Упражнения для повторения курса 7–9 классов — с. 199
762. При каких значениях b и c парабола y = x² + bx + c пересекает оси координат в точках (0; −3) и (1/2; 0)?
В какой ещё точке эта парабола пересекает ось x?
Точка (0; −3) лежит на параболе: c = −3.
Точка (1/2; 0) лежит на параболе: 1/4 + b/2 − 3 = 0, b/2 = 2,75, b = 5,5.
Парабола y = x² + 5,5x − 3. По теореме Виета произведение корней уравнения x² + 5,5x − 3 = 0 равно −3, один корень 1/2, значит, второй равен −3 : 1/2 = −6 (сумма корней 1/2 + (−6) = −5,5 — верно).
Ответ: b = 5,5, c = −3; ещё в точке (−6; 0).
Точка (1/2; 0) лежит на параболе: 1/4 + b/2 − 3 = 0, b/2 = 2,75, b = 5,5.
Парабола y = x² + 5,5x − 3. По теореме Виета произведение корней уравнения x² + 5,5x − 3 = 0 равно −3, один корень 1/2, значит, второй равен −3 : 1/2 = −6 (сумма корней 1/2 + (−6) = −5,5 — верно).
Ответ: b = 5,5, c = −3; ещё в точке (−6; 0).
763. Мастер и ученик изготовили в первый день 100 деталей. Во второй день мастер изготовил деталей на 20% больше, а ученик — на 10% больше, чем в первый день. Всего во второй день мастер и ученик изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовил мастер и сколько изготовил ученик в первый день?
Пусть в первый день мастер изготовил x деталей, ученик y деталей. Тогда x + y = 100. Во второй день мастер изготовил 1,2x деталей, ученик 1,1y деталей: 1,2x + 1,1y = 116.
Подставим y = 100 − x: 1,2x + 110 − 1,1x = 116, 0,1x = 6, x = 60, y = 40.
Проверка: 1,2 · 60 + 1,1 · 40 = 72 + 44 = 116.
Ответ: мастер 60 деталей, ученик 40 деталей.
Подставим y = 100 − x: 1,2x + 110 − 1,1x = 116, 0,1x = 6, x = 60, y = 40.
Проверка: 1,2 · 60 + 1,1 · 40 = 72 + 44 = 116.
Ответ: мастер 60 деталей, ученик 40 деталей.
764. Легковой автомобиль проехал за 2 ч на 10 км больше, чем грузовой за 3 ч. Если уменьшить скорость легкового автомобиля на 25%, а грузового на 20%, то грузовой автомобиль проедет за 5 ч на 20 км больше, чем легковой за 3 ч. Найдите скорость каждого автомобиля.
Пусть скорость легкового автомобиля x км/ч, грузового y км/ч. По первому условию 2x = 3y + 10. После уменьшения скорости они станут 0,75x и 0,8y км/ч, и 5 · 0,8y = 3 · 0,75x + 20, то есть 4y = 2,25x + 20.
Из первого уравнения x = (3y + 10)/2. Тогда 4y = 2,25 · (3y + 10)/2 + 20 = 3,375y + 11,25 + 20, 0,625y = 31,25, y = 50, x = (150 + 10)/2 = 80.
Проверка: 2 · 80 = 160 = 3 · 50 + 10; 5 · 40 = 200 = 3 · 60 + 20.
Ответ: легковой 80 км/ч, грузовой 50 км/ч.
Из первого уравнения x = (3y + 10)/2. Тогда 4y = 2,25 · (3y + 10)/2 + 20 = 3,375y + 11,25 + 20, 0,625y = 31,25, y = 50, x = (150 + 10)/2 = 80.
Проверка: 2 · 80 = 160 = 3 · 50 + 10; 5 · 40 = 200 = 3 · 60 + 20.
Ответ: легковой 80 км/ч, грузовой 50 км/ч.
765. На опытном поле под рожь отвели участок 20 га, а под пшеницу — 30 га. В прошлом году с обоих участков собрали 2300 ц зерна. В этом году урожайность ржи повысилась на 20%, пшеницы — на 30% и поэтому собрали зерна на 610 ц больше, чем в прошлом году. Какой была урожайность каждой культуры в этом году?
Пусть в прошлом году урожайность ржи была x ц/га, пшеницы y ц/га. Тогда 20x + 30y = 2300, то есть 2x + 3y = 230. В этом году урожайность ржи 1,2x, пшеницы 1,3y, собрали 2300 + 610 = 2910 ц: 20 · 1,2x + 30 · 1,3y = 2910, то есть 24x + 39y = 2910.
Из первого уравнения 24x = 12(230 − 3y) = 2760 − 36y. Подставим: 2760 − 36y + 39y = 2910, 3y = 150, y = 50, x = (230 − 150)/2 = 40.
Урожайность в этом году: рожь 1,2 · 40 = 48 ц/га, пшеница 1,3 · 50 = 65 ц/га.
Проверка: 20 · 48 + 30 · 65 = 960 + 1950 = 2910.
Ответ: рожь 48 ц/га, пшеница 65 ц/га.
Из первого уравнения 24x = 12(230 − 3y) = 2760 − 36y. Подставим: 2760 − 36y + 39y = 2910, 3y = 150, y = 50, x = (230 − 150)/2 = 40.
Урожайность в этом году: рожь 1,2 · 40 = 48 ц/га, пшеница 1,3 · 50 = 65 ц/га.
Проверка: 20 · 48 + 30 · 65 = 960 + 1950 = 2910.
Ответ: рожь 48 ц/га, пшеница 65 ц/га.
766. Расстояние между пунктами A и B равно 160 км. Из A в B выехал велосипедист, и в то же время из B в A выехал мотоциклист. Их встреча произошла через 2 ч, а через 30 мин после встречи велосипедисту осталось проехать в 11 раз больше, чем мотоциклисту. Каковы скорости мотоциклиста и велосипедиста?
Пусть скорость велосипедиста v км/ч, мотоциклиста u км/ч. До встречи за 2 ч они проехали вместе 160 км: 2(v + u) = 160, v + u = 80. К моменту встречи велосипедист проехал 2v, мотоциклист 2u км. Через 0,5 ч после встречи велосипедисту осталось 2u − 0,5v км (ему ещё ехать расстояние, которое до встречи проехал мотоциклист), мотоциклисту 2v − 0,5u км. По условию 2u − 0,5v = 11(2v − 0,5u), откуда 2u − 0,5v = 22v − 5,5u, 7,5u = 22,5v, u = 3v.
Тогда 4v = 80, v = 20, u = 60.
Проверка: велосипедисту осталось 120 − 10 = 110 км, мотоциклисту 40 − 30 = 10 км, 110 = 11 · 10.
Ответ: мотоциклист 60 км/ч, велосипедист 20 км/ч.
Тогда 4v = 80, v = 20, u = 60.
Проверка: велосипедисту осталось 120 − 10 = 110 км, мотоциклисту 40 − 30 = 10 км, 110 = 11 · 10.
Ответ: мотоциклист 60 км/ч, велосипедист 20 км/ч.
767. Имеются два сплава серебра с медью. Первый содержит 67% меди, а второй — 87% меди. В каком соотношении нужно взять эти два сплава, чтобы получить сплав, содержащий 79% меди?
Пусть взято x кг первого и y кг второго сплава. Меди в них 0,67x и 0,87y кг, в новом сплаве массой (x + y) кг меди 0,79(x + y) кг:
0,67x + 0,87y = 0,79x + 0,79y, откуда 0,08y = 0,12x, y/x = 12/8 = 3/2, то есть x : y = 2 : 3.
Проверка: 2 кг и 3 кг: меди 1,34 + 2,61 = 3,95 кг, а 0,79 · 5 = 3,95 кг.
Ответ: первый и второй сплавы нужно взять в отношении 2 : 3.
0,67x + 0,87y = 0,79x + 0,79y, откуда 0,08y = 0,12x, y/x = 12/8 = 3/2, то есть x : y = 2 : 3.
Проверка: 2 кг и 3 кг: меди 1,34 + 2,61 = 3,95 кг, а 0,79 · 5 = 3,95 кг.
Ответ: первый и второй сплавы нужно взять в отношении 2 : 3.
768. Смешали два раствора соли. Концентрация первого составляла 40%, а концентрация второго — 48%. В результате получился раствор соли концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
Пусть взято x кг первого и y кг второго раствора. Соли в них 0,4x и 0,48y кг, в смеси 0,42(x + y) кг:
0,4x + 0,48y = 0,42x + 0,42y, откуда 0,06y = 0,02x, x = 3y, то есть x : y = 3 : 1.
Проверка: 3 кг и 1 кг: соли 1,2 + 0,48 = 1,68 кг, 0,42 · 4 = 1,68 кг.
Ответ: растворы взяты в отношении 3 : 1.
0,4x + 0,48y = 0,42x + 0,42y, откуда 0,06y = 0,02x, x = 3y, то есть x : y = 3 : 1.
Проверка: 3 кг и 1 кг: соли 1,2 + 0,48 = 1,68 кг, 0,42 · 4 = 1,68 кг.
Ответ: растворы взяты в отношении 3 : 1.
769. Решите графически систему уравнений: а) {y + x² = 5x, 2y + 5 = x; б) {x² + y² = 25, 2x² + y = 6; в) {xy = 1, x² + y² = 9; г) {xy = −2, y + 8 = 1/2 x².
Решения системы — координаты точек пересечения графиков обоих уравнений. Построим графики и найдём точки пересечения.
а) Первое уравнение: y = 5x − x² — парабола ветвями вниз с вершиной (2,5; 6,25), проходящая через (0; 0) и (5; 0). Второе: y = (x − 5)/2 — прямая через (5; 0) и (−1; −3). Точки пересечения (5; 0) и (−0,5; −2,75). Проверка: 5 · (−0,5) − 0,25 = −2,75; (−0,5 − 5)/2 = −2,75.
б) Первое уравнение — окружность с центром в начале координат радиуса 5; второе: y = 6 − 2x² — парабола ветвями вниз с вершиной (0; 6). Они пересекаются в четырёх точках, симметричных относительно оси y, примерно (±2,3; −4,4) и (±0,7; 4,9).
в) Первое уравнение: y = 1/x — гипербола; второе — окружность радиуса 3 с центром в начале координат. Четыре точки пересечения: примерно (3; 0,3), (0,3; 3), (−3; −0,3), (−0,3; −3).
г) Второе уравнение: y = x²/2 − 8 — парабола с вершиной (0; −8); первое: y = −2/x — гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях. Три точки пересечения: примерно (−4,1; 0,5), (0,25; −8), (3,9; −0,5).
Ответ (приближённо): а) (−0,5; −2,75), (5; 0); б) (±2,3; −4,4), (±0,7; 4,9); в) (3; 0,3), (0,3; 3), (−3; −0,3), (−0,3; −3); г) (−4,1; 0,5), (0,25; −8), (3,9; −0,5).
Оговорка: в пунктах б), в), г) координаты точек получены приближённо, как и при любом графическом решении.
а) Первое уравнение: y = 5x − x² — парабола ветвями вниз с вершиной (2,5; 6,25), проходящая через (0; 0) и (5; 0). Второе: y = (x − 5)/2 — прямая через (5; 0) и (−1; −3). Точки пересечения (5; 0) и (−0,5; −2,75). Проверка: 5 · (−0,5) − 0,25 = −2,75; (−0,5 − 5)/2 = −2,75.
б) Первое уравнение — окружность с центром в начале координат радиуса 5; второе: y = 6 − 2x² — парабола ветвями вниз с вершиной (0; 6). Они пересекаются в четырёх точках, симметричных относительно оси y, примерно (±2,3; −4,4) и (±0,7; 4,9).
в) Первое уравнение: y = 1/x — гипербола; второе — окружность радиуса 3 с центром в начале координат. Четыре точки пересечения: примерно (3; 0,3), (0,3; 3), (−3; −0,3), (−0,3; −3).
г) Второе уравнение: y = x²/2 − 8 — парабола с вершиной (0; −8); первое: y = −2/x — гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях. Три точки пересечения: примерно (−4,1; 0,5), (0,25; −8), (3,9; −0,5).
Ответ (приближённо): а) (−0,5; −2,75), (5; 0); б) (±2,3; −4,4), (±0,7; 4,9); в) (3; 0,3), (0,3; 3), (−3; −0,3), (−0,3; −3); г) (−4,1; 0,5), (0,25; −8), (3,9; −0,5).
Оговорка: в пунктах б), в), г) координаты точек получены приближённо, как и при любом графическом решении.
770. Решите систему уравнений способом подстановки: а) {x² + y + 8 = xy, y − 2x = 0; б) {x² − y² = 16, x + y = 8; в) {x + y = 5, x² − xy + y² = 13; г) {x² + y² + 3xy = 1, 3y + x = 0; д) {2x² + 5x − 3y = −12, 2y − 7x = 8; е) {y² − 6x + y = 0, 2x − 1/2 y = 1.
а) Из второго уравнения y = 2x. Подставим в первое: x² + 2x + 8 = 2x², x² − 2x − 8 = 0, x = 4 или x = −2. Тогда y = 8 или y = −4.
б) Из второго y = 8 − x. Тогда x² − (8 − x)² = 16, x² − 64 + 16x − x² = 16, 16x = 80, x = 5, y = 3.
в) Из первого y = 5 − x. Тогда x² − x(5 − x) + (5 − x)² = 13, x² − 5x + x² + 25 − 10x + x² = 13, 3x² − 15x + 12 = 0, x² − 5x + 4 = 0, x = 1 или x = 4. Тогда y = 4 или y = 1.
г) Из второго x = −3y. Тогда 9y² + y² − 9y² = 1, y² = 1, y = 1 или y = −1; x = −3 или x = 3.
д) Из второго y = (7x + 8)/2. Подставим в первое: 2x² + 5x − 3(7x + 8)/2 = −12; умножим на 2: 4x² + 10x − 21x − 24 = −24, 4x² − 11x = 0, x(4x − 11) = 0, x = 0 или x = 11/4. Тогда y = 4 или y = (7 · 11/4 + 8)/2 = (77/4 + 32/4)/2 = 109/8 = 13 5/8.
е) Из второго уравнения y = 4x − 2. Подставим в первое: (4x − 2)² − 6x + 4x − 2 = 0, 16x² − 16x + 4 − 2x − 2 = 0, 16x² − 18x + 2 = 0, 8x² − 9x + 1 = 0, x = 1 или x = 1/8. Тогда y = 2 или y = −3/2.
Ответ: а) (−2; −4), (4; 8); б) (5; 3); в) (1; 4), (4; 1); г) (3; −1), (−3; 1); д) (0; 4), (2 3/4; 13 5/8); е) (1; 2), (1/8; −1 1/2).
б) Из второго y = 8 − x. Тогда x² − (8 − x)² = 16, x² − 64 + 16x − x² = 16, 16x = 80, x = 5, y = 3.
в) Из первого y = 5 − x. Тогда x² − x(5 − x) + (5 − x)² = 13, x² − 5x + x² + 25 − 10x + x² = 13, 3x² − 15x + 12 = 0, x² − 5x + 4 = 0, x = 1 или x = 4. Тогда y = 4 или y = 1.
г) Из второго x = −3y. Тогда 9y² + y² − 9y² = 1, y² = 1, y = 1 или y = −1; x = −3 или x = 3.
д) Из второго y = (7x + 8)/2. Подставим в первое: 2x² + 5x − 3(7x + 8)/2 = −12; умножим на 2: 4x² + 10x − 21x − 24 = −24, 4x² − 11x = 0, x(4x − 11) = 0, x = 0 или x = 11/4. Тогда y = 4 или y = (7 · 11/4 + 8)/2 = (77/4 + 32/4)/2 = 109/8 = 13 5/8.
е) Из второго уравнения y = 4x − 2. Подставим в первое: (4x − 2)² − 6x + 4x − 2 = 0, 16x² − 16x + 4 − 2x − 2 = 0, 16x² − 18x + 2 = 0, 8x² − 9x + 1 = 0, x = 1 или x = 1/8. Тогда y = 2 или y = −3/2.
Ответ: а) (−2; −4), (4; 8); б) (5; 3); в) (1; 4), (4; 1); г) (3; −1), (−3; 1); д) (0; 4), (2 3/4; 13 5/8); е) (1; 2), (1/8; −1 1/2).