Упражнения для повторения курса 7–9 классов — с. 201
777. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь уменьшится на 1/10. Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на 1/15. Найдите эту дробь.
Пусть искомая дробь m/n. По условию (m − 1)/(n − 1) = m/n − 1/10 и (m + 1)/(n + 1) = m/n + 1/15.
Первое: m/n − (m − 1)/(n − 1) = (m(n − 1) − n(m − 1))/(n(n − 1)) = (n − m)/(n(n − 1)) = 1/10.
Второе: (m + 1)/(n + 1) − m/n = (n(m + 1) − m(n + 1))/(n(n + 1)) = (n − m)/(n(n + 1)) = 1/15.
Пусть d = n − m. Тогда 10d = n(n − 1) и 15d = n(n + 1). Разделим: 10/15 = (n − 1)/(n + 1), 2(n + 1) = 3(n − 1), n = 5. Тогда 10d = 20, d = 2, m = 3.
Проверка: 3/5 − 2/4 = 3/5 − 1/2 = 1/10; 4/6 − 3/5 = 2/3 − 3/5 = 1/15.
Ответ: 3/5.
Первое: m/n − (m − 1)/(n − 1) = (m(n − 1) − n(m − 1))/(n(n − 1)) = (n − m)/(n(n − 1)) = 1/10.
Второе: (m + 1)/(n + 1) − m/n = (n(m + 1) − m(n + 1))/(n(n + 1)) = (n − m)/(n(n + 1)) = 1/15.
Пусть d = n − m. Тогда 10d = n(n − 1) и 15d = n(n + 1). Разделим: 10/15 = (n − 1)/(n + 1), 2(n + 1) = 3(n − 1), n = 5. Тогда 10d = 20, d = 2, m = 3.
Проверка: 3/5 − 2/4 = 3/5 − 1/2 = 1/10; 4/6 − 3/5 = 2/3 − 3/5 = 1/15.
Ответ: 3/5.
778. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см². Найдите катеты этого треугольника.
Пусть катеты a и b см. По теореме Пифагора a² + b² = 41² = 1681, по площади ab/2 = 180, ab = 360.
Тогда (a + b)² = 1681 + 720 = 2401, a + b = 49; (a − b)² = 1681 − 720 = 961, |a − b| = 31. Значит, катеты (49 + 31)/2 = 40 и (49 − 31)/2 = 9.
Проверка: 40² + 9² = 1600 + 81 = 1681; 40 · 9/2 = 180.
Ответ: 9 см и 40 см.
Тогда (a + b)² = 1681 + 720 = 2401, a + b = 49; (a − b)² = 1681 − 720 = 961, |a − b| = 31. Значит, катеты (49 + 31)/2 = 40 и (49 − 31)/2 = 9.
Проверка: 40² + 9² = 1600 + 81 = 1681; 40 · 9/2 = 180.
Ответ: 9 см и 40 см.
779. Площадь прямоугольного треугольника равна 44 см². Если один из его катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, то площадь будет равна 50 см². Найдите катеты данного треугольника.
Пусть катеты a и b см. Тогда ab/2 = 44, ab = 88. После изменения катеты (a − 1) и (b + 2), площадь 50: (a − 1)(b + 2) = 100, ab + 2a − b − 2 = 100. Так как ab = 88, получаем 2a − b = 14, b = 2a − 14.
Подставим в ab = 88: a(2a − 14) = 88, a² − 7a − 44 = 0, D = 49 + 176 = 225, a = (7 ± 15)/2; a = 11 (a = −4 не подходит). Тогда b = 22 − 14 = 8.
Проверка: 11 · 8/2 = 44; 10 · 10/2 = 50.
Ответ: 11 см и 8 см.
Подставим в ab = 88: a(2a − 14) = 88, a² − 7a − 44 = 0, D = 49 + 176 = 225, a = (7 ± 15)/2; a = 11 (a = −4 не подходит). Тогда b = 22 − 14 = 8.
Проверка: 11 · 8/2 = 44; 10 · 10/2 = 50.
Ответ: 11 см и 8 см.
780. Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы один из них был переведён на другой участок, а второй закончил работу, проработав ещё 9 дней. За сколько дней каждый рабочий мог выполнить всю работу?
Вся работа — 1. Пусть второй рабочий (тот, что остался) выполняет всю работу за y дней, первый — за x дней. Вместе за день они делают 1/10 работы. За 7 дней совместной работы сделано 7/10, осталось 3/10. Эту часть второй рабочий выполнил за 9 дней: 9/y = 3/10, y = 30. Тогда 1/x = 1/10 − 1/30 = 2/30 = 1/15, x = 15.
Проверка: за 7 дней вместе 7/10, ещё 9/30 = 3/10; всего 1.
Ответ: один рабочий выполнил бы работу за 15 дней, а другой (оставшийся) — за 30 дней.
Проверка: за 7 дней вместе 7/10, ещё 9/30 = 3/10; всего 1.
Ответ: один рабочий выполнил бы работу за 15 дней, а другой (оставшийся) — за 30 дней.
781. Двое рабочих, работая вместе, выполнили работу за 2 дня. Сколько времени нужно каждому из них на выполнение всей работы, если известно, что если бы первый проработал 2 дня, а второй — один, то всего было бы сделано 5/6 всей работы?
Пусть первый выполняет всю работу за x дней, второй за y дней; за день они делают 1/x и 1/y. Работая вместе 2 дня, они сделали всё: 2(1/x + 1/y) = 1, 1/x + 1/y = 1/2. По второму условию: 2/x + 1/y = 5/6.
Вычтем из второго уравнения первое: 1/x = 5/6 − 1/2 = 1/3, x = 3. Тогда 1/y = 1/2 − 1/3 = 1/6, y = 6.
Проверка: 2/3 + 1/6 = 5/6; 2(1/3 + 1/6) = 1.
Ответ: первому нужно 3 дня, второму — 6 дней.
Вычтем из второго уравнения первое: 1/x = 5/6 − 1/2 = 1/3, x = 3. Тогда 1/y = 1/2 − 1/3 = 1/6, y = 6.
Проверка: 2/3 + 1/6 = 5/6; 2(1/3 + 1/6) = 1.
Ответ: первому нужно 3 дня, второму — 6 дней.
782. Один из членов арифметической прогрессии (aₙ) равен 3. Найдите его номер, если a₁ = 48,5 и d = −1,3. Является ли членом этой прогрессии число −3,5; число 15?
Формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d = 48,5 − 1,3(n − 1).
Пусть aₙ = 3: 48,5 − 1,3(n − 1) = 3, 1,3(n − 1) = 45,5, n − 1 = 35, n = 36.
Пусть aₙ = −3,5: 1,3(n − 1) = 52, n − 1 = 40, n = 41 — натуральное число, поэтому −3,5 является членом прогрессии (41-м).
Пусть aₙ = 15: 1,3(n − 1) = 33,5, n − 1 = 33,5/1,3 = 335/13 — не целое число (25 10/13), поэтому 15 не является членом прогрессии.
Ответ: номер 36; число −3,5 является членом (a₄₁); число 15 не является.
Пусть aₙ = 3: 48,5 − 1,3(n − 1) = 3, 1,3(n − 1) = 45,5, n − 1 = 35, n = 36.
Пусть aₙ = −3,5: 1,3(n − 1) = 52, n − 1 = 40, n = 41 — натуральное число, поэтому −3,5 является членом прогрессии (41-м).
Пусть aₙ = 15: 1,3(n − 1) = 33,5, n − 1 = 33,5/1,3 = 335/13 — не целое число (25 10/13), поэтому 15 не является членом прогрессии.
Ответ: номер 36; число −3,5 является членом (a₄₁); число 15 не является.
783. В арифметической прогрессии четырнадцатый член равен 140, а сумма первых четырнадцати членов равна 1050. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
S₁₄ = (a₁ + a₁₄)/2 · 14 = 7(a₁ + 140) = 1050, a₁ + 140 = 150, a₁ = 10.
a₁₄ = a₁ + 13d: 140 = 10 + 13d, d = 10.
Проверка: (10 + 140)/2 · 14 = 75 · 14 = 1050.
Ответ: a₁ = 10, d = 10.
a₁₄ = a₁ + 13d: 140 = 10 + 13d, d = 10.
Проверка: (10 + 140)/2 · 14 = 75 · 14 = 1050.
Ответ: a₁ = 10, d = 10.
784. Последовательность (aₙ) — арифметическая прогрессия. Известно, что a₆ = −6 и a₁₆ = 17,5. Найдите сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.
a₁₆ − a₆ = 10d = 17,5 + 6 = 23,5, d = 2,35. Тогда a₁ = a₆ − 5d = −6 − 11,75 = −17,75.
S₁₆ = (a₁ + a₁₆)/2 · 16 = 8(−17,75 + 17,5) = 8 · (−0,25) = −2.
Ответ: −2.
S₁₆ = (a₁ + a₁₆)/2 · 16 = 8(−17,75 + 17,5) = 8 · (−0,25) = −2.
Ответ: −2.
785. В арифметической прогрессии первый член равен 28, а сумма первых двадцати пяти членов равна 925. Найдите разность и тридцатый член этой прогрессии.
S₂₅ = (a₁ + a₂₅)/2 · 25 = 925, откуда a₁ + a₂₅ = 74, a₂₅ = 46. Так как a₂₅ = a₁ + 24d, то 24d = 18, d = 0,75.
a₃₀ = a₁ + 29d = 28 + 29 · 0,75 = 28 + 21,75 = 49,75.
Ответ: d = 0,75; a₃₀ = 49,75.
a₃₀ = a₁ + 29d = 28 + 29 · 0,75 = 28 + 21,75 = 49,75.
Ответ: d = 0,75; a₃₀ = 49,75.
786. В арифметической прогрессии (aₙ) сумма шестого и десятого членов равна 5,9, а разность двенадцатого и четвёртого членов равна 2. Найдите двадцать пятый член этой прогрессии.
a₁₂ − a₄ = 8d = 2, d = 0,25.
a₆ + a₁₀ = (a₁ + 5d) + (a₁ + 9d) = 2a₁ + 14d = 5,9, 2a₁ = 5,9 − 3,5 = 2,4, a₁ = 1,2.
a₂₅ = a₁ + 24d = 1,2 + 6 = 7,2.
Ответ: 7,2.
a₆ + a₁₀ = (a₁ + 5d) + (a₁ + 9d) = 2a₁ + 14d = 5,9, 2a₁ = 5,9 − 3,5 = 2,4, a₁ = 1,2.
a₂₅ = a₁ + 24d = 1,2 + 6 = 7,2.
Ответ: 7,2.
787. В арифметической прогрессии (aₙ) сумма пятого и десятого членов равна −9, а сумма четвёртого и шестого членов равна −4. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.
a₄ + a₆ = 2a₅ = −4, a₅ = −2. Из a₅ + a₁₀ = −9 получаем a₁₀ = −7. Тогда 5d = a₁₀ − a₅ = −5, d = −1, a₁ = a₅ − 4d = −2 + 4 = 2.
S₁₀ = (a₁ + a₁₀)/2 · 10 = (2 − 7) · 5 = −25.
Ответ: −25.
S₁₀ = (a₁ + a₁₀)/2 · 10 = (2 − 7) · 5 = −25.
Ответ: −25.