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bₙ), если известно, что все члены последовательности положительны и b₃ = 20, а b₅ = 80.
b₅ = b₃q², поэтому q² = 80/20 = 4. Так как члены положительны, q = 2. b₁ = b₃/q² = 20/4 = 5.
S₇ = b₁(q⁷ − 1)/(q − 1) = 5 · (128 − 1)/1 = 635.
Ответ: 635.
S₇ = b₁(q⁷ − 1)/(q − 1) = 5 · (128 − 1)/1 = 635.
Ответ: 635.
794. Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите первые три члена этой прогрессии, если известно, что b₁ + b₂ = 30, а b₂ + b₃ = 20.
b₂ + b₃ = q(b₁ + b₂), поэтому q = 20/30 = 2/3. Из b₁ + b₂ = b₁(1 + q) = b₁ · 5/3 = 30 находим b₁ = 18. Тогда b₂ = 18 · 2/3 = 12, b₃ = 12 · 2/3 = 8.
Проверка: 18 + 12 = 30; 12 + 8 = 20.
Ответ: 18; 12; 8.
Проверка: 18 + 12 = 30; 12 + 8 = 20.
Ответ: 18; 12; 8.
795. В геометрической прогрессии (bₙ), знаменатель которой положителен, b₁ · b₂ = 1/27, а b₃ · b₄ = 3. Найдите сумму первых четырёх членов этой прогрессии.
b₁b₂ = b₁² q = 1/27, b₃b₄ = b₁² q⁵ = 3. Разделим второе на первое: q⁴ = 81, и так как q > 0, q = 3. Тогда b₁² = 1/(27 · 3) = 1/81, b₁ = 1/9 (при положительных членах).
S₄ = b₁(q⁴ − 1)/(q − 1) = (1/9) · 80/2 = 40/9 = 4 4/9.
Проверка: 1/9 + 1/3 + 1 + 3 = 4 4/9; b₁b₂ = 1/27, b₃b₄ = 3.
Ответ: 4 4/9.
Оговорка: условие допускает и b₁ = −1/9 (тогда сумма равна −4 4/9); принят положительный случай, как в ответе учебника.
S₄ = b₁(q⁴ − 1)/(q − 1) = (1/9) · 80/2 = 40/9 = 4 4/9.
Проверка: 1/9 + 1/3 + 1 + 3 = 4 4/9; b₁b₂ = 1/27, b₃b₄ = 3.
Ответ: 4 4/9.
Оговорка: условие допускает и b₁ = −1/9 (тогда сумма равна −4 4/9); принят положительный случай, как в ответе учебника.
796. Оцените периметр P и площадь S прямоугольника, длины сторон которого a см и b см, если 14,3 ≤ a ≤ 14,4 и 25,1 ≤ b ≤ 25,2.
Периметр P = 2(a + b). Сложим неравенства: 14,3 + 25,1 ≤ a + b ≤ 14,4 + 25,2, то есть 39,4 ≤ a + b ≤ 39,6. Умножим на 2: 78,8 ≤ P ≤ 79,2.
Площадь S = ab. Все числа положительны, поэтому неравенства можно перемножить: 14,3 · 25,1 ≤ ab ≤ 14,4 · 25,2, то есть 358,93 ≤ S ≤ 362,88.
Ответ: 78,8 см ≤ P ≤ 79,2 см; 358,93 см² ≤ S ≤ 362,88 см².
Площадь S = ab. Все числа положительны, поэтому неравенства можно перемножить: 14,3 · 25,1 ≤ ab ≤ 14,4 · 25,2, то есть 358,93 ≤ S ≤ 362,88.
Ответ: 78,8 см ≤ P ≤ 79,2 см; 358,93 см² ≤ S ≤ 362,88 см².
797. Пользуясь тем, что 2,6 < √7 < 2,7 и 2,2 < √5 < 2,3, оцените значение выражения: а) √7 + √5; б) √7 − √5; в) √35.
а) Сложим неравенства: 2,6 + 2,2 < √7 + √5 < 2,7 + 2,3, то есть 4,8 < √7 + √5 < 5.
б) Умножим второе неравенство на −1: −2,3 < −√5 < −2,2. Сложим с первым: 2,6 − 2,3 < √7 − √5 < 2,7 − 2,2, то есть 0,3 < √7 − √5 < 0,5.
в) √35 = √7 · √5. Перемножим положительные части неравенств: 2,6 · 2,2 < √35 < 2,7 · 2,3, то есть 5,72 < √35 < 6,21.
Ответ: а) 4,8 < √7 + √5 < 5; б) 0,3 < √7 − √5 < 0,5; в) 5,72 < √35 < 6,21.
б) Умножим второе неравенство на −1: −2,3 < −√5 < −2,2. Сложим с первым: 2,6 − 2,3 < √7 − √5 < 2,7 − 2,2, то есть 0,3 < √7 − √5 < 0,5.
в) √35 = √7 · √5. Перемножим положительные части неравенств: 2,6 · 2,2 < √35 < 2,7 · 2,3, то есть 5,72 < √35 < 6,21.
Ответ: а) 4,8 < √7 + √5 < 5; б) 0,3 < √7 − √5 < 0,5; в) 5,72 < √35 < 6,21.
798. Решите неравенство: а) 0,3(2m − 3) < 3(0,6m + 1,3); б) 1,1(5x − 4) > 0,2(10x − 43); в) 10 − 5(0,3a − 0,2) ≥ 5 − 10(0,1a + 0,2); г) 3,2(2b + 1) + 5,7 ≤ 7,3 − 1,6(3 − 5b); д) 4,3x − 1/2(2,8x − 0,6) > 1/3(3x + 0,6) + 2,9x; е) 2/5(5,5m − 2) − 0,8m < 4,6m − 3/4(3,6m − 1,6); ж) (2,1y + 2)(0,2y − 3) − (0,7y − 1)(0,6y + 4) ≥ −83; з) (1 − 3,6a)(0,2a + 3) + (4 + 0,9a)(0,8a + 10) ≤ 42,2.
а) 0,6m − 0,9 < 1,8m + 3,9, −1,2m < 4,8, m > −4.
б) 5,5x − 4,4 > 2x − 8,6, 3,5x > −4,2, x > −1,2.
в) 10 − 1,5a + 1 ≥ 5 − a − 2, 11 − 1,5a ≥ 3 − a, 8 ≥ 0,5a, a ≤ 16.
г) 6,4b + 3,2 + 5,7 ≤ 7,3 − 4,8 + 8b, 6,4b + 8,9 ≤ 8b + 2,5, 6,4 ≤ 1,6b, b ≥ 4.
д) 4,3x − 1,4x + 0,3 > x + 0,2 + 2,9x, 2,9x + 0,3 > 3,9x + 0,2, 0,1 > x, x < 0,1.
е) 2,2m − 0,8 − 0,8m < 4,6m − 2,7m + 1,2, 1,4m − 0,8 < 1,9m + 1,2, −2 < 0,5m, m > −4.
ж) (2,1y + 2)(0,2y − 3) = 0,42y² − 5,9y − 6; (0,7y − 1)(0,6y + 4) = 0,42y² + 2,2y − 4. Разность: −8,1y − 2 ≥ −83, −8,1y ≥ −81, y ≤ 10.
з) (1 − 3,6a)(0,2a + 3) = −0,72a² − 10,6a + 3; (4 + 0,9a)(0,8a + 10) = 0,72a² + 12,2a + 40. Сумма: 1,6a + 43 ≤ 42,2, 1,6a ≤ −0,8, a ≤ −0,5.
Ответ: а) m > −4; б) x > −1,2; в) a ≤ 16; г) b ≥ 4; д) x < 0,1; е) m > −4; ж) y ≤ 10; з) a ≤ −0,5.
б) 5,5x − 4,4 > 2x − 8,6, 3,5x > −4,2, x > −1,2.
в) 10 − 1,5a + 1 ≥ 5 − a − 2, 11 − 1,5a ≥ 3 − a, 8 ≥ 0,5a, a ≤ 16.
г) 6,4b + 3,2 + 5,7 ≤ 7,3 − 4,8 + 8b, 6,4b + 8,9 ≤ 8b + 2,5, 6,4 ≤ 1,6b, b ≥ 4.
д) 4,3x − 1,4x + 0,3 > x + 0,2 + 2,9x, 2,9x + 0,3 > 3,9x + 0,2, 0,1 > x, x < 0,1.
е) 2,2m − 0,8 − 0,8m < 4,6m − 2,7m + 1,2, 1,4m − 0,8 < 1,9m + 1,2, −2 < 0,5m, m > −4.
ж) (2,1y + 2)(0,2y − 3) = 0,42y² − 5,9y − 6; (0,7y − 1)(0,6y + 4) = 0,42y² + 2,2y − 4. Разность: −8,1y − 2 ≥ −83, −8,1y ≥ −81, y ≤ 10.
з) (1 − 3,6a)(0,2a + 3) = −0,72a² − 10,6a + 3; (4 + 0,9a)(0,8a + 10) = 0,72a² + 12,2a + 40. Сумма: 1,6a + 43 ≤ 42,2, 1,6a ≤ −0,8, a ≤ −0,5.
Ответ: а) m > −4; б) x > −1,2; в) a ≤ 16; г) b ≥ 4; д) x < 0,1; е) m > −4; ж) y ≤ 10; з) a ≤ −0,5.